【高考前三个月复习数学理科 数列】第23练

专题5数列 第23练常考的递推公式问题的破解方略 题型分析 高考展望 利用递推关系式求数列的通项公式及前n项和公式是高考中常考题型 掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键 一般这类题目难度较大 但只要将已知条件 转化为几类 模型 然后采用相应的计算方法即可解决 常考题型精析 高考题型精练 题型一利用累加法解决递推问题 题型二利用累乘法解决递推问题 题型三构造法求通项公式 常考题型精析 题型一利用累加法解决递推问题 例1 1 2015 江苏 设数列 an 满足a1 1 且an 1 an n 1 n N 则数列前10项的和为 解析 a1 1 an 1 an n 1 a2 a1 2 a3 a2 3 an an 1 n 故S10 b1 b2 b10 2 数列 an 中 已知a1 2 an 1 an cn n N 常数c 0 且a1 a2 a3成等比数列 求c的值 求数列 an 的通项公式 解 由题意知a1 2 a2 2 c a3 2 3c 因为a1 a2 a3成等比数列 所以 2 c 2 2 2 3c 解得c 0或c 2 又c 0 故c 2 求数列 an 的通项公式 a2 a1 c a3 a2 2c an an 1 n 1 c 以上各式相加 得 又a1 2 c 2 故an n2 n 2 n 2 当n 1时 上式也成立 所以数列 an 的通项公式为an n2 n 2 n N 变式训练1已知数列 an 中 a1 3 a2 5 其前n项和Sn满足Sn Sn 2 2Sn 1 2n 1 n 3 试求数列 an 的通项公式 解由Sn Sn 2 2Sn 1 2n 1得 Sn Sn 1 Sn 1 Sn 2 2n 1 an an 1 2n 1 n 3 a2 a1 5 3 2 a3 a2 22 4 a4 a3 8 an an 1 2n 1 以上各式相加得 an a1 2 4 2n 1 an a1 2n 2 3 2n 2 2n 1 an 2n 1 n 1 题型二利用累乘法解决递推问题 得 n 2 an 1 n 1 an an 1 an 0 又an 0 所以 n 2 an 1 n 1 an 答案B 2 已知数列 an 满足 a1 1 2n 1an an 1 n N且n 2 则数列 an 的通项公式是 以上各式相乘得 点评若由已知递推关系能转化成 f n 的形式 且f n 的前n项积能求 则可采用累乘法 注意验证首项是否符合通项公式 变式训练2数列 an 的前n项和Sn an n 2 且a1 1 a2 2 则 an 的通项公式an an n 1 a2 2 n 1 n 3 a2 2满足an 2 n 1 题型三构造法求通项公式 例3 1 已知a1 1 an 1 2an 1 求an 解由an 1 2an 1得an 1 1 2 an 1 又a1 1 2 0 于是可知 an 1 为以2为首项 2为公比的等比数列 即an 1 2n an 2n 1 所求通项公式为an 2n 1 点评构造法就是利用数列的递推关系灵活变形 构造出等差 等比的新数列 然后利用公式求出通项 此类问题关键在于条件变形 在 an can 1 b 的条件下 可构造 an x c an 1 x 在 an 的条件下 可构造 变式训练3已知数列 an 中 a1 2 当n 2时 an 求数列 an 的通项公式 高考题型精练 1 在数列 an 中 a1 1 anan 1 an 1 1 n n 2 n N 则a3a5的值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由已知得a2 1 1 2 2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 学校餐厅每天供应500名学生用餐 每星期一有A B两种菜可供选择 调查资料表明 凡是在星期一选A种菜的 下星期一会有20 改选B种菜 而选B种菜的 下星期一会有30 改选A种菜 用an bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的人数 如果a1 300 则a10为 A 350B 300C 400D 450 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由a1 300 得a2 300 由a2 300 得a3 300 从而得a10 300 故选B 答案B 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 已知数列 an 的前n项和为Sn a1 1 Sn 2an 1 则Sn等于 解析当n 2时 Sn Sn 1 2an 1 2an 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 2015B 2009C 1005D 1006 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由倒序相加 得2an 2 n 1 an n 1 所以a2016 2016 1 2015 故选A 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 已知数列 an 满足a1 1 an an 1 2n n 2 则a7等于 A 53B 54C 55D 109解析 an an 1 2n n 2 a2 a1 4 a3 a2 6 a4 a3 8 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a7 a6 14 以上各式两边分别相加得a7 a1 4 6 14 答案C 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 an 1 an a1 n a1 1 an 1 an 1 n an a1 a2 a1 an an 1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 2014 课标全国 数列 an 满足an 1 11 an a8 2 则a1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 周期T n 1 n 2 3 a8 a3 2 2 a2 2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 设函数f x a1 a2x a3x2 anxn 1 f 0 12 数列 an 满足f 1 n2an n N 则数列 an 的通项公式为 由f 1 n2an n N 得Sn a1 a2 an n2an 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当n 2时 an Sn Sn 1 n2an n 1 2an 1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 若f n 为n2 1 n N 的各位数字之和 如62 1 37 f 6 3 7 10 f1 n f n f2 n f f1 n fk 1 n f fk n k N 则f2016 4 解析因为42 1 17 f 4 1 7 8 则f1 4 f 4 8 f2 4 f f1 4 f 8 11 f3 4 f f2 4 f 11 5 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f4 4 f f3 4 f 5 8 所以fk 1 n f fk n 为周期数列 可得f2016 4 5 答案5 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2015 陕西 设fn x x x2 xn 1 x 0 n N n 2 1 求fn 2 解方法一由题设fn x 1 2x nxn 1 所以fn 2 1 2 2 n 2 2n 2 n 2n 1 则2fn 2 2 2 22 n 1 2n 1 n 2n 得 fn 2 1 2 22 2n 1 n 2n 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以fn 2 n 1