1 第三章 数学物理方法ppt课件

1 求幂级数收敛半径的方法2 复变函数Taylor展开条件与展开方法3 复变函数Laurant展开条件与展开方法4 极点阶的确定及留数的求法 重点 3 1复数项级数 一 复数项级数定义及其收敛判据 复数项级数定义 每一项均为复数 实数项级数是复数项级数的特例 一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论 说明 2 复数项级数的收敛判据 Cauchy收敛判据 实数项级数的收敛定义 若实数项级数 的部分和序列 有极限S 即 则称级数收敛 这时极限S称为这级数的和 反之 称为发散 2 复实数项级数的收敛定义 若复数项级数 的部分和序列 有极限S 即 则称级数收敛 这时极限S称为这级数的和 反之 称为发散 级数 收敛的充分必要条件为 对于任意给定的正数 总存在自然数N使得当n N时 对于任意的自然数p都有 成立 3 复数项级数Cauchy收敛原理 说明从n N后面项的和为一小数 所以收敛 证明略 由 给定 存在N 和N一一对应关系 Cauchy收敛判据 二 绝对收敛与一致收敛的概念及性质 1 绝对收敛 定义 则称这个级数为绝对收敛级数 收敛 由复数级数的各项模组成的新级数 或写为 性质 a 如果级数绝对收敛 则该级数收敛 充分条件 常用判断级数绝对值收敛的方法来判断级数的收敛 b 如果级数和是绝对收敛的 则它们的乘积 也是绝对收敛的 c 改变绝对收敛级数的各项先后次序 其和不变 和相同 成立 则称级数为一致收敛 2 一致收敛及其性质 一致收敛定义 如果级数是定义在区域B 或边界线L 上 则在区域B 或L 上的各点z 对于给定的小正数 存在与z无关的正整数N 使得n N时 对于任意的自然数p恒有 2 复变函数项级数在B或L上一致收敛 在B或L上的各点z 此复变函数项级数都收敛 3 在区域B或L上一致收敛 如果是B或L上的连续函数 则也是B或L上的连续函数 4 逐项可积性 若在L上一致收敛 则有 说明 1 一致收敛是对区域B或L而言 或者说是对复函数而言的 6 外尔斯特拉斯M 判别法若在区域B内 且收敛 则在B内一致且绝对收敛 5 逐项可导性 若在B上一致收敛 且每一项在B上解析 则有 三 级数绝对收敛性的常用判别法 对于级数 如果 至少当n充分大时 有 模一项比一项小 即判断 反之 若 模级数发散 复级数发散 若 模级数不定 复级数不定 三 级数绝对收敛性的常用判别法 Cauchy 判别法 如果 至少当n充分大时 有 则级数是绝对收敛的 3 2幂级数 一 幂级数表示 二 幂级数的收敛半径及其求法 1 收敛半径R 1 d Alembert法则求级数收敛半径 幂级数绝对收敛 收敛半径 如果 收敛半径 对同一级数而言 两种方法给出的收敛半径相同 2 Cauchy法求收敛半径 在收敛圆内部 收敛 收敛圆 在收敛圆外部 发散 在收敛圆上 敛散性不定 需讨论 幂级数绝对收敛 若 1发散 解 级数的和为 几何级数 解 收敛半径为 级数的和为 例 求级数的 收敛半径 z为复变数 故级数在 的圆内收敛 例3求下列级数的收敛半径 并讨论在收敛圆周上的情况 1 并讨论z 0 z 2时的情况 2 解 是一个收敛级数 P级数 P为实数项级数 在收敛圆周上 其模级数为 是发散级数 所以不能确定级数的敛散性 需讨论 交错级数 由莱布尼次准则知级数收敛 交错级数的审敛准则 莱布尼兹准则 如果且 则级数收敛 并讨论z 0 z 2时的情况 当z 0时 级数为 调和级数发散的速度慢的让人有些不可思议 调和级数的前1000项的和约为7 485 前100万项的和约为14 357 前10亿项的和约为21 前一万亿项和越为28 当它的和超过100时 如果每一项在纸带上只占1毫米 我们必须使用1043毫米长的纸带 这大约是1025光年 而宇宙估计尺寸只有1012光年 因此也难怪大家都会认为它是收敛 当z 2时 级数为 调和级数 是发散级数 在收敛圆周上不能确定级数的敛散性 并讨论z 0 z 2时的情况 三 幂级数性质 1 幂级数在收敛圆内 绝对且一致收敛 证明 收敛圆半径为R 做比收敛圆稍微缩小的圆周 半径为R1 有 故收敛 则级数 绝对且一致收敛 P34M判定法 2 幂级数在收敛圆内部是解析函数 无奇点 处处可导 证明略 两边乘以 两边积分 并应用Cauchy公式 即级数的和可用连续函数的回路积分来表示 且连续函数的回路积分可在积分号下求任意多次导数 说明该级数的和是一个解析函数 3 级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次 证明略 1 解析函数在收敛圆内可以展开幂级数 证明略 3 3泰勒级数展开 解析函数以幂级数展开问题 解析函数在收敛圆内展开的级数称为泰勒级数 1 解析函数在收敛圆内以同一点为中心展为泰勒级数是唯一的 2 若函数f z 在收敛圆上或外部不解析 则函数与展开的泰勒级数只有在收敛圆内部才相等 2 说明 二 解析函数展为泰勒级数举例 1 直接展开法 在 的邻域上把 展开 例1 解 在复平面上解析 则在 处的泰勒系数 常用方法 直接法和间接法 由泰勒展开定理计算系数 故有 收敛半径 在 的邻域上把 展开 例2 1 在复平面上解析的 则在 的邻域上解析 解 同理 请大家自己证明 2 间接展开法 借助于一些已知函数的展开式 结合解析函数的性质 幂级数运算性质 逐项求导 积分等 和其它数学技巧 代换等 求函数的泰勒展开式 解 例3求 在z 0处的泰勒级数 f z ln 1 z 解 求函数 在z 0的泰勒展开 例4 3 4解析延拓 一 问题的提出与解析延拓概念 1 问题的提出 上式的左端的函数在很大的区域内都是解析的 只有在点不解析 但上式右端泰勒级数只在区域解析 这样 我们可以说有两个函数 两函数有怎样的关系呢 函数的解析区域大于的解析区域 在小区域上 能否通过找到呢 2 解析延拓 若已知f z 在某个邻域b上解析 若能找到另一个函数F z 使它在含有区域b的一个较大的邻域上是解析的 并且在区域b上等同于f z 这一过程称为解析延拓 解析延拓就是使得解析函数定义域的扩大 二 解析延拓的方法 三 函数解析延拓的唯一性 函数f z 通过某种方法进行了解析延拓 得到的函数是唯一的 证明 在