高考数学总复习 2.11 导数在函数研究中的应用课件 理 新人教A版.ppt

最新考纲展示 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 第十一节导数在函数研究中的应用 利用导数研究函数的单调性 1 函数f x 在某个区间 a b 内的单调性与其导数的正负有如下关系 1 若 则f x 在这个区间内单调递增 2 若 则f x 在这个区间内单调递减 3 若 则f x 在这个区间内是常数 2 利用导数判断函数单调性的一般步骤 1 求 2 在定义域内解不等式 3 根据结果确定f x 的单调区间 f x 0 f x 0 f x 0 f x f x 0或f x 0 通关方略 1 求函数f x 的单调区间 也是求不等式f x 0 或f x 0 或 0 恒成立 不能少 1 已知函数f x 的导函数f x ax2 bx c的图象如图所示 则f x 的图象可能是 解析 由图象知 当x0时 由导函数f x ax2 bx c的图象可知 导函数在区间 0 x1 内的值是大于0的 因此在此区间内函数f x 单调递增 选d 答案 d 2 函数f x x3 15x2 33x 6的单调减区间为 解析 由f x x3 15x2 33x 6得 f x 3x2 30 x 33 令f x 0 即3 x 11 x 1 0 求得 1 x 11 所以函数f x 的单调减区间为 1 11 答案 1 11 利用导数研究函数的极值 1 函数的极小值函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在x a附近其它点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 2 函数的极大值函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近的其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 极小值点 极大值点统称为极值点 极大值和极小值统称为极值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 通关方略 f x0 0是x0为f x 的极值点的非充分非必要条件 例如 f x x3 f 0 0 但x 0不是极值点 又如f x x x 0是它的极小值点 但f 0 不存在 3 函数f x x3 ax2 3x 9在x 3处取得极值 则a a 2b 3c 4d 5解析 f x 3x2 2ax 3 函数f x x3 ax2 3x 9 在x 3处有极值 f 3 0 3 9 6a 3 0 a 5 答案 d 4 若f x x3 3ax2 3 a 2 x 1有极大值和极小值 则a的取值范围为 解析 f x 3x2 6ax 3 a 2 由题意知f x 0有两个不等的实根 故 6a 2 4 3 3 a 2 0 即a2 a 2 0 解得a 2或a2或a 1 5 函数f x x3 ax x r 在x 1处有极值 则曲线y f x 在原点处的切线方程是 解析 因为函数f x x3 ax x r 在x 1处有极值 所以f 1 3 12 a 0 得a 3 故所求切线的斜率为k a 3 因此切线方程为y 3x 答案 y 3x 利用导数研究函数的单调性 例1 2013年高考全国新课标卷 已知函数f x ex ln x m 1 设x 0是f x 的极值点 求m 并讨论f x 的单调性 2 当m 2时 证明f x 0 反思总结1 当f x 不含参数时 可以通过解不等式f x 0 或f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 利用导数研究函数的极值 例2 2013年高考重庆卷 设f x a x 5 2 6lnx 其中a r 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与y轴相交于点 0 6 1 确定a的值 2 求函数f x 的单调区间与极值 反思总结利用导数研究极值需注意以下几点 1 首先考虑定义域 2 判断函数的单调性时要注意分类讨论 3 导数值为0的点不一定是函数的极值点 变式训练2 2013年高考福建卷 设函数f x 的定义域为r x0 x0 0 是f x 的极大值点 以下结论一定正确的是 a x r f x f x0 b x0是f x 的极小值点c x0是 f x 的极小值点d x0是 f x 的极小值点 答案 d 利用导数研究方程根的问题 反思总结1 利用导数研究高次式 分式 指数式 对数式方程解的个数问题的一般思路 1 将问题转化为函数的零点问题 进而转化为函数的图象与x轴 或直线y k 在该区间上交点问题 2 利用导数研究出该函数在该区间上单调性 极值 最值 端点值等性质 进而画出其图象 3 结合图象求解 2 证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步 利用导数证明该函数在该区间上单调 第二步 证明端点值异号 导数的综合应用问题 导数的综合应用问题多涉及单调性 极值 最值 不等式证明 方程根讨论 以及不等式恒成立或存在问题 综合考查了函数 导数 不等式等知识 难度较大 能力要求较强 解答这类问题时除掌握方法外 还要遵循一定答题模板 学会审题与规范解答 典例 2013年高考全国新课标卷 本题满分12分 设函数f x x2 ax b g x ex cx d 若曲线y f x 和曲线y g x 都过点p 0 2 且在点p处有相同的切线y 4x 2 1 求a b c d的值 2 若x 2时 f x kg x 求k的取值范围 教你快速规范审题 1 审条件 挖解题信息 2 审结论 明解题方向 3 建联系 找解题突破口 教你准确规范解答 1 由已知得f 0 2 g 0 2 f 0 4 g 0 4 而f x 2x a g x ex cx d c 故b 2 d 2 a 4 d c 4 2分从而a 4 b 2 c 2 d 2 3分 2 由 1 知 f x x2 4x 2 g x 2ex x 1 4分设函数f x kg x f x 2kex x 1 x2 4x 2 则f x 2kex x 2 2x 4 2 x 2 kex 1 5分由题设可得f 0 0 即k 1 令f x 0得x1 lnk x2 2 6分 若1 k0 即f x 在 2 x1 单调递减 在 x1 单调递增 故f x 在 2 的最小值为f x1 而f x1 2x1 2 x 4x1 2 x1 x1 2 0 故当x 2时 f x 0 即f x kg x 恒成立 8分 若k e2 则f x 2e2 x 2 ex e 2 从而当x 2时 f x 0 即f x 在 2 单调递增 而f 2 0 故当x 2时 f x 0 即f x kg x 恒