高中数学第三章概率3.3随机数的含义与应用课件必修

3 3随机数的含义与应用 1 了解几何概型的意义 2 掌握几何概型问题的计算方法和求解步骤 准确地把实际问题转化为几何概型问题 3 了解随机数的意义 能运用模拟方法 包括用计算机产生随机数来进行模拟 估计事件的概率 1 几何概型的定义事件A理解为区域 的某一子区域A A的概率只与子区域A的几何度量 长度 面积或体积 成正比 而与A的位置和形状无关 满足以上条件的试验称为几何概型 名师点拨几何概型的两个特点 一是无限性 即在一次试验中 基本事件的个数是无限的 二是等可能性 即每一个基本事件发生的可能性是均等的 解析 和 是几何概型 答案 B 做一做2 如图 矩形长为6 宽为4 在矩形内随机地撒300颗黄豆 数得落在椭圆外的黄豆数为96颗 以此试验数据可以估计出椭圆的面积为 答案 16 32 3 随机数随机数就是在一定范围内随机产生的数 并且得到这个范围内的每一个数的机会一样 它有很广阔的应用 可以帮助我们安排和模拟一些试验 这样可以代替我们自己做大量重复的试验 名师点拨学习用随机模拟方法近似求事件的概率 条件不具备的可以用计算器等其他简便易行的方法 进行简单的模拟试验 统计试验结果 并用频率估计概率 从中领会概率的意义和统计思想 做一做3 将 0 1 内的均匀随机数转化为 2 6 内的均匀随机数 需实施的变换为 A rand 8B rand 8 2C rand 8 2D rand 6答案 C 古典概型与几何概型的异同剖析 古典概型与几何概型都是概率类型的一种 它们的区别在于 古典概型的基本事件数为有限个 而几何概型的基本事件数为无限个 共同点在于 两个概型都必须具备等可能性 即每个结果发生的可能性都相等 判断一次试验是不是古典概型 有两个标准来衡量 一是试验结果的有限性 二是试验结果的等可能性 如果这两个标准都符合 则这次试验是古典概型 否则不是古典概型 判断一次试验是不是几何概型有三个标准 一是试验结果的无限性 二是试验结果的等可能性 三是可以转化为求某个几何图形测度的问题 如果一次试验符合这三个标准 则这次试验是几何概型 这两种概率模型的本质区别是试验结果的种数是否有限 题型一 题型二 题型三 题型四 与 长度 有关的几何概型 例1 某公共汽车站每隔15min有1辆汽车到达 乘客到达车站的时刻是任意的 求1位乘客到达车站后候车时间大于10min的概率 分析 把时刻抽象为点 时间就抽象为线段 故可用几何概型求解 解 设上一辆车于时刻T1到达 而下一辆车于时刻T2到达 线段T1T2的长度为15 设T是线段T1T2上的点 且T1T 5 T2T 10 如图所示 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在求解与长度有关的几何概型时 首先找到几何区域D 这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段 然后找到事件A发生对应的区域d 在找d的过程中 确定边界点是问题的关键 但边界点是否取到却不影响事件A的概率 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 在等腰直角三角形ABC的斜边AB上任取一点M 则AM小于AC的概率为 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 与 面积 有关的几何概型 例2 甲 乙两人约定上午7 00到8 00之间到某个汽车站乘车 在这段时间内有3班公共汽车 开车的时刻分别为7 20 7 40 8 00 如果他们约定 见车就乘 求甲 乙两人乘同一班车的概率 分析 由于甲 乙两人在7 00到8 00之间到达车站的时刻是任意的 是等可能的 并且有无限多种可能 因此是几何概型问题 解 设甲到达汽车站的时刻为x 乙到达汽车站的时刻为y 则7 x 8 7 y 8 即甲 乙两人到达汽车站的时刻 x y 所对应的区域在平面直角坐标系中是大正方形 如图所示 将三班车到站的时刻在图形中画出 则甲 乙两人要想乘同一辆车 必须满足 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 反思本题的关键是要理解好题意 将其归结为面积型几何概型 而不是长度型几何概型 另外一定要认真审题 根据题意画出图形 本题中应以甲 乙两人到达车站的时刻作为横 纵坐标画出平面直角坐标系 在坐标系中将汽车的到站时刻 甲 乙两人的到站时刻分别表示出来 就可以直观地发现它们之间的关系 找出两人乘同一辆车的区域 然后计算面积 代入公式求得结果 变式训练2 如图所示 在矩形ABCD中 点E为边CD的中点 若在矩形ABCD内部随机取一个点Q 则点Q取自 ABE内部的概率为 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 解 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 利用随机模拟实验估计图形的面积 例4 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分 y 2 2x x2与x轴围成的图形 的面积 分析 解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积 而后由几何概率进行面积估计 解 1 利用计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数a1 rand b1 rand 2 经过平移和伸缩变换 a a1 4 3 b b1 3 得到一组 3 1 一组 0 3 上的均匀随机数 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在解答本题的过程中 易出现将点 a b 满足的条件误写为b 2 2a a2 导致该种错误的原因是没有验证阴影部分的点 a b 应满足的条件 变式训练4 利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积 并估计 的近似值 解 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 于是 1 利用计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 rand b1 rand 2 经过平移和伸缩变换 a a1 0 5 2 b b1 0 5 2 得到两组 1 1 上的均匀随机数 3 统计试验总次数N和点落在圆内的次数N1 满足a2 b2 1的点 a b 数 题型五 题型一 题型二 题型三 题型五 题型四 易错辨析易错点 混淆基本事件空间的度量类型致错 例5 如图所示 在等腰直角三角形ABC中 过直角顶点C在 ACB内部作一条射线CM 与边AB交于点M 求AM AC的概率 题型一 题型二 题型三 题型五 题型四 错因分析 由于 过点C和在AB上任意取的点所作的射线是不均匀的 因此 不能将 等可能取点看作等可能地作射线 本题是以角的大小作为几何度量来计算概率的 切不可以线段代替 随堂演练 即时巩固1一只小狗在如图所示的方砖上走来走去 最终停在阴影部分方砖上的概率是 解析 由题意知 这是一个与面积有关的几何概型题 这只小狗在任何一个区域的可能性一样 图中有大小相同的方砖共9块 故所求概率答案 C 2某人睡午觉醒来后 发现表停了 他打开收音机想听电台整点报时 则他等待时间小于10min的概率是 解析 醒来的时间可能为整点之间的任意时刻 所有随机事件结果的度量为60min 事件 等待时间小于10min 的度量为10min 故所 答案 A 3把 0 1 内的均匀随机数转化为 4 8 内的均匀随机数 需实施的变换为 A y x 12B y x 12 4C y x 12 4D y x 12 8答案 C 4如图所示 在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形 向大正方形内随机投点 则所投的点落入小正方形内的概率是 5一条均匀的绳子长为20m 在一次拔河比赛中 假设每