高中数学第一章立体几何1.2.3.2平面与平面垂直课件

第2课时平面与平面垂直 一 二 一 两个平面垂直的定义 问题思考 1 两个平面有夹角吗 是如何刻画的 提示 如图所示两半平面 交线为l 在l上任取一点E 在 内作AE l 在 内作BE l 则 ABE的大小就能够刻画平面的张角 特殊地 当 AEB 90 时 2 填空 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直 又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直 就称这两个平面互相垂直 一 二 二 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 问题思考 1 填写下表 一 二 2 过平面 的一条垂线能作多少个平面与平面 垂直 提示 无数个 可以将自己的课本打开立放在桌面上进行观察 3 经过平面的一条斜线与该平面垂直的平面有多少个 提示 只有一个 4 两个平面互相垂直 其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系是怎样的 提示 两个平面互相垂直 其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系可能是平行 也可能是相交 还可能是在平面内 一 二 5 做一做 已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面 若PC BD 平行四边形ABCD一定是 解析 因为PA 平面ABCD 所以PA BD 又因为PC BD PA PC P 所以BD 平面PAC 所以BD AC 所以平行四边形ABCD一定是菱形 答案 菱形 一 二 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 一个二面角的平面角有且只有一个 2 若直线l与平面 交于点O 且l与 不垂直 l 则 与 一定不垂直 3 如果两个平面垂直 且经过第一个平面内一点作一条直线垂直于第二个平面 那么该直线一定在第一个平面内 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 面面垂直的判定 例1 如图 在四面体ABCD中 BD a AB AD CB CD AC a 求证 平面ABD 平面BCD 思路分析 图形中的垂直关系较少 不妨考虑利用定义法证明 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明 取BD的中点为E 连接AE CE 因为CB CD AB AD 所以AE BD CE BD 则有BD 平面AEC 因为AB AD CB CD AC a BD a 所以 ABD和 BCD都是等腰直角三角形 AE CE都是斜边上的中线 又AC a 所以AE2 CE2 AC2 所以AE CE 又AE CE分别是平面AEC与平面ABD 平面BCD的交线 所以平面ABD 平面BCD 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟对于面面垂直有以下判定方法 1 根据面面垂直的定义进行判定 证明第三个平面与两个相交平面的交线垂直 证明这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直 根据定义 这两个平面互相垂直 2 根据面面垂直的判定定理进行判定 在证明两个平面垂直时 一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线在现有的图中不存在 则可通过作辅助线来解决 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1在正方体AC1中 求证 平面BDD1B1 平面ACC1A1 证明 如图所示 因为AA1 平面ABCD BD 平面ABCD 所以AA1 BD 又在底面ABCD内 对角线AC BD 且AA1 AC A 所以BD 平面ACC1A1 又BD 平面BDD1B1 所以平面BDD1B1 平面ACC1A1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 面面垂直的性质 例2 如图 AB是 O的直径 C是圆周上不同于A B的任意一点 平面PAC 平面ABC 1 判断BC与平面PAC的位置关系 并证明 2 判断平面PBC与平面PAC的位置关系 解 1 BC 平面PAC 证明 因为AB是 O的直径 C是圆周上不同于A B的任意一点 所以 ACB 90 所以BC AC 又因为平面PAC 平面ABC 平面PAC 平面ABC AC BC 平面ABC 所以BC 平面PAC 2 因为BC 平面PBC 所以平面PBC 平面PAC 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 当所给的题目中有面面垂直的条件时 一般要注意是否有垂直于两个平面交线的垂线 如果有 可利用性质定理将面面垂直转化为线面垂直或线线垂直 如果没有 一般需作辅助线 基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线 这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直 2 面面垂直性质定理的常用推论 1 两相交平面同时垂直于第三个平面 那么两相交平面的交线也垂直于第三个平面 2 两个互相垂直的平面的垂线也互相垂直 3 如果两个平面互相垂直 那么其中一个平面的垂线与另一个平面平行或在另一个平面内 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2如图所示 三棱锥P ABC的底面在平面 内 且AC PC 平面PAC 平面PBC 点P A B是定点 则动点C运动形成的图形是 A 一条线段B 一条直线C 一个圆D 一个圆 但要去掉两个点解析 因为平面PAC 平面PBC AC PC AC 平面PAC 且平面PAC 平面PBC PC 所以AC 平面PBC 又因为BC 平面PBC 所以AC BC 所以 ACB 90 所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆 除去A和B两点 故选D 答案 D 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探索型问题 例3 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 平面ABC 且AB BC 能否在侧棱BB1上找到一点E 恰使截面A1EC 侧面AA1C1C 若能 指出点E的位置 并说明为什么 若不能 请说明理由 解 如图 作EM A1C于点M 因为截面A1EC 平面AA1C1C 所以EM 平面AA1C1C 取AC的中点N 连接BN MN 因为AB BC 所以BN AC 而AA1 平面ABC AA1 平面AA1C1C 所以平面ABC 平面AA1C1C 且交于AC 所以BN 平面AA1C1C 所以BN EM BN MN 探究一 探究二 探究三 思维辨析 又BE 平面AA1C1C 平面BEMN 平面AA1C1C MN 所以BE MN A1A 所以四边形BEMN为平行四边形 因为AN NC 所以A1M MC 所以BE MN A1A 即E为BB1的中点时 平面A1EC 平面AA1C1C 反思感悟1 垂直关系的相互转化 2 探究型问题的两种解题方法 1 分析法 即从问题的结论出发 探求问题成立的条件 2 反证法 先假设使结论成立的条件存在 然后进行推证 推出矛盾 否定假设 确定使结论成立的条件不存在 探究一 探究二 探究三 思维辨析 如图 在三棱锥A BCD中 BCD 90 BC CD 1 AB 平面BCD ADB 60 E F分别是AC AD上的动点 且 0 1 1 求证 不论 为何值 总有平面BEF 平面ABC 2 当 为何值时 平面BEF 平面ACD 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 证明 因为AB 平面BCD 所以AB CD 因为CD BC 且AB BC B 所以CD 平面ABC 所以不论 为何值 恒有EF CD 所以EF 平面ABC EF 平面BEF 所以不论 为何值 恒有平面BEF 平面ABC 2 解 由 1 知 BE EF 因为平面BEF 平面ACD 所以BE 平面ACD 所以BE AC 因为BC CD 1 BCD 90 ADB 60 探究一 探究二 探究三 思维辨析 忽略了几何体的所属范围而致误 典例 已知在四边形ABCD中 四个角 ABC BCD CDA DAB都是直角 求证 四边形ABCD是矩形 错解根据初中所学知识 可知四边形ABCD是矩形 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 上述说明不严谨 忽略了四边形是空间四边形的检验与讨论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解 1 当四边形ABCD是平面四边形时 易得其是矩形 2 若四边形ABCD是空间四边形 可设点C在平面ABD之外 如图所示 设C 是点C在平面ABD内的射影 因为AD 平面ABD CC 平面ABD 所以CC AD 又CD AD CC CD C 所以AD 平面CC D 所以C D AD 同理C B AB 连接BD 在 BCD中 BCD 90 故CD2 CB2 BD2 在平面四边形ABC D中 因为 DAB ABC ADC 90 所以 BC D 90 所以C D2 C B2 BD2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 将 代入 得BD2 BD2 矛盾 故四边形ABCD不可能是空间四边形 只能是平面四边形 所以四边形ABCD是矩形 防范措施1 要克服上述错误 一定要将有关定理或性质的适用条件及内涵把握清楚 不能凭想当然进行毫无逻辑的论证 2 涉及空间中讨论问题 不能仅局限于初中所学平面几何的范畴 一些平面几何中的结论也不能随意照搬到立体几何中 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD为正方形 则截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗 解 四边形ABCD是正方形 AC BD BB1 底面ABCD AC B1B B1B BD B AC 对角面BB1D1D 又 AC 截面ACB1 截面ACB1 对角面BB1D1D 1 2 3 4 5 6 1 下列结论中正确的是 垂直于同一条直线的两条直线平行 垂直于同一条直线的两个平面平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 垂直于同一个平面的两个平面平行 A B C D 答案 C 1 2 3 4 5 6 2 已知平面 平面 l 则下列命题中错误的是 A 如果直线a 那么直线a必垂直于平面 内的无数条直线B 如果直线a 那么直线a不可能与平面 平行C 如果直线a a l 那么直线a 平面 D 平面 内一定存在无数多条直线都垂直于平面 内的所有直线答案 B 1 2 3 4 5 6 3 在三棱锥A BCD中 若AD BC BD AD BCD是锐角三角形 那么必有 A 平面ABD 平面ADCB 平面ABD 平面ABCC 平面ADC 平面BCDD 平面ABC 平面BCD解析 AD BC AD BD AD 平面BCD 又AD 平面ADC 平面ADC 平面BCD 答案 C 1 2 3 4 5 6 4 如图所示 平面ABC 平面BDC BAC BDC 90 且AB AC 2 则AD 答案 2 1 2 3 4 5 6 5 设 是空间两个不同的平面 m n是平面 及 外的两条不同的直线 从 m n n m 中选取三个作为条件 余下一个作为结论 写出你认为正确的一个命题 用序号表示 解析 将 作为条件 可结