第8讲直线与圆.doc

第10讲直线与圆一热身训练：1.直线xcosy20的倾斜角范围是2.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 x=2或3x-4y-2=0 .3.无论取任何实数，直线必经过一定点P，则P的坐标为（2，2）4.设aR ，则“a1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行的 条件。【解析】当时，直线：，直线：，则/；若/，则有，即，解之得，或，所以不能得到。5.设，若直线与圆相切，则m+n的取值范围是 。【解析】圆心为，半径为1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足，即，设，即，解得或6已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为 。【答案】令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为（-1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为7.如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是_.二典例解析：例1.已知!ABC的三边方程分别为AB:，BC:，CA:.求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）BAC的内角平分线所在直线的方程.解：（1）AB边上的高斜率为且过点C，解方程组得点C（，2）所以AB边上的高方程为.（2）设P为BAC的内角平分线上任意一点，则解得或，由图形知即为所求.例2.已知mR，直线l：mx(m21)y4m和圆C：x2y28x4y160.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l的方程可化为yx，直线l的斜率k，因为|m|(m21)，所以|k|，当且仅当|m|1时等号成立所以，斜率k的取值范围为.(2)不能由(1)知l的方程为yk(x4)，其中|k|.圆C的圆心为C(4，2)，半径r2.圆心C到直线l的距离d.由|k|，得d1，即d.从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧例3。在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（）求曲线C1的方程；（）设P(x0,y0)（y03）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.【答案】（）解法1 ：设M的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.化简得曲线的方程为.解法2 ：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线 的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.（）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是整理得 设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程的两个实根，故 由得 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程的两个实根，所以 同理可得 由，三式得.所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.（例5图）例4.如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X轴上的椭圆G的离心率为，左顶点A（-2,0），圆：是椭圆G的内接的内切圆.() 求椭圆G的方程；() 求圆的半径；（）过作圆G的两条切线交椭圆于E,F， 判断直线EF与圆的位置关系，并证明.解 ：() ，得，椭圆G方程为 ()设，过圆心作于,交长轴于由得,即 (1)又在椭圆上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）（）直线与圆的相切设过点与圆相切的直线方程为: (3)则,即解得将(3)代入得,则异于零的解为设,，则则直线的斜率为：于是直线的方程为: 即则圆心到直线的距离，故结论成立. 三训练提高：1.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a1）y+（a21）=0平行，则a的值是_-1_.2.已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为 。【解析】由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积,所以若四边形PACB的最小面积是2，所以的最小值为1，而，即的最小值为2，此时最小为圆心到直线的距离，此时，即，因为，所以3.一已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为 。 【解析】直线的斜率为，即直线的斜率为，所以，选B.4.已知AC、BD为圆O：x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为_解析：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有dd3.由平面几何知识知|AC|2，|BD|2，S四边形ABCD|AC|BD|2(4d)(4d)8(dd)5，即四边形ABCD面积的最大值为5.5.已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖(1)试求圆的方程.(2)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是. (2)设直线的方程是:.因为,所以圆心到直线的距离是, 即 解得:.所以直线的方程是:. 6. 已知圆C：x2y22x4y40，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由解：设直线l的方程为yxb，代入圆的方程x2(xb)22x4(xb)40.即2x2(2b2)xb24b40.(*)以AB为直径的圆过原点O，则OAOB.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2y1y20，即x1x2(x1b)(x2b)0.2x1x2b(x1x2)b20.由(*)式得x1x2b1，x1x2b24b4b(b1)b20.即b23b40，b4或b1.将b4或b1代入*方程，对应的0.ABMOyxCDPN故存在直线l：xy40或xy10.7.设圆满足圆心在第三象限内，截轴的弦长为，被轴分成两段圆弧长之比，且到直线的距离为求圆的方程；能否在轴上找到一点，过点作圆的两条切线，切点分别记为A、B；又过P作圆：的两条切线，切点分别记为C，D，使得ABCD。若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。8.已知：矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为：，点在边所在直线上.（1）求矩形外接圆的方程。(2)是圆的内接三角形，其重心的坐标是,求直线的方程 .解：（1）设点坐标为 且 又在上 即点的坐标为 又点是矩形两条对角线的交点 点即为矩形外接圆的圆心，其半径的方程为（2）连延长交于点，则点是中点,连是的重心， 是圆心，是中点, 且 即直线的方程为9.已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1),且圆C在点P处的切线的斜率为1.（1）试求圆C的方程；（2）若点A、B是圆C上不同的两点，且满足=，试求直线AB的斜率；若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求直线AB在y轴上的截距的范围。10.在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(4,0)、B(4,0)，动点P与