高中数学 8.2两直线的位置关系配套课件 苏教版.ppt

第二节两直线的位置关系 高考指数 1 两条直线的斜率与它们平行 垂直的关系 直线l1 l2不重合 斜率分别为k1 k2且都存在 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 即时应用 1 已知直线l1过点a 1 1 和b 2 1 直线l2过点c 1 0 和d 0 a 若l1 l2 则a 2 直线l的倾斜角为30 若直线l1 l 则直线l1的斜率k1 若直线l2 l 则直线l2的斜率k2 解析 1 l1与l2的斜率分别为由l1 l2可知 a 2 2 由直线斜率的定义知 直线l的斜率k tan30 l1 l k1 k l l2 k2 k 1 k2答案 1 2 2 2 两条直线的交点直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0的公共点的坐标与方程组的解一一对应 相交 方程组有 交点坐标就是方程组的解 平行 方程组 重合 方程组有 惟一解 无解 无数组解 即时应用 1 思考 如何用两直线的交点判断两直线的位置关系 提示 当两直线有一个交点时 两直线相交 无交点时 两直线平行 有无数个交点时 两直线重合 2 直线l1 5x 2y 6 0与l2 3x 5y 16 0的交点p的坐标是 解析 由直线l1与l2所组成的方程组得 直线l1 5x 2y 6 0与l2 3x 5y 16 0的交点p的坐标是 2 2 答案 2 2 3 直线l1 5x 2y 6 0与l2 5x 2y 16 0的位置关系是 解析 由直线l1与l2所组成的方程组无解 直线l1与l2平行 答案 平行 3 距离 即时应用 1 原点到直线x 2y 5 0的距离是 2 已知a a 5 b 0 10 ab 17 则a 3 两平行线y 2x与2x y 5间的距离为 解析 1 因为d 2 依题设及两点间的距离公式 得解得a 8 3 因为两平行线方程可化为 2x y 0与2x y 5 0 因此 两平行线间的距离为 d答案 1 2 8 3 直线平行 垂直关系的判断及应用 方法点睛 两直线平行 垂直的判断方法 1 已知两直线的斜率存在 两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等 两直线垂直 两直线的斜率之积等于 1 2 已知两直线的一般方程可利用直线方程求出斜率 转化为第一种方法 或利用以下方法求解 a1a2 b1b2 0 例1 1 2011 浙江高考 若直线x 2y 5 0与直线2x my 6 0互相垂直 则实数m 2 已知过点a 2 m b m 4 的直线与直线2x y 1 0平行 则m的值为 3 已知四边形abcd的四个顶点的坐标分别是a 0 1 b 1 0 c 3 2 d 2 3 试判断该四边形的形状 解题指南 1 利用两直线垂直的充要条件求解 2 可根据两直线平行 斜率相等 得出一个等式 解方程即可求值 3 分别求出四条边的斜率及其边长 即可判断四边形的形状 规范解答 1 由题意可得1 2 2m 0 解得m 1 答案 1 2 因为直线2x y 1 0的斜率k 2 又因为过a 2 m b m 4 的直线与直线2x y 1 0平行 所以解得m 8 答案 8 3 因为四边形的顶点坐标为a 0 1 b 1 0 c 3 2 d 2 3 所以kab 1 kbc 1 kcd 1 kad 1 ab cd bc ad 且ab bc ab ad 又因为 ab ad 即 ab ad 所以 四边形abcd为长方形 互动探究 本例 3 中条件不变 试求该四边形的四条边所在的直线方程 解析 因为a 0 1 b 1 0 所以ab边所在的直线方程为 即x y 1 0 又因为b 1 0 c 3 2 所以bc边所在的直线方程为 即x y 1 0 同理可得 cd边所在的直线方程为 x y 5 0 ad边所在的直线方程为 x y 1 0 反思 感悟 通过本例的解析过程可知 处理两直线的位置关系 在两直线斜率都存在的前提下 利用两直线的斜率和在y轴上的截距去处理 若直线的斜率不存在 则可考虑数形结合 变式备选 若直线l过点 1 2 且与直线2x 3y 4 0垂直 则直线l的方程为 解析 方法一 直线2x 3y 4 0的斜率为 设所求直线的斜率为k 所求直线与直线2x 3y 4 0垂直 k k 1 所求直线方程为y 2 x 1 即 3x 2y 1 0 方法二 由已知 设所求直线l的方程为 3x 2y c 0 又l过点 1 2 3 1 2 2 c 0 得 c 1 所以所求直线方程为3x 2y 1 0 答案 3x 2y 1 0 两直线的交点问题 方法点睛 1 求两直线交点的方法求两直线的交点坐标 就是解由两直线方程组成的方程组 以方程组的解为坐标的点即为交点 2 过两直线交点的直线系方程过直线a1x b1y c1 0与a2x b2y c2 0交点的直线系方程为a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 不包括直线a2x b2y c2 0 例2 1 求经过直线x y 1 0与直线x y 3 0的交点 且也经过点a 8 4 的直线方程为 2 已知两直线l1 mx 8y n 0与l2 2x my 1 0 若l1与l2相交 求实数m n满足的条件 解题指南 1 可求出两直线的交点坐标 用两点式解决 也可用过两直线交点的直线系解决 2 两直线相交可考虑直线斜率之间的关系 从而得到m n满足的条件 规范解答 1 方法一 因为直线x y 1 0与直线x y 3 0的交点坐标为 2 1 又直线过a 8 4 所以所求直线方程为 即x 2y 0 方法二 设过直线x y 1 0与直线x y 3 0的交点的直线方程为x y 1 x y 3 0 又因为直线过a 8 4 所以8 4 1 8 4 3 0 解得 所以 所求直线方程为x 2y 0 答案 x 2y 0 2 因为两直线l1 mx 8y n 0与l2 2x my 1 0相交 因此 当m 0时 l1的方程为yl2的方程为两直线相交 此时 实数m n满足的条件为m 0 n r 当m 0时 两直线相交 解得m 4 此时 实数m n满足的条件为m 4 n r 互动探究 本例 1 中的 且也经过点a 8 4 改为 与直线2x y 0垂直 求该直线方程 解析 方法一 因为直线x y 1 0与直线x y 3 0的交点坐标为 2 1 又直线与直线2x y 0垂直 所以所求直线的斜率k 因此所求直线方程为 y 1 x 2 即x 2y 0 方法二 设过直线x y 1 0与直线x y 3 0的交点的直线方程为x y 1 x y 3 0 即 1 x 1 y 1 3 0 又因为要求直线与直线2x y 0垂直 所以所求直线的斜率k 即有解得 所以 所求直线方程为x 2y 0 反思 感悟 本例 1 是求直线方程 其关键是寻找确定直线的两个条件 可以直接求交点 利用两点式得出方程 此法要注意两点的纵 或横 坐标相同时 两点式方程不适用 也可以利用直线系方程求解 其关键是利用已知点求 的值 本例 2 考查两直线相交的条件 即斜率不等或有一条直线的斜率不存在 变式备选 当m为何值时 三条直线l1 4x y 3 0与l2 x y 0 l3 2x 3my 4 0能围成一个三角形 解析 三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点 1 当m 0时解得 m m 且m 0 又因为l1 4x y 3 0与l2 x y 0的交点为 1 1 所以2 3m 4 0 解得m 2 当m 0时 l3 2x 4 0l1 4x y 3 0 l2 x y 0l1与l3的交点为 2 5 l1与l2的交点为 1 1 l2与l3的交点为 2 2 能构成三角形 符合题意 综上可知 m m 且m 距离公式的应用 方法点睛 1 两点间的距离的求法两点间的距离 可利用两点间的距离公式求解 1 当两点连线平行于x轴时 其距离等于这两点横坐标之差的绝对值 2 当两点连线平行于y轴时 其距离等于这两点纵坐标之差的绝对值 2 点到直线的距离的求法点到直线的距离 可直接利用点到直线的距离公式 但要注意 此时直线方程必须为一般式 3 两平行直线间的距离的求法 1 利用 化归 法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离 2 利用两平行线间的距离公式 提醒 应用两平行线间的距离公式求距离时 要注意两平行直线方程中x y的系数必须相等 例3 已知点a 2 1 1 求过点a且与原点距离为2的直线l的方程 2 求过点a且与原点距离最大的直线l的方程 并求最大距离 3 是否存在过点a且与原点距离为6的直线 若存在 求出方程 若不存在 请说明理由 解题指南 1 因为已知直线过点a 因此可选择点斜式方程 利用到原点的距离为2列方程 解方程即可 但要注意对斜率不存在的情况进行讨论 2 易知最大距离时的直线与ao垂直 这样问题即可解决 3 可由 2 知道距离的最大值 从而得出直线是否存在 规范解答 1 过点a的直线l与原点距离为2 而点a的坐标为 2 1 当斜率不存在时 直线l的方程为x 2 此时 原点到直线l的距离为2 符合题意 当斜率存在时 设直线l的方程为y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 由已知得解得k 此时直线l的方程为3x 4y 10 0 综上可知 直线l的方程为x 2或3x 4y 10 0 2 由题意易知 过点a与原点o距离最大的直线是过点a与ao垂直的直线 由l ao 得klkoa 1 所以 由直线的点斜式得y 1 2 x 2 即2x y 5 0 即直线2x y 5 0是过点a且与原点距离最大的直线l的方程 最大距离是 3 由 2 可知 过点a不存在到原点距离超过的直线 因此不存在过点a且与原点距离为6的直线 反思 感悟 1 在解答本题时 直线斜率存在时 根据题设条件 由点到直线的距离公式得关于斜率的方程 这是很关键的问题 同时注意讨论斜率不存在的情况 2 求距离的最值时 除了考虑距离公式所要求的条件 以防漏解 错解外 还要注意数形结合思想的应用 变式训练 已知a 4 3 b 2 1 和直线l 4x 3y 2 0 在坐标平面内求一点p 使 pa pb 且点p到直线l的距离为2 解析 设点p的坐标为 a b a 4 3 b 2 1 线段ab的中点m的坐标为 3 2 线段ab的垂直平分线方程为y 2 x 3 即x y 5 0 由题意知点p a b 在上述直线上 a b 5 0 又点p a b 到直线l 4x 3y 2 0的距离为2 即4a 3b 2 10 联立 可得或 所求点p的坐标为 1 4 或 变式备选 过点p 1 2 引一直线 两点a 2 3 b 4 5 到该直线的距离相等 求这条直线的方程 解析 方法一 当斜率不存在时 过点p 1 2 的直线方程为 x 1 a 2 3 到x 1的距离等于3 且b 4 5 到x 1的距离也等于3 符合题意 当直线的斜率存在时 设斜率为k 过点p 1 2 的直线方程为 y 2 k x 1 即kx y k 2 0 依题设知 解得 k 所以 所求直线方程为 x 3y 5 0 综上可知 所求直线方程为x 1或x 3y 5 0 方法二 依题设知 符合题意的直线共有两条 一条是过点p 1 2 与ab平行的直线 另一条是过点p及ab中点的直线 因为a 2 3 b 4 5 所以 因此 过点p与ab平行的直线的方程为 y 2 x 1 即x 3y 5 0 又因为a 2 3 b 4 5 的中点坐标d 1 4 所以过点p及ab中点的直线方程为x 1 综上可知 所求直线方程为x 1或x 3y 5 0 对称问题 方法点睛 1 对称中心的求法若两点a x1 y1 b x2 y2 关于点p a b 对称 则由中点坐标公式求得a b的值 即2 轴对称的两个公式若两点m x1 y1 n x2 y2 关于直线l ax by c 0 a 0 对称 则线段mn的中点在对称轴l上 而且连结mn的直线垂直于对 称轴l 故有3 对称问题的类型 1 点关于点对称 2 点关于直线对称 3 直线关于点对称 4 直线关于直线对称 以上各种对称问题最终化归为点关于点对称 点关于直线对称 例4 已知直线l 2x 3y 1 0 点a 1 2 求 1 点a关于直线l的对称点a 的坐标 2 直线l关于点a的对称直线l 的方程 解题指南 1 可设对称点a 的坐标为 m n 利用aa 与直线l垂直以及线段aa 的中点在直线l上 得出关于m n的方程组 解方程组即可得a 的坐标 2 本题实质上是求直线的方程 可想法找到两个点的坐标 即可求出直线l 的方程 也可在l 上任取一点 利用该点关于点a的对称点在直线l上即可得出方程 规范解答 1 设对称点a 的坐标为 m n 由已知可得解得即a 2 方法一 在l上任取两点 1 1 与 0 则它们关于点a 1 2 的对称点坐标为 3 5 与 2 l 的方程为 化简得2x 3y 9 0 方法二 设点p x y 为l 上任意一点 则点p关于点a的对称点为p 2 x 4 y 又因为p 在直线l上 所以 2 2 x 3 4 y 1 0 即2x 3y 9 0 反思 感悟 1 此题是点关于线对称 线关于点对称 这类问题都要抓住对称这一特征解决问题 2 1 利用方程思想 2 利用中点坐标公式 找到已知点与未知点之间的关系 最后利用曲线方程的概念代入求解 变式训练 求直线m 3x 2y 6 0关于直线l 2x 3y 1 0对称的直线m 的方程 解析 由解得m与l的交点e 4 3 e点也在直线m 上 在直线m 3x 2y 6 0上取一点a 2 0 设a点关于直线l的对称点b的坐标为 a b 则 由解得由两点式得直线m 的方程为即9x 46y 102 0 创新探究 新定义下的 直线方程 问题 典例 2012 上海模拟 在平面直角坐标系中 设点p x y 定义 op x y 其中o为坐标原点 对于以下结论 符合 op 1的点p的轨迹围成的图形的面积为2 设p为直线x 2y 2 0上任意一点 则 op 的最小值为1 设p为直线y kx b k b r 上的任意一点 则 使 op 最小的点p有无数个 的必要条件是 k 1 其中正确的结论有 填上你认为正确的所有结论的序号 解题指南 根据新定义 讨论x的取值 得到y与x的分段函数关系式 画出分段函数的图象 即可求出该图形的面积 认真观察直线方程 可举一个反例 得到 op 的最小值为1是假命题 根据 x y 大于等于 x y 或 x y 把y kx b代入即可得到结论 规范解答