中考有关的三角形问题.doc

等腰三角形等腰三角形 一 选择题 1 2013年聊城莘县模拟 如图 等边三角形的边长为3 点为边上一点 且 点为边上一点 若 则的长为 A B C D 1 答案 B 2 2013 年惠州市惠城区模拟 等腰三角形两边长分别为 4 和 8 则这个等腰三角形的周长 为 A 16 B 18 C 20 D 16 或 20 答案 C 3 2013 浙江永嘉一模 10 如图 在 ABC 中 AB BC 将 ABC 绕点 B 顺 时针旋转 度 得到 A1BC1 A1B 交 AC 于点 E A1C1分别交 AC BC 于 点 D F 下列结论 CDF A1E CF DF FC BE BF 其中正确的有 A B C D 答案 C 4 2013 重庆一中一模 11 如图 在等腰ABCRt 中 90C 6 AC D是AC上一点 若 5 1 tan DBA 那 么AD的长为 A 2 B 3 C 2 D 1 答案 A 第 1 题图 F E D C1 C B A A1 第 2 题图 C A P B D 5 2013 江西饶鹰中考模拟 如图 将矩形 ABCD 对折 得折痕 PQ 再沿 MN 翻折 使点 C 恰好落在折痕 PQ 上的点 C 处 点 D 落在 D 处 其中 M 是 BC 的中点 连接 AC BC 则图中共有等腰三角形的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 6 2013 年湖北省武汉市中考全真模拟 如图 等腰 ABC 中 AB AC P 为其底角平分 线的交点 将 BCP 沿 CP 折叠 使 B 点恰好落在 AC 边上的点 D 处 若 DA DP 则 A 的度数为 A 20 B 30 C 32 D 36 D 7 2013 年江苏无锡崇安一模 如图 在五边形 ABCDE 中 BAE 120 B E 90 AB BC 1 AE DE 2 在 BC DE 上分别找一点 M N 使 AMN 的周长最小 则 AMN 的最小周长为 A 2 B 2 67 C 4D 5 2 答案 B 二 填空题 A B D P C D M N E C Q F 第 6 题 1 2013 年安徽模拟 二 如图 过边长为 1 的等边 ABC 的边 AB 上一点 P 作 PE AC 于 E Q 为 BC 延长线上一点 当 PA CQ 时 连 PQ 交 AC 边于 D 则 DE 的 长为 第 1 题图 答案 4 2 2013 年安徽初中毕业考试模拟卷一 如图 ABC 为等边三角 形 AQ PQ PR PS PR AB 于 R PS AC 于 S 则四个结论 正确的是 把所有正确答案的序号都填写在 横线上 AP 平分 BAC AS AR QP AR BRP QSP 3 2013 年安徽省模拟六 如图 等边三角形 ABC 中 D E 分别在 AB BC 边上 且 AD BE AE 与 CD 交于点 F AG CD 于点 G 下列结论 AE CD AFC 1200 ADF 是正三角形 1 2 FG AF 其中正确的结论是 填所有正确答案的序号 答案 4 2013 年福州市初中毕业班质量检查 如图 边长为 6 的等边三角形 ABC 中 E 是对称 轴 AD 上的一个动点 连接 EC 将线段 EC 绕点 C 逆时针旋转 60 得到 FC 连接 第 1 题 第 3 题图 A BC D E F 第 4 题图 DF 则在点 E 运动过程中 DF 的最小值是 1 5 7 2013 年江苏无锡崇安一模 在直角 ABC 中 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于点 D 若 CD 4 则点 D 到斜边 AB 的距离为 答案 4 7 2013 浙江东阳吴宇模拟题 浙江东阳吴宇模拟题 如图 C D B 的坐标分别为 1 0 9 0 10 0 点 P t 0 是 CD 上一个动点 在 x 轴上方作等边 OPE 和 BPF 连 EF G 为 EF 的 中点 1 当 t 时 EF OB 2 双曲线 y x k 过点 G 当 PG 2 79 时 则 k 答案 153 103 8 2013 沈阳一模 已知 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AC BD AD 3 BC 7 则梯形的面积是 答案 25 9 2013 盐城市景山中学模拟题盐城市景山中学模拟题 如图 5 在 ABC 中 AB AC 5 BC 6 若点 P 在边 AC 上移动 则 BP 的最小值是 O C PDB E F G x y 答案 5 24 10 2013 盐城市景山中学模拟题盐城市景山中学模拟题 边长为 2 的等边 ABC 与等边 DEF 互相重合 将 ABC 沿直线 L 向左平移 m 个单位长度 将 DEF 向右也平移 m 个单位长度 如图 6 当 C E 是线段 BF 的三等分点时 m 的值为 答案 2 或 2 1 11 2013 浙江锦绣浙江锦绣 育才教育集团一模育才教育集团一模 如图 将正 ABC 分割成 m 个边长为 1 的小正三 角形和一个黑色菱形 这个黑色菱形可分割成 n 个 边长为 1 的小三角形 若 9 41 n m 则 ABC 的周长是 答案 15 12 2013 年江苏南京一模 一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 4 它的周长是 答案 10 7 2013 年江苏南京一模 一个等腰三角形的两边长分别是 2cm 和 3cm 则它的周长是 cm 答案 7 或 8 13 2013 年江苏南京一模 如图 C 36 B 72 BAD 36 AD 4 则 CD 答案 4 第 16 题 图 图 14 2013 年江苏南京一模 如图 在 ABC 中 AB AD DC BAD 20 则 C 答案 40 15 2013 年广东省佛山市模拟 如图 ABC 中 ACB 90 BC 6 cm AC 8cm 动 点 P 从 A 出发 以 2 cm s 的速度沿 AB 移动到 B 则点 P 出发 s 时 BCP为等腰三角形 原创 原创 P CB A 答案 2 2 5 1 4 三 解答题 1 2013 年北京房山区一模 1 如图 1 ABC 和 CDE 都是等边三角形 且 B C D 三点共线 联结 AD BE 相交于点 P 求证 BE AD 2 如图 2 在 BCD 中 BCD 120 分别以 BC CD 和 BD 为边在 BCD 外 部作等边三角形 ABC 等边三角形 CDE 和等边三角形 BDF 联结 AD BE 和 CF 交于点 P 下列结论中正确的是 只填序号即可 AD BE CF BEC ADC DPE EPC CPA 60 3 如图 2 在 2 的条件下 求证 PB PC PD BE P P F D E C A D E C A B B 第 1 题图 1 第 1 题图 2 P P F D E C A D E C A B B 答案 1 证明 ABC 和 CDE 都是等边三角形 BC AC CE CD ACB DCE 60 BCE ACD BCE ACD SAS BE AD 1 分 2 都正确 4 分 3 证明 在 PE 上截取 PM PC 联结 CM 由 1 可知 BCE ACD SAS 1 2 设 CD 与 BE 交于点 G 在 CGE 和 PGD 中 1 2 CGE PGD DPG ECG 60 同理 CPE 60 CPM 是等边三角形 5 分 CP CM PMC 60 CPD CME 120 1 2 CPD CME AAS 6 分 PD ME BE PB PM ME PB PC PD 7 分 即 PB PC PD BE 2 2013 浙江锦绣浙江锦绣 育才教育集团一模育才教育集团一模 本小题满分 12 分 如图 在等腰三角形 ABC 中 AB AC 以底边 BC 的垂直平分线和 BC 所在的直线建立平面直角坐标系 抛物线 2 17 yxx4 22 经过 A B 两点 1 直接写出点 A 点 B 的坐标 2 若一条与 y 轴重合的直线 l 以每秒 2 个单位长度的速度向右平移 分别交线段 OA CA 和抛物线于点 E M 和点 P 连结 PA PB 设直线 l 移动的时间为 t 0 t 4 秒 求四边形 PBCA 的面积 S 面积单位 与 t 秒 的函数关系式 并求出四边形 PBCA 的最 2 1 GM P F D E C A B M P P F D E C A D E C A B B 大面积 3 在 2 的条件下 抛物线上是否存在一点 P 使得 PAM 是直角三角形 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 答案 本小题满分 12 分 解 1 A 8 0 B 0 4 2 AB AC OB OC C 0 4 设直线 AC y kx b 由 A 8 0 C 0 4 得 8k b 0 b 4 解得 1 k 2 b 4 直线 AC 1 y x4 2 直线 l 移动的速度为 2 时间为 t OE 2t 设 P 2 2t2t7t4 形 在 1 y x4 2 中 令 x 2t 得y t4 M 2t t4 BC 8 PM 22 2t7t4t4 2t6t8 OE 2t EA 42t 22 PMABCMP 11 SSS2t6t882t42t2t6t8 22 形形 2 4t20t16 四边形 PBCA 的面积 S 与 t 的函数关系式为 2 S 4t20t16 0 t 4 2 2 5 S 4t20t16 4 t41 2 四边形 PBCA 的最大面积为 41 个平方单位 3 存在 由 2 在 0 t 4 即 0 t 8 时 AMP 和 APM 不可能为直角 若 PAM 为直角 则 PA CA AOC PEA OCOA EAEP 设 P p 2 17 pp4 22 则 OC 4 OA 8 EA 8 p EP 2 17 pp4 22 2 48 17 8p pp4 22 整理得 2 p11p24 0 解得 12 p 3p 8 舍去 当p 3时 EP 2 17 pp4 22 10 P 3 10 当 P 3 10 时 PAM 是直角三角形 3 2013 河南南阳市模拟 10 分 如图 ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形 BAC EDF 90 DEF 的顶点 E 与 ABC 的斜边 BC 的中点重合 将 DEF 绕点 E 旋转 旋转过程中 线段 DE 与线段 AB 相交于点 P 线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q 1 如图 当点 Q 在线段 AC 上 且 AP AQ 时 求证 BPE CQE 2 如图 当点 Q 在线段 CA 的延长线上时 求证 BPE CEQ 并求当 BP a CQ 时 P Q 两点间的距离 用含 a 的代数式表示 第 22 题图 答案 1 证明 ABC 是等腰直角三角形 B C 45 AB AC AP AQ BP CQ E 是 BC 的中点 BE CE 在 BPE 和 CQE 中 BPE CQE SAS 2 解 ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形 B C DEF 45 BEQ EQC C 即 BEP DEF EQC C BEP 45 EQC 45 BEP EQC BPE CEQ BP a CQ a BE CE BE CE a BC 3a AB AC BC sin45 3a AQ CQ AC a PA AB BP 2a 连接 PQ 在 Rt APQ 中 PQ a 4 2013 重庆一中一模 24 已知正方形ABCD如图所示 连接其对角线AC BCA 的平分线CF交AB于点F 过点B作CFBM 于点N 交AC于点M 过点C作CFCP 交AD延长线 于点P 1 若正方形ABCD的边长为 4 求ACP 的面积 2 求证 FNBMCP2 答案 解 5 2221 CFCP 又 9013FCDFCD 5 2213 5 67P 又四边形 ABCD 为正方形 5 675 2245ACP ACPP ACAP 242 ABAC又 4 2AP 为正方形又四边形ABCD 28 2 424 2 CDAP S APC BCACF 平分 1 2 3 H 45 5 分 FBCPDCBCCD 2 31 FBCPDC CFCP 在 CN 上截取 NH FN 连接 BH FHBNNHFN 且 BFBH 54 又 9014BFCBFC 45BAMHBC 又 AB BC BMCHBHCAMB FNBMCF2 FNBMCP2 10 分 5 2013 凤阳县县直义教教研中心 如图 1 ABC 是等腰直角三角形 四边形 ADEF 是 正方形 D F 分别在 AB AC 边上 此时 BD CF BD CF 成立 1 当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 090 时 如图 2 BD CF 成立吗 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 2 当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45 时 如图 3 延长 BD 交 CF 于点 G 求证 BD CF 当 AB 4 AD 2时 求线段 BG 的长 图 1 图 2 图 3 解 1 BD CF 成立 理由 ABC 是等腰直角三角形 四边形 ADEF 是正方形 AB AC AD AF BAC DAF 90 BAD DACBAC CAF DACDAF 5 22514 图 13 3图 13 2图 13 1 A 45 G AB C D E F F E D C B FE D C BA BAD CAF BAD CAF BD CF 4 分 2 证明 设 BG 交 AC 于点 M BAD CAF 已证 ABM GCM BMA CMG BMA CMG BGC BAC 90 BD CF 7 分 过点 F 作 FN AC 于点 N 在正方形 ADEF 中 AD 2 AN FN 1 2 1 AE 在等腰直角 ABC 中 AB 4 CN AC AN 3 BC 24 22 ACAB Rt FCN Rt ABM AB CN AM FN AM AB 3 1 3 4 CM AC AM 4 3 4 3 8 3 104 22 AMABBM 9 分 BMA CMG CG CM BA BM CG 3 8 4 3 104 CG 5 104 11 分 在 Rt BGC 中 22 CGBCBG 5 108 12 分 6 2013 凤阳县县直义教教研中心 如图 已知 直线 y x 3 交 x 轴于点 A 交 y 轴 于点 B 抛物线 y ax2 bx c 经过 A B C 1 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 若点 D 的坐标为 1 0 在直线 y x 3 上有一点 P 使 ABO 与 ADP 相似 求 出点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 在 x 轴下方的抛物线上 是否存在点 E 使 ADE 的面积等于四 边形 APCE 的面积 如果存在 请求出点 E 的坐标 如果不存在 请说明理由 M NF E D C BA G 45 图 13 3 解 1 由题意得 A 3 0 B 0 3 抛物线经过 A B C 三点 把 A 3 0 B 0 3 C 1 0 三点分别代入 2 yaxbxc 得方程组 0 3 039 cba c cba 解得 3 4 1 c b a 抛物线的解析式为 2 43yxx 4 分 2 由题意可得 ABO 为等腰三角形 如图所示 若 ABO AP1D 则 1 DP OB AD AO DP1 AD 4 P1 1 4 若 ABO ADP2 过点 P2 作 P2 M x 轴于 M AD 4 ABO 为等腰三角形 ADP2 是等腰三角形 由三线合一可得 DM AM 2 P2M 即点 M 与点 C 重合 P2 1 2 8 分 3 如图设点 E x y 则 2 2 1 yyADS ADE 当 P1 1 4 时 S 四边形 AP1CE S 三角形 ACP1 S 三角形 ACE 2 2 1 42 2 1 y 4y 24yy 4y 点 E 在 x 轴下方 4y 代入得 2 434xx 即 074 2 xx 4 2 4 7 12 0 此方程无解 当 P2 1 2 时 S 四边形 AP2CE S 三角形 ACP2 S 三角形 ACE 2y 22yy 2y 点 E 在 x 轴下方 2y 代入得 2 432xx 即 054 2 xx 4 2 4 5 4 0 此方程无解 综上所述 在 x 轴下方的抛物线上不存在这样的点 E 14 分 7 2013 年福州市初中毕业班质量检查 每小题 8 分 共 16 分 1 如图 在 ABC 中 AB AC 点 D E F 分别是 ABC 三边的中点 求证 四边形 ADEF 是菱形 2 一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米 时 它沿江以最大航速顺流航行 100 千米 所用时间与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等 江水的流速为多少 1 证明 D E F 分别是 ABC 三边的中点 DEAC EFAB 2 分 1 2 1 2 四边形 ADEF 为平行四边形 4 分 又 AC AB DE EF 6 分 四边形 ADEF 为菱形 8 分 2 解 设江水的流速为 x 千米 时 依题意 得 1 分 4 分 100 20 x 60 20 x 解得 x 5 6 分 C A B D E F 第 17 1 题图 N O y x M P CB A 经检验 x 5 是原方程的解 7 分 答 江水的流速为 5 千米 时 8 分 8 2013 年湖北省武汉市中考全真模拟 本题满分 10 分 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 BC 4 P 为边 AC 上一个点 可以包括点 C 但不包括点 A 以 P 为 圆心 PA 为半径作 P 交 AB 于点 D 过点 D 作 P 的切线交边 BC 于点 E 1 求证 BE DE 2 若 PA 1 求 BE 的长 3 在 P 点的运动过程中 请直接写出线段 BE 长度的取值范围为 证 连接 PD DE 切 O 于 D PD DE BDE PDA 90 C 90 B A 90 PD PA PDA A B BDE BE DE 连 PE 设 DE BE X 则 EC 4 X PA PD 1 AC 3 PC 2 PDE C 90 ED PD EC CP PE x 1 4 x 2 解得 x 8 19 BE 8 19 8 7 BC 8 25 9 2013 年湖北省武汉市中考全真模拟 本题满分 12 分 如图 1 抛物线 1 C 2 2yaxbx 与直线 AB 11 22 yx 交于 x 轴上的一点 A 和另一点 B 3 n 1 求抛物线 1 C的解析式 2 点 P 是抛物线 1 C上的一个动点 点 P 在 A B 两点之间 但不包括 A B 两点 PM AB 于点 M PN y 轴交 AB 于点 N 在点 P 的运动过程中 存在某一位置 使得 PMN 的周长最大 求此时 P 点的坐标 并求 PMN 周长的最大值 3 如图 2 将抛物线 1 C绕顶点旋转 180 后 再作适当平移得到抛物线 2 C 已知抛 物线 2 C的顶点 E 在第四象限的抛物线 1 C上 且抛物线 2 C与抛物线 1 C交于点 D 过 D 点作x轴的平行线交抛物线 2 C于点 F 过 E 点作x轴的平行线交抛物线 1 C于点 G 是否存在这样的抛物线 2 C 使得四边形 DFEG 为菱形 若存在 请求 E 点的横 坐标 若不存在请说明理由 解 由题意得 A 1 0 B 3 2 2239 2