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浅议高中数学中抽象函数问题的解法论文 本文从多个方面介绍了数学抽象函数的应用，特别是从平移的角度说明了抽象函数的对称问题，并就典型例题加以分析解答，对学生的常见错误进行了剖析。 抽象函数的有关内容一直是学生学习的一个难点，关于抽象函数题目类型较多，形式灵活多变，考查内容无论从深度和广度，给人耳目一新的感受，现就其中几个主要问题加以分类解析。 一、求抽象函数的定义域 1.若已知函数fg(x)的定义域为x(a，b)，求函数f(x)。 解决这类问题的方法是：利用a例1.已知函数f(x+1)的定义域是-2，3，求y=f(x)的定义域。 解：因为函数f(x+1)的定义域是-2，3，所以-2x3 所以-1x+14，因此y=f(x)的定义域是-1，4 2.若已知函数f(x)的定义域为x(a，b)，求fg(x)函数的定义域。 解决这类问题的方法是：a例2.已知函数f(x)的定义域为(0，1，求函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)(-解：因为函数f(x)的定义域为(0，1 所以0由于-所以不等式组()的解为-a即g(x)=f(x+a)+f(x-a)(- 二、抽象函数的周期性和奇偶性 1.抽象函数的周期性 例3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2)，且当x(-1，1时，f(x)=x2+2x， 求当x(3，5时，f(x)的解析式。 解：f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x) f(x)是以4为周期的周期函数 设x(3，5时，则-1f(x)=f(x-4)=(x+4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3评注：若对函数f(x)定义域内的任意，恒有下列条件之一成立(以下式子分母不为零，a0) f(x+a)=-f(x)f(x+a)=f(x+a)=- f(x+a)=-f(x+a)=-f(x+a)=f(x-a) 则函数f(x)是以2a为周期的周期函数 2.抽象函数的奇偶性 奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，有时为了便于判断函数的奇偶性，也往往需要先将函数进行化简，或运用定义的等价形式，但对于抽象函数的奇偶性的判断主要是用赋值法，构造出定义的形式。 例4.已知定义在上的函数f(x)，对于任意x，yR都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)0 (1)求f(0)的值 (2)判断函数f(x)的奇偶性 解：(1)令x=y=0，则有2f(0)=2f(0)2f(0)0f(0)=1 (2)令x=0，得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y) 所以f(-y)=f(y)这说明函数f(x)是偶函数。 三、抽象函数图像的对称变换 结论1：函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称; 函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于轴对称; 函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点轴对称; 函数y=f-1(x)与函数y=f(x)的图像关于直线y=x轴对称。 结论2：若对定义域内的一切x均有f(x+m)=f(n-x)成立，则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称。 结论3：函数y=f(x+a)与y=f(-x+b)的图像关于直线x=对称(a，b为常数)。 例5.设函数y=f(x)的定义域为，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于() A.直线y=0对称B.直线x=0对称 C.直线y=1对称D.直线x=1对称 错解：因为函数y=f(x)的定义域为R，且f(x-1)=f(1-x)，所以函数y=f(x)的图像关于直线x=0对称，故选择B。 错解分析：错误的原因是将两个不同的对称问题混为一谈，即将两个不同函数图像的对称问题，错误地当成一个函数的图像对称问题，从而导致错误。 正解：因为函数y=f(x)的定义域为R，而y=f(x-1)的图像是y=f(x)图像向右平移1个单位而得到的f(1-x)=f-(x-1)的图像是y=f(-x)图像向右平移1个单位而得到的，又因为f(x)与f(-x)的图像关于y轴对称，因此函数y=f(x-1)与y=f(1-x的图像关于直线x=1对称，故应该选择D。 四、求抽象函数的解析式 解决抽象函数解析式的问题，关键是构造出函数f(x)。通常采取赋值法，赋予恰当的数值或代数式后，通过合理运算推理，最后得出结论。 例6.已知f(0)=1，f(a-b