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文档简介

相平面法 1 一 相平面法的基本概念 2 3 4 5 一族椭圆 自持振荡 初始条件不同 椭圆大小也随之变化 6 二 相平面图的绘制 1 解析法 7 例7 5 绘制系统相平面图 8 9 2 图解法 10 表示相平面上相轨迹的斜率 等倾线方程 11 12 即等倾线方程 13 当等倾线为直线时 应用等倾线画相平面图是很方便的 14 3 实验法 15 三 奇点和奇线 引入相平面的概念 不仅是求取相轨迹 而且要通过对相平面的研究 确定系统所有可能的运动状态及性能 因此需要进一步研究相平面图的基本特征 从而找出相平面图与系统的运动状态和性能之间的关系 系统的相平面图有以下两个基本特征 奇点 奇线 16 17 奇点一定在轴上 即速度为零 加速度也为零 18 19 有了奇点的一些概念 便可以利用对奇点的认识较快的画出相轨迹的草图 其步骤为 1 求出奇点位置 2 在奇点附近通过线性化判断奇点类型 并在奇点附近画出相应的相轨迹线 3 在远离奇点处 用等倾线等方法完成相轨迹图 20 21 22 忽略 23 将相平面分成了两个不同的区域 故称分隔线 20 非线性系统的运动状态和性能与初始条件有关 24 25 26 从相平面图上看 稳定极限环把相平面划分成两个区域 内部的相轨迹随时间的增加是发散的 故为不稳定区 而外部的相轨迹随时间的增加收敛于这个极限环 故为稳定区 设计时 应尽量减小这种极限环 以满足对稳态误差的要求 27 若初始条件在环内 则系统状态将趋于平衡点 反之 系统状态将远离平衡点 所以具有不稳定极限环的系统 其平衡状态小范围是稳定的 大范围是不稳定的 设计时 应尽量增大极限环 28 被极限环划分的两区域都不稳定 因此系统将具有振荡发散状态 两区域都稳定 因此系统的运动状态最终将趋于环内平衡点 不会产生自振荡 29 里面是不稳定极限环 而外面是稳定极限环 当系统的初始状态处于不稳定的极限环的内部时 系统能稳定工作 而当初始条件处于不稳定的极限环的外部时 则系统将产生自振荡 这个自振荡由稳定极限环所决定 应当指出 对于实际的非线性系统 可能有极限环 也可能没有极限环 有的系统还可能有几个极限环 30 非线性系统的相平面法分析 系统的相平面图是系统微分方程解的一种几何表示 它与系统的运动状态和性能有着密切的联系 本节将讨论如何利用相平面法分析非线性系统 31 一 用相平面法分析非线性系统 32 例7 8 33 34 35 36 37 38 例7
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