高考数学总复习 第十章 第八节条件概率与事件的独立性课件 理.ppt

第八节条件概率与事件的独立性 第十章计数原理 概率 随机变量及其分布 考纲要求 了解条件概率和两个事件相互独立的概念 并能解决一些简单的实际问题 课前自修 知识梳理 一 相互独立事件1 相互独立事件的定义 事件a 或b 是否发生对事件b 或a 发生的概率 这样的两个事件叫做 事件 若a与b是相互独立事件 则a与 与 与 也相互独立 2 相互独立事件同时发生的概率 p a b 若事件a1 a2 an相互独立 则 没有影响 相互独立 b p a p b p a1 a2 an p a1 p a2 p an 二 条件概率及其性质1 条件概率的定义 设a b为两个事件 且p a 0 称p b a 为在事件a发生的条件下 事件b发生的概率 把p b a 读作 a发生的条件下b的概率 2 条件概率的性质 1 条件概率具有一般概率的性质 即0 p b a 1 2 若b和c是两个互斥事件 则p b c a p b a p c a 基础自测 1 两个实习生每人加工一个零件 加工为一等品的概率分别为和 两个零件是否加工为一等品相互独立 则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 a b c d 解析 恰有一个一等品即一个是一等品 另一个不是 则情形为两种 即甲为一等品乙不是或乙为一等品甲不是 p 故选b 答案 b 2 某种节能灯使用了800h 还能继续使用的概率是0 8 使用了1000h还能继续使用的概率是0 5 问已经使用了800h的节能灯 还能继续使用到1000h的概率是 解析 设节能灯使用了800h还能继续使用为事件a 使用了1000h还能继续使用为事件b 则由题意知p a 0 8 p b 0 5 b a 故a b b 于是p b a 0 625 已经使用了800h的节能灯还能继续使用到1000h的概率为0 625 答案 0 625 3 在10个球中有6个红球 4个白球 各不相同 不放回的依次摸出2个球 在第一次摸出红球的条件下 第2次也摸出红球的概率是 答案 4 2011 湖南卷 如图 efgh是以o为圆心 半径为1的圆的内接正方形 将一颗豆子随机地扔到该圆内 用a表示事件 豆子落在正方形efgh内 b表示事件 豆子落在扇形ohe阴影部分内 则 1 p a 2 p b a 考点探究 考点一 独立事件同时发生的概率 例1 2012 深圳高级中学期末改编 计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行 每部分考试成绩只记 合格 与 不合格 两部分考试都 合格 则计算机考试 合格 并颁发 合格证书 甲 乙 丙三人在理论考试中合格的概率分别为 在上机操作考试中合格的概率分别为 所有考试是否合格相互之间没有影响 1 甲 乙 丙三人在同一次计算机考试中谁获得 合格证书 可能性最大 2 求这三人计算机考试都获得 合格证书 的概率 解析 记 甲理论考试合格 为事件a1 乙理论考试合格 为事件a2 丙理论考试合格 为事件a3 记i为ai的对立事件 i 1 2 3 记 甲上机考试合格 为事件b1 乙上机考试合格 为事件b2 丙上机考试合格 为事件b3 点评 1 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 正面计算较繁或难于入手时 可以从其对立事件入手进行计算 2 在应用相互独立事件的概率乘法公式时 一定要认真审题 找准关键字句 如 至少有一个发生 至多有一个发生 恰有一个发生 等等 同时结合独立事件的概率乘法进行求解 变式探究 1 某班有两个课外活动小组 其中第一小组有足球票6张 排球票4张 第二小组有足球票4张 排球票6张 甲从第一小组的10张票中任抽1张 乙从第二小组的10张票中任抽1张 1 两人都抽到足球票的概率是多少 2 两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少 解析 记 甲从第一小组的10张票中任抽1张 抽到足球票 为事件a 乙从第二小组的10张票中任抽1张 抽到足球票 为事件b 记 甲从第一小组的10张票中任抽1张 抽到排球票 为事件 乙从第二小组的10张票中任抽1张 抽到排球票 为事件 于是p a p 由于甲 或乙 是否抽到足球票 对乙 或甲 是否抽到足球票没有影响 因此a与b是相互独立事件 1 甲 乙两人都抽到足球票就是事件a b发生 根据相互独立事件的概率乘法公式 得到p a b p a p b 两人都抽到足球票的概率是 例2 甲 乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0 7 0 6 且每次试跳成功与否相互之间没有影响 求 1 甲试跳三次 第三次才成功的概率 2 甲 乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率 3 甲 乙各试跳两次 甲比乙的成功次数恰好多一次的概率 思路点拨 本题主要考查独立事件同时发生概率的基础知识 运用数学知识解决问题的能力 以及推理与运算能力 解析 记 甲第i次试跳成功 为事件ai 乙第i次试跳成功 为事件bi 依题意得p ai 0 7 p bi 0 6 且ai bi i 1 2 3 相互独立 1 甲第三次试跳才成功 为事件 且三次试跳相互独立 p a3 p 1 p 2 p a3 0 3 0 3 0 7 0 063 甲第三次试跳才成功的概率为0 063 2 甲 乙两人在第一次试跳中至少有一人成功 为事件c 3 设 甲在两次试跳中成功i次 为事件mi i 0 1 2 乙在两次试跳中成功i次 为事件ni i 0 1 2 事件 甲 乙各试跳两次 甲比乙的成功次数恰好多一次 可表示为m1n0 m2n1 且m1n0 m2n1为互斥事件 所求的概率为p m1n0 m2n1 p m1n0 p m2n1 p m1 p n0 p m2 p n1 0 7 0 3 0 42 0 72 0 6 0 4 0 0672 0 2352 0 3024 甲 乙每人试跳两次 甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0 3024 点评 解题时要注意把一个事件分拆为n个互斥事件时 要考虑周全 变式探究 2 2011 怀化市模拟 甲 乙 丙三人参加一家公司的招聘面试 面试合格者可正式签约 甲表示只要面试合格就签约 乙 丙则约定 两人面试都合格就一同签约 否则两人都不签约 设每人面试合格的概率都是 且面试是否合格互不影响 求 1 至少一人面试合格的概率 2 没有人签约的概率 例3 如图 由m到n的电路中有4个元件 分别标为t1 t2 t3 t4 电流能通过t1 t2 t3的概率都是p 电流能通过t4的概率是0 9 电流能否通过各元件相互独立 已知t1 t2 t3中至少有一个能通过电流的概率为0 999 1 求p 2 求电流能在m与n之间通过的概率 解析 记ai表示事件 电流通过ti i 1 2 3 4 a表示事件 t1 t2 t3中至少有一个能通过电流 b表示事件 电流能在m与n之间通过 0 9 0 1 0 9 0 9 0 1 0 1 0 9 0 9 0 9891 故电流能在m与n之间通过的概率为0 9891 变式探究 3 2012 北京市丰台区期末改编 某市医疗保险实行定点医疗制度 按照 就近就医 方便管理 的原则 参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构 若甲 乙 丙 丁4名参加保险人员所在的地区附近有a b c三家社区医院 并且他们对社区医院的选择是相互独立的 1 求甲 乙两人都选择a社区医院的概率 2 求甲 乙两人不选择同一家社区医院的概率 解析 1 设 甲 乙两人都选择a社区医院 为事件a 那么p a 所以 甲 乙两人都选择a社区医院的概率为 2 设 甲 乙两人选择同一社区医院 为事件b 那么p b 所以甲 乙两人不选择同一个社区医院的概率是p 1 p b 考点二 条件概率 例4 在6道题中有4道理科题和2道文科题 如果不放回地依次抽取2道题 求 1 第1次抽到理科题的概率 2 第1次和第2次都抽到理科题的概率 3 在第1次抽到理科题的条件下 第2次都抽到理科题的概率 解析 设第1次抽到理科题为事件a 第2次抽到理科题为事件b 则第1次和第2次都抽到理科题为事件ab 1 从6道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n 30 根据分步乘法计数原理 得n a 20 于是 点评 对于问题 3 解法一是依据条件概率的定义去求 在实际应用中 解法二是一种重要的求条件概率的方法 变式探究 4 1 高三 1 班的甲 乙两个数学兴趣小组中 甲组有5名同学 乙组有7名同学 现从中抽取3人参加数学竞赛 已知甲组有一名同学确定参加 则另两名同学恰好每组一名的概率是 2 某科研所培育成功一种玉米新品种 经试验知该玉米品种的发芽率为0 9 出芽后幼苗的成活率为0 8 则玉米新品种的一粒种子能成长为幼苗的概率是 解析 1 记a 甲组有一名同学确定参加 b 另两名同学恰好每组一名 则n a 55 n ab 28 p b a 2 记a 一粒种子发芽 b 一粒种子成长为幼苗 依题设p a 0 9 p b a 0 8 则所求事件的概率p ab p a p b a 0 9 0 8 0 72 答案 1 2 0 72 考点三 与条件概率相关的综合问题 例5 甲箱的产品中有5个正品和3个次品 乙箱的产品中有4个正品和3个次品 1 从甲箱中任取2个产品 求这2个产品都是次品的概率 2 若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中 然后再从乙箱中任取一个产品 求取出的这个产品是正品的概率 解析 1 从甲箱中任取2个产品的事件数为 28 这2个产品都是次品的事件数为 3 这2个产品都是次品的概率为 2 设事件a为 从乙箱中取一个正品 事件b1为 从甲箱中取出2个产品都是正品 事件b2为 从甲箱中取出1个正品1个次品 事件b3为 从甲箱中取出2个产品都是次品 则事件b1 事件b2 事件b3彼此互斥 变式探究 5 已知男人中有5 患有色盲 女人中有0 25 患有色盲 从100个男人和100个女人中任选1人 1 求此人患有色盲的概率 2 如果此人是色盲 求此人是男人的概率 2 设事件a表示 从100个男人和100个女人中任选1人 此人是色盲 事件b表示 从100个男人和100个女人中任选1人 此人是男人 1 已知事件a发生 在此条件下事件b发生 相当于事件ab发生 求p b a 时 相当于把a看做新的基本事件空间来计算事件ab发生的概率 即 如何区分条件概率p b a 与概率p b 它们都是以样本空间 为总样本 样本空间的划分也相同 但它们取概率的前提是不同的 概率p b 是指在整个样本空间 的条件下b事件发生的可能性大小 而条件概率p b a 是在事件a发生的条件下 b事件发生的可能性大小 当把事件a设成样本空间 时 p b a p b 2 互斥事件与相互独立事件的区别 两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生 两事件相互独立是指不同试验下 二者互不影响 两个相互独立事件不一定互斥 即可能同时发生 而互斥事件不可能同时发生 3 解决概率问题要注意的 三个步骤 第一步 确定事件的性质 古典概型 几何概型 互斥事件 独立事件 条件概率 独立重复试验 然后把所给问题归为六类问题的某一种 第二步 判断事件的运算 和事件 积事件 即确定事件至少有一个发生还是同时发生 分别运用相加或相乘概率公式 第三步 运用公式 古典概型用p a 几何概型用p a 互斥事件用p a b p a p b 独立事件用p a b p a p b 条件概率用p b a 独立重复试验 用p x k pk 1 p n k k 0 1 2 n求得 4 概率问题常常与排列 组合知识相结合 5 在解概率题时应注意的问题 在解题过程中 要明确事件中的 至少有一个发生 至多有一个发生 恰有一个发生 都发生 都不发生 不都发生 等词语的意义 已知两个事件a b 它们的概率分别为p a p b 那么 a b中至少有一个发生的事件为a b a b都发生的事件为ab a b恰有一个发生的事件为a b a b中至多有一个发生的事件为a b 它们之间的概率关系如下表所示 感悟高考 品味高考 1 甲 乙两队进行排球决赛 现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军 乙队需要再赢两局才能得冠军 若两队胜每局的概率相同 则甲队获得冠军的概率为 解析 根据互斥事件概率与独立事件概率得 第一局甲就胜了 概率为 另一种情况为第一局甲输了 第二局甲胜了 概率为 所以甲胜的概率为故选d 答案 d 2 从1 2 3 4 5中任取2个不同的数 事件a 取到的2个数之和为偶数 事件b 取到的2个数均为偶数 则p b a 解析 由于n a 1 4 n ab 1 所以p b a 故选b 答案 b 3 甲罐中有5个红球 2个白球和3个黑球 乙罐中有4个红球 3个白球和3个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以a1 a2和a3表示由甲罐取出的球是红球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以b表示由乙罐取出的球是红球的事件 则下列结论中正确的是 写出所有正确结论的编号 p b p b a1 事件b与事件a1相互独立 a1 a2 a3是两两互斥的事件 p b 的值不能确定 因为它与a1 a2 a3中哪一个发生有关 高考预测 1 2012 威海市一模 甲 乙两人进行跳绳比赛 规定 若甲赢一局 比赛结束 甲胜出 若乙赢两局 比赛结束 乙胜出 已知每一局甲 乙二人获胜的概