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柯西证明均值不等式的方法by zhangyuong（数学之家）本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。一般的均值不等式我们通常考虑的是:一些大家都知道的条件我就不写了我曾经在几个重要不等式的证明中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：这样的步骤重复n次之后将会得到令由这个不等式有即得到这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：例1：例2：这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：给出例1的证明：例3：要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式其实由均值不等式，以及函数是在R上单调递减因此我们要证明：证明以下引理：所以原题目也证毕了这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:，则四维：一直进行n次有,令有所以得到所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件
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