等腰三角形的性质

等腰三角形 13 3 1 动手做一做 ABC有什么特点 看一看 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 等腰三角形中 相等的两边都叫做腰 另一边叫做底边 两腰的夹角叫做顶角 腰和底边的夹角叫做底角 底边 概念 1 等腰三角形一腰为3cm 底为4cm 则它的周长是 2 等腰三角形的一边长为3cm 另一边长为4cm 则它的周长是 3 等腰三角形的一边长为3cm 另一边长为8cm 则它的周长是 10cm 10cm或11cm 19cm 小试牛刀 等腰三角形是轴对称图形吗 思考 等腰三角形是轴对称图形 对称轴是顶角平分线所在的直线 AB AC BD CD AD AD B C BAD CAD ADB ADC 等腰三角形除了两腰相等以外 你还能发现它的角有什么性质吗 大胆猜想 猜想与论证 等腰三角形的两个底角相等 已知 ABC中 AB AC 求证 B C 分析 1 如何证明两个角相等 2 如何构造两个全等的三角形 则有 1 2 D 1 2 在 ABD和 ACD中 证明 作顶角的平分线AD AB AC 1 2 AD AD 公共边 ABD ACD SAS B C 全等三角形对应角相等 方法一 则有BD CD D 在 ABD和 ACD中 证明 作 ABC的中线AD AB AC BD CD AD AD 公共边 ABD ACD SSS B C 全等三角形对应角相等 则有 ADB ADC 90 D 在Rt ABD和Rt ACD中 证明 作 ABC的高线AD AB AC AD AD 公共边 Rt ABD Rt ACD HL B C 全等三角形对应角相等 用符号语言表示为 在 ABC中 AC AB 已知 B C 等边对等角 等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形一个底角为75 它的另外两个角为 75 30 70 40 或55 55 35 35 小试牛刀 等腰三角形一个角为70 它的另外两个角为 3 等腰三角形一个角为110 它的另外两个角为 顶角 2 底角 180 顶角 180 2 底角 底角 180 顶角 2 0 顶角 180 0 底角 90 结论 在等腰三角形中 想一想 刚才的证明除了能得到 B C你还能发现什么 AB AC BD CD AD AD B C BAD CAD ADB ADC 90 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 性质2 等腰三角形三线合一 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线 底边上的高互相重合 性质2可分解成下面三个方面来理解 归纳等腰三角形的性质 2 等腰三角形三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高相互重合 简写成 三线合一 1 等腰三角形的两个底角相等 简写成 等边对等角 1 等腰三角形的顶角的平分线 既是底边上的中线 又是底边上的高 应用格式 AB AC 1 2 已知 BD DCAD BC 等腰三角形三线合一 2 等腰三角形的底边上中线 既是底边上的高 又是顶角平分线 应用格式 AB ACBD DC 已知 AD BC 1 2 等腰三角形三线合一 3 等腰三角形的底边上的高 既是底边上的中线 又是顶角平分线 应用格式 AB ACAD BC 已知 BD DC 1 2 等腰三角形三线合一 画出任意一个等腰三角形的底角平分线 这个底角所对的腰上的中线和高 看看它们是否重合 不重合 三线合一 应该对应等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和底边上的高 1 等腰三角形的顶角一定是锐角 2 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角 钝角都可以 3 等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边 4 等腰三角形的角平分线 中线和高互相重合 5 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角 X X X 明辨是非 例1 如图 在 ABC中 AB AC 点D在AC上 且BD BC AD 求 ABC各角的度数 x x 2x 2x 2x 解 AB AC BD BC AD ABC C BDC A ABD 等边对等角 设 A x 则 BDC A ABD 2x 从而 ABC C BDC 2x 于是在 ABC中 有 A ABC C x 2x 2x 180 解得x 36 在 ABC中 A 36 ABC C 72 如图 在 ABC中 AB AC D是BC边上的中点 B 30 求 和 ADC的度数 AB AC D是BC边上的中点 ADC 90 BAC 180 30 30 120 三线合一 课堂练习 轴对称图形 两个底角相等 简称 等边对等角 顶角平分线 底边上的