抛物线上存在性问题的探究教案.doc

抛物线上存在性问题的探究教案 一、教学目标1、通过本节课的复习，进一步提高学生运用二次函数、平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识解决问题的能力。2能从数和形的角度探究抛物线上图形的若干综合问题二、重点和难点重点：利用抛物线上的图形的特性，如何将问题转化为基本的数学问题难点：根据题意找出能使四边形转变成平行四边形、矩形、菱形、正方形的条件。三、教学过程一、平行四边形与抛物线1、（2012钦州）如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中ABO沿x轴向左平移到DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MNy轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，），对称轴是直线x=）1、解：（1）由于抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点B（0，4），则 c=4；抛物线的对称轴 x=，b=5a=；即抛物线的解析式：y=x2+x+4（2）A（4，0）、B（3，0）OA=4，OB=3，AB=5；若四边形ABCD是菱形，则 BC=AD=AB=5，C（5，3）、D（1，0）将C（5，3）代入y=x2+x+4中，得：（5）2+（5）+4=3，所以点C在抛物线上；同理可证：点D也在抛物线上（3）设直线CD的解析式为：y=kx+b，依题意，有：，解得 直线CD：y=x由于MNy轴，设 M（t，t2+t+4），则 N（t，t）；t5或t1时，l=MN=（t2+t+4）（t）=t2+t+；5t1时，l=MN=（t）（t2+t+4）=t2t；若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，由于MNCE，则MN=CE=3，则有：t2+t+=3，解得：t=32；二、 梯形与抛物线1、已知，在RtOAB中，OAB=90，BOA=30，AB=2若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内将RtOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处（1）求点C的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx（a0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由1、解：（1）过点C作CHx轴，垂足为H；在RtOAB中，OAB=90，BOA=30，AB=2，OB=4，OA=2；由折叠的性质知：COB=30，OC=AO=2，COH=60，OH=，CH=3；C点坐标为（，3）（2）抛物线y=ax2+bx（a0）经过C（，3）、A（2，0）两点，解得；此抛物线的函数关系式为：y=x2+2x（3）存在因为y=x2+2x的顶点坐标为（，3），即为点C，MPx轴，垂足为N，设PN=t；因为BOA=30，所以ON=t，P（t，t）；作PQCD，垂足为Q，MECD，垂足为E；把x=t代入y=x2+2x，得y=3t2+6t，M（t，3t2+6t），E（，3t2+6t），同理：Q（，t），D（，1）；2.（2012玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？.解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在RtPCQ中，由勾股定理得：PC=4，OC=OP+PC=4+4=8，又矩形AOCD，A（0，4），D（8，4）点P到达终点所需时间为=4秒，点Q到达终点所需时间为=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0t4（2）结论：AEF的面积S不变化AOCD是矩形，ADOE，AQDEQC，即，解得CE=由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4t，则CF=CD+DF=8tS=S梯形AOCF+SFCESAOE=（OA+CF）OC+CFCEOAOE=4+（8t）8+（8t）4（8+）化简得：S=32为定值所以AEF的面积S不变化，S=32（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQAF由PQAF可得：CPQDAF，即，化简得t212t+16=0，解得：t1=6+2，t2=62，由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合题意，舍去当t=（62）秒时，四边形APQF是梯形三、 等腰三角形、菱形与抛物线1、（2012龙岩）在平面直角坐标系xOy中，一块含60角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（1，0）（1）请直接写出点B、C的坐标：B 、C ；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M设AE=x，当x为何值时，OCEOBC；在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由1、解：（1）点A（1，0），OA=1，由图可知，BAC是三角板的60角，ABC是30角，所以，OC=OAtan60=1=，OB=OCcot30=3，所以，点B（3，0），C（0，），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2+x+；（2）OCEOBC，=，即=，解得OE=1，所以，AE=OA+OE=1+1=2，即x=2时，OCEOBC；存在理由如下：抛物线的对称轴为x=1，所以，点E为抛物线的对称轴与x轴的交点，OA=OE，OCx轴，BAC=60，ACE是等边三角形，AEC=60，又DEF=60，FEB=60，BAC=FEB，EFAC，由A（1，0），C（0，）可得直线AC的解析式为y=x+，点E（1，0），直线EF的解析式为y=x，联立，解得，（舍去），点M的坐标为（2，），EM=2，分三种情况讨论PEM是等腰三角形，当PE=EM时，PE=2，所以，点P的坐标为（1，2）或（1，2），当PE=PM时，FEB=60，PEF=9060=30，PE=EMcos30=2=，所以，点P的坐标为（1，），当PM=EM时，PE=2EMcos30=22=2，所以，点P的坐标为（1，2），综上所述，抛物线对称轴上存在点P（1，2）或（1，2）或（1，）或（1，2），使PEM是等腰三角形四、 直角三角形与抛物线1、（2012广州）如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式1、解：（1）令y=0，即=0，解得x1=4，x2=2，A、B点的坐标为A（4，0）、B（2，0）（2）SACB=ABOC=9，在RtAOC中，AC=5，设ACD中AC边上的高为h，则有ACh=9，解得h=如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是l1和l2，则直线与对称轴x=1的两个交点即为所求的点D设l1交y轴于E，过C作CFl1于F，则CF=h=，CE=设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（4，0），B（0，3）坐标代入，得到，解得，直线AC解析式为y=x+3直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，直线l1的解析式为y=x+3=x则D1的纵坐标为（1）=，D1（4，）同理，直线AC向上平移个长度单位得到l2，可求得D2（1，）综上所述，D点坐标为：D1（4，），D2（1，）（3）如答图2，以AB为直径作F，圆心为F过E点作F的切线，这样的切线有2条连接FM，过M作MNx轴于点NA（4，0），B（2，0），F（1，0），F半径FM=FB=3又FE=5，则在RtMEF中，ME=4，sinMFE=，cosMFE=在RtFMN中，MN=MNsinMFE=3=，FN=MNcosMFE=3=，则ON=，M点坐标为（，）直线l过M（，），E（4，0），设直线l的解析式为y=kx+b，则有，解得，所以直线l的解析式为y=x+3同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x3综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x3五、 相似三角形与抛物线1、（2012福州）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、B（4，4）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足PODNOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）1、解：（1）抛物线y=y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、B（4，4），解得：抛物线的解析式是y=x23x（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1直线OB的解析式为y=x，直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=xm，点D在抛物线y=x23x上，可设D（x，x23x），又点D在直线y=xm上，x23x=xm，即x24x+m=0，抛物线与直线只有一个公共点，=164m=0，解得：m=4，此时x1=x2=2，y=x23x=2，D点的坐标为（2，2）（3）直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），点A关于直线OB的对称点A的坐标是（0，3），设直线AB的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），4k2+3=4，解得：k2=，直线AB的解析式是y=，NBO=ABO，点N在直线AB上，设点N（n，），又点N在抛物线y=x23x上，=n23n，解得：n1=，n2=4（不合题意，舍去）N点的坐标为（，）方法一：如图1，将NOB沿x轴翻折，得到N1OB1，则N1（，），B1（4，4），O、D、B1都在直线y=x上P1ODNOB，P1ODN1OB1，点P1的坐标为（，）将OP1D沿直线y=x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）六、抛物线中的翻折问题1、（2012天门）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q是否存在点P，使Q恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由1、解：（1）抛物线y=ax2+bx+2经过A（1，0），B（4，0）两点，解得：y=x2+x+2；当y=2时，x2+x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍），即：点D坐标为（3，2）（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：当AE为一边时，AEPD，P1（0，2），当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，P点的纵坐标为2，代入抛物线的解析式：x2+x+2=2解得：x1=，x2=，P点的坐标为（，2），（，2）综上所述：p1（0，2）；p2（，2）；p3（，2）（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，a2+a+2），当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，PQ=2（a2+a+2）=a2a，又CQO+FQP=90，COQ=QFP=90，FQP=OCQ，COQQFP，QF=a3，OQ=OFQF=a（a3）=3，CQ=CQ=，此时a=，点P的坐标为（，），当P点在y轴左侧时（如图2）此时a0，a2+a+20，CQ=a，PQ=2（a2+a+2）=a2a，又CQO+FQP=90，CQO+OCQ=90，FQP=OCQ，COQ=QFP=90，COQQFP，QF=3a，OQ=3，CQ=