高中数学 3.2数学证明课件 北师大版选修12.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修1 2 推理与证明 第三章 2数学证明 第三章 结合已学过的数学实例和生活中的实例 体会演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 通过具体实例 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 重点 演绎推理的含义及演绎推理规则 难点 演绎推理的应用 思维导航日常生活中我们经常接触这样的推理形式 所有金属都导电 因为铁是金属 所以铁导电 它是合情推理吗 这种推理形式正确吗 演绎推理 新知导学1 演绎推理从 出发 推出 情况下的结论 我们把这种推理称为演绎推理 简言之 演绎推理是由 的推理 一般性的原理 某个特殊 一般到特殊 2 三段论 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 1 大前提 已知的 2 小前提 所研究的 3 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的 一般原理 特殊情况 判断 其一般推理形式为大前提 m是p 小前提 s是m 结论 利用集合知识说明 三段论 若集合m的所有元素都具有性质p s是m的一个子集 那么 s是p s中所有元素也都具有性质p 3 在演绎推理中 前提与结论之间存在必然的联系 只要前提是真实的 推理的形式是正确的 那么 必定是正确的 因而演绎推理是数学中严格证明的工具 而合情推理的结论 正确 为了方便 在运用三段论推理时 常常采用省略大前提或小前提的表述方式 对于复杂的论证 总是采用一连串的三段论 把前一个三段论的 作为下一个三段论的前提 结论 不一定 结论 牛刀小试1 在不等边三角形abc中 a为最长边 要想得到其对角 a为钝角的结论 三边a b c应满足的条件是 a a2b2 c2d a2 b2 c2 答案 c 答案 a 解析 大前提错误 因为对数函数y logax 0 a 1 是减函数 故选a 3 2013 天津红桥区高二质检 所有9的倍数都是3的倍数 某奇数是9的倍数 故某奇数是3的倍数 上述推理是 a 完全正确b 推理形式不正确c 错误 因为大小前提不一致d 错误 因为大前提错误 答案 a 4 2014 郑州一中期中 厦门六中高二期中 有一段 三段论 推理是这样的 对于可导函数f x 若f x0 0 则x x0是函数f x 的极值点 因为f x x3在x 0处的导数值f 0 0 所以x 0是f x x3的极值点 以上推理中 a 大前提错误b 小前提错误c 推理形式错误d 结论正确 答案 a 解析 f x0 0是f x 在x x0取得极值的必要条件 而不是充分条件 大前提是错误的 5 补充下列推理 使其成为完整的三段论 1 因为互为相反数的两个数的和为0 又因为a与b互为相反数且 所以b 8 2 因为 又因为e 2 71828 是无限不循环小数 所以e是无理数 答案 1 a 8 2 无限不循环小数都是无理数 6 判断下列推理是否正确 为什么 因为过不共线的三点有且仅有一个平面 大前提 而a b c为空间三点 小前提 所以过a b c三点只能确定一个平面 结论 解析 不正确 因为大前提中的 三点 不共线 而小前提中的 三点 没有不共线的限制条件 演绎推理的基本形式 三段论 分析 即写出推理的大前提 小前提 结论 大前提可能在题目中给出 也可能是已经学过的知识 解析 1 每个菱形的对角线都相互垂直大前提正方形是菱形小前提正方形的对角线相互垂直结论 2 若两个角是对顶角则两角相等大前提 1和 2不相等小前提 1和 2不是对顶角结论 方法规律总结 分析演绎推理的构成时 要正确区分大前提 小前提 结论 省略大前提的要补出来 在三段论中 大前提 提供了一般的原理 小前提 指出了一个特殊场合的情况 结论 在大前提和小前提的基础上 说明一般原则和特殊情况间的联系 平时大家早已能自发地使用三段论来进行推理 学习三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法 把下列演绎推理写成三段论的形式 1 在一个标准大气压下 水的沸点是100 所以在一个标准大气压下把水加热到100 时 水会沸腾 2 因为 2100 1 是奇数 所以 2100 1 不能被2整除 3 如果 a与 b是两条平行直线的同旁内角 那么 a b 180 4 因为函数y 2x 1是一次函数 所以y 2x 1是单调函数 5 711能被3整除 分析 在使用三段论推理的过程中 有时为了简便 略去大前提或小前提 分析推理过程时 要把略去的部分补出来 明确其大前提 小前提是什么 解析 1 大前提 在一个标准大气压下 水的沸点是100 小前提 在一个标准大气压下把水加热到100 结论 水会沸腾 2 大前提 一切奇数都不能被2整除 小前提 2100 1是奇数 结论 2100 1不能被2整除 3 大前提 两条直线平行 同旁内角互补 小前提 a与 b是两条平行直线的同旁内角 结论 a b 180 4 大前提 一次函数都是单调函数 小前提 函数y 2x 1是一次函数 结论 y 2x 1是单调函数 5 大前提 各位数字的和能被3整除的整数 能被3整除 小前提 711的各位数字的和能被3整除 结论 711能被3整除 演绎推理的判断 3 三角函数是周期函数 大前提 y sinx 0 x 是三角函数 小前提 y sinx 0 x 是周期函数 结论 分析 判断三段论推理是否正确 必须严格按其推理规则进行考察 其推理规则为 所有m都是p s是m s是p 既要看大前提 小前提是否有误 也要看推理形式是否合乎规范 解析 1 推理形式错误 自然数是整数为大前提 小前提应是判断某数为自然数 而不是某数为整数 2 推理形式错误 大前提中m是 中国的大学 它的含义是中国的每一所大学 而小前提中的 中国的大学 仅表示中国的一所大学 二者是两个不同的概念 犯了偷换概念错误 3 推理形式错误 大前提中的 三角函数 和小前提中的 三角函数 概念不同 方法规律总结 1 判断演绎推理是否正确的方法 1 看推理形式是否为由一般到特殊的推理 只有由一般到特殊的推理才是演绎推理 这是最易出错的地方 2 看大前提是否正确 大前提往往是定义 定理 性质等 注意其中有无前提条件 3 看小前提是否正确 注意小前提必须在大前提范围之内 4 看推理过程是否正确 即看由大前提 小前提得到的结论是否正确 2 在应用三段论推理中 最常见的错误是偷换概念的错误 即大前提与小前提中同一名称的概念含义不同 其次是推理形式错误 大前提 所有m都是p 则小前应是 s是m 而非 s是p 3 设a b a 0 b 0 等式两边乘以a 得a2 ab 两边减去b2 得a2 b2 ab b2 两边分解因式 得 a b a b b a b 两边除以 a b 得a b b 以b代a 得2b b 两边除以b 得2 1 解析 上述推理过程都是错误的 1 犯了偷换论题 以偏概全的错误 在证明过程中 把论题中的四边形改为矩形 2 使用的论据是 无理数与无理数的和是无理数 这个论据是假的 因为两个无理数的和不一定是无理数 因此原题的真实性仍无法断定 3 所得结果显然是错误的 错误的原因在于以 a b 除等式两边 因为a b 而a b 0 用0除等式两边 这是错误的 三段论在证明几何问题中的应用 解析 等腰三角形两底角相等 大前提 adc是等腰三角形 1和 2是两个底角 小前提 1 2 结论 两条平行线被第三条直线截得的内错角相等 大前提 1和 3是平行线ad bc被ac截得的内错角 小前提 1 3 结论 等于同一个角的两个角相等 大前提 2 1 3 1 小前提 2 3 即ac平分 bcd 结论 方法规律总结 应用演绎推理证明时 必须确切知道每一步推理的依据 大前提 验证条件是否满足 小前提 然后得出结论 用三段论分析下题的证明过程 如图 d e f分别是bc ca ab上的点 bfd a de ba 求证 ed af 证明过程如下 bfd a fd ae 又 de ba 四边形afde是平行四边形 ed af 1 若已知f x 为 友谊函数 求f 0 的值 2 函数g x 2x 1在区间 0 1 上是否为 友谊函数 并给出理由 3 已知f x 为 友谊函数 且0 x1 x2 1 求证 f x1 f x2 解题思路探究 第一步 审题 审条件 挖掘解题信息 定义域 0 1 在研究函数过程中不能超出这个范围 友谊函数 新定义包含三个条件 尤其条件 需严格证明后才能确定 审结论 明确解题目标 第 1 问已知f x 为友谊函数 求f 0 可用赋值法求解 第 2 问给出f x 解析式和定义区间 判断f x 是否为友谊函数 需紧扣定义验证f x 是否满足三个条件 第 3 问要证f x1 f x2 需依据条件 进行变换 注意条件 在变形中的应用 第二步 建联系 确定解题步骤 先用赋值法求第 1 问 再依次验证 2 中函数满足友谊函数的三个条件 最后 利用恒等变换技巧借助条件 推证第 3 问 第三步 规范解答 解析 1 取x1 x2 0 得f 0 f 0 f 0 f 0 0 又由f 0 0 得f 0 0 2 显然g x 2x 1在 0 1 上满足 g x 0 g 1 1 若x1 0 x2 0 且x1 x2 1 则有g x1 x2 g x1 g x2 2x1 x2 1 2x1 1 2x2 1 2x1 1 2x2 1 0 故g x 2x 1满足条件 所以g x 2x 1为 友谊函数 3 因为0 x1 x2 1 则0 x2 x1 1 所以f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 f x1 方法规律总结 1 应用演绎推理证明时 必须确切知道每一步推理的依据 大前提 验证条件是否满足 小前提 然后得出结论 2 在几何 代数证题过程中 如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐 也不必要 因此实际证题中 那些公认的简单事实 已知的公理 定理等大前提条件可以省略 那些