高中数学 3.4 第1课时 曲线与方程、圆锥曲线的共同特征课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 圆锥曲线与方程 第三章 3 4曲线与方程 第三章 第1课时曲线与方程 圆锥曲线的共同特征 1 了解曲线上的点集与方程的解集之间的一一对应关系 2 掌握曲线的方程和方程的曲线的概念 3 掌握求曲线方程的一般步骤 4 结合已学过的曲线 了解曲线与方程的对应关系 进一步感受数形结合的基本思想 5 了解圆锥曲线的统一定义 6 能解决椭圆和双曲线第二定义的常见问题 本节重点 曲线和方程的概念 确定曲线的方程 圆锥曲线的共同特征 本节难点 曲线与方程的关系 寻求动点所满足的几何条件 圆锥曲线统一定义的应用 一般地 在平面直角坐标系中 如果某曲线c 看作满足某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系 1 2 那么 这条曲线叫作 这个方程叫作 曲线上点的坐标都是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 方程的曲线 曲线的方程 1 圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e 当 时 圆锥曲线是椭圆 当 时 圆锥曲线是双曲线 当 时 圆锥曲线是抛物线 2 圆锥曲线的统一定义平面内与一个定点f和一条定直线l l不过f 的距离的比等于常数e的点的集合叫作圆锥曲线 这个定点f叫作圆锥曲线的焦点 这条定直线l叫作圆锥曲线的准线 常数e叫作圆锥曲线的离心率 0 e 1 e 1 e 1 1 坐标法 借助于坐标系 用坐标表示点 把曲线看成满足某条件的点的集合或轨迹 用曲线上点的坐标 x y 所满足的方程f x y 0表示曲线 通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质 这就叫坐标法 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫作解析几何 解析几何研究的主要问题是 根据已知条件 求出表示曲线的方程 通过曲线的方程 研究曲线的性质 2 在建立了直角坐标系之后 平面内的点与它的坐标即有序实数对之间就建立了一一对应关系 那么对应于符合某种条件的一切点 它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束 所以探求符合某种条件的点的轨迹问题 就变为探求这些点的横坐标与纵坐标受怎样的约束条件的问题 两个变数x y的方程f x y 0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的约束 一般由已知条件列出等式 再将点的坐标代入这个等式 就得到x y的方程 于是符合某种条件的点的集合 就变换到x y的二元方程的解的集合 当然要求两集合之间有一一对应的关系 也就是 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 这样一来 一个二元方程也就可以看作它的解所对应的点的全体组成的曲线 二元方程所表示的x y之间的关系 就是以 x y 为坐标的点所符合的条件 这样的方程就叫作曲线的方程 反过来 这条曲线就叫作方程的曲线 在曲线的方程的定义中 曲线上的点与方程的解之间的关系 1 和 2 缺一不可 而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的 从集合的角度来看 设a是曲线c上的所有点组成的点集 b是所有以方程f x y 0的实数解为坐标的点组成的点集 则由关系 1 可知a b 由关系 2 可知b a 同时具有关系 1 和 2 就有a b 4 曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上 用坐标表示点 用方程表示曲线 通过研究方程的特征来研究曲线的性质 那么 这条曲线叫作方程的曲线 这个方程叫作曲线的方程 5 过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数 当椭圆的焦点落在y轴上时 焦半径公式为 pf1 a ey1 pf2 a ey1 6 解题时可以把椭圆 双曲线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离 简化计算 7 如果遇到有动点到两定点距离的问题 应自然联想到椭圆 双曲线的第一定义 如果遇到有动点到一个定点及定直线的距离问题 应联想到椭圆 双曲线的第二定义 8 选取坐标的常见方法 1 若条件中只出现一个定点 常以定点为原点建立直角坐标系 2 若已知两定点 常以两定点的中点为原点 两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系 3 若已知两条互相垂直的直线 则以它们为坐标轴建立直角坐标系 4 若已知一定点和一定直线 常以点到直线的垂线段的中点为原点 以点到直线的垂线为x轴建立直角坐标系 答案 c 分析 从 曲线的方程 和 方程的曲线 两方面判断 曲线与方程的概念 解析 直接法 原说法写成命题形式即 若点m x y 是曲线l上的点 则m点的坐标适合方程f x y 0 其逆否命题即 若m点的坐标不适合方程f x y 0 则m点不在曲线l上 此即说法c 特值方法 作如图所示的曲线l 考查l与方程f x y x2 1 0的关系 显然a b d中的说法全不正确 选c 点评 本例给出了判定方程和曲线对应关系的两种方法 等价转换和特值方法 其中特值方法应引起重视 它的使用依据即 方程的曲线上的点的纯粹性和完备性 简言之 即 多一点不行 少一点不可 判断下列结论的正误 并说明理由 1 过点a 3 0 且垂直于x轴的直线的方程为x 0 2 到x轴距离为2的点的直线方程为y 2 3 到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy 1 4 abc的顶点a 0 3 b 1 0 c 1 0 d为bc中点 则中线ad的方程为x 0 解析 1 过点a 3 0 且垂直于x轴的直线方程为x 3 结论不正确 2 因到x轴距离为2的点的直线方程还有一个y 2 即不具备完备性 结论错误 3 到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为 x y 1 即xy 1 所给问题不具备完备性 结论错误 4 中线ad是一条线段 而不是直线 应为x 0 3 y 0 所给问题不具备纯粹性 结论错误 解析 以ab所在直线为x轴 ab中点为坐标原点 建立如图所示的直角坐标系 则有a a 0 b a 0 设顶点c x y 求曲线的方程 点评 坐标系的选取 一般将定点或定直线选在坐标轴上 原点有时选在定点处较为方便 有时也要考虑 对称 性 如此例 过点p 2 4 作两条互相垂直的直线l1 l2 若l1交x轴于a点 l2交y轴于b点 求线段ab的中点m的轨迹方程 点评 1 直译法求轨迹方程是常用的基本方法 大多数题目可以依据文字叙述的条件要求 直接 翻译 列出等式整理可得 2 解题过程中 要注意使用某种形式时是否受到某些条件的限制而丢掉个别点 如使用斜率求解时限制条件是斜率存在 因而可能漏掉斜率不存在的点 必须找一找是否漏掉了 有时也可能使范围扩大了 多出了不合要求的点 要通过最后的检验 防失去伪 圆锥曲线的共同特征 点评 由圆锥曲线的共同特征知 当曲线上的点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比为1 此曲线是抛物线 这里由曲线方程的求法得到验证 分析 设动点坐标 寻求几何条件 将几何条件坐标化 解析法 求轨迹方程 直译法求曲线的方程 点评 求曲线方程的基本方法是 建系设点 列等式 代换 化简 证明 五步法 在解题时 根据题意 正确列出方程是关键 还要注意最后一步 如果有不符合题意的特殊点要加以说明 一般情况下 求出曲线方程后的证明可以省去 解析 以o1o2的中点o为原点 o1o2所在直线为x轴 建立如图所示的坐标系 则o1 2 0 o2 2 0 解析 如图所示 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和b 根据两圆外切的充要条件 得 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 定义法求曲线方程 点评 1 本题是用定义法求动点的轨迹方程 当判断出动点的轨迹是双曲线的一支 且可求出a b时 直接根据定义写出其标准方程 而无需用距离公式写出方程 再通过复杂的运算进行化简 2 由于动点m到两定点c2 c1的距离的差为常数 而不是差的绝对值为常数 因此 其轨迹只能是双曲线的一支 这一点要特别注意 已知动圆m与圆c1 x 4 2 y2 2外切 与圆c2 x 4 2 y2 2内切 求动圆圆心m的轨迹方程 代入法求曲线的方程 解析 设c x1 y1 重心g x y 由重心坐标公式得3x 2 0 x1 3y 0 2 y1 即x1 3x 2 y1 3y 2 c x1 y1 在曲线y 3x2 1上 3y 2 3 3x 2 2 1 化简得y 9x2 12x 3 故 abc的重心的轨迹方程为y 9x2 12x 3 不包括和直线ab的交点 点评 当形成轨迹的动点p随另一动点b有规律地运动 且动点b的轨迹给定或能求得时 可先用动点p的坐标表示点b的坐标 并代入动点b的轨迹方程中得到动点p的轨迹方程 这种求轨迹的方法叫相关点法 也叫代入法 过双曲线x2 y2 1上一动点q引直线x y 2的垂线 垂足为m 求线段qm的中点的轨迹方程 分析 题目中的q m均为动点 因而其中点也为动点 由条件中的中点和垂直关系可得到坐标关系 最后将坐标代入曲线方程 即得到qm中点的轨迹方程 点评 涉及到多动点的轨迹问题 要分析主动点与从动点 一般设主动点为 x y 其他动点坐标可设为 x1 y1 等 然后寻求各动点的关系 再选择用适当的方法解决 例7 设圆c x 1 2 y2 1 过原点o作圆的任意弦 求所作弦的中点的轨迹方程 参数法求曲线方程 点评 本题中的四种方法都是求轨迹方程的常用方法 在求轨迹方程时 要注意挖掘题目的条件 恰当选取方法 过抛物线y2 2px p 0 的顶点o作两条互相垂直的弦oa ob 再以oa ob为邻边作矩形aobm 求点m的轨迹方程 点评 用参数法求轨迹方程时 一要选好参数 将动点的横 纵坐标表示成参数的形式 二要掌握消参的技巧 例8 等腰三角形的顶点是a 4 2 底边的一个端点是b 3 5 求另一端点c的轨迹方程 并说明它的轨迹是什么 点评 上述求得的轨迹方程忽视了a b c不共线这个隐含条件 因为a b c为三角形的顶点 所以a b c三点不共线 即b c不能重合 且b c不能为圆a的一直径的两个端点 例9 点m与已知点p 2 2 连线的斜率是它与点q 2 0 连线的斜率的2倍 求点m的轨迹方程 点评 因为直线pm和直线mq的斜率都存在 所以在 中 x 2 但在 中却有x 2 此时点p 2 2 和q 2 0 在方程 的曲线上 其原因是从 到 是非等价变形 使x的范围扩大了 一 选择题1 2013 广东省中山一中期中 方程 2x y 2 0表示的曲线是 a 一个点与一条直线b 两条射线和一个圆c 两个点d 两个点或一条直线或一个圆 答案 b 答案 c 3 点m在曲线y x 上 是 点m到两坐标轴距离相等 的 a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 解析 到两坐标轴距离相等点的轨迹如图 1 y x 的曲线如图 2 点m在曲线y x 上 点m到两坐标轴距离相等 故选