2016年广西来宾市高考数学一模试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年广西来宾市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=x| 1 x 1， B=x|2x 0，则 AB=（ ） A 1， 0 B 1， 2 C 0， 1 D（ ， 1 2， +） 2设复数 z=1+i， i 是虚数单位，则 +（ ） 2=（ ） A 1 3i B 1 i C 1 i D 1+i 3 “0”是 “x 1”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4下列函数是偶函数，且最小正周期为 的是（ ） A y= 2x） B y= y= D y=2x ） 5阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若判断框内是 n 6，则输出的 S 为（ ） A B C D 6已知双曲线 ，它的一个顶点到较近焦点的距离为 1，焦点到渐近线的距离是 ，则双曲线 C 的方程为（ ） A =1 B C D =1 7已知数列 等比数列，且 ， ，则 ） A 2 B 4 C 6 D 8 8一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ） A 8+6 B 10+8 C 12+4 D 14+2 第 2 页（共 19 页） 9将函数 y=图象向左平移 （ 0）个单位，得到 g（ x）的图象，若 g（ x）的图象关于直线 x= 对称，则 的最小值为（ ） A B C D 10若 x， y 满足不等式组 ， z=x y 的最大值为 4，则实数 a=（ ） A 4 B C 5 D 11已知圆 C： x2+2x+4y=0 关于直线 3x 11=0 对称，则圆 C 中以（ ， ）为中点的弦长为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 12已知曲线 f（ x） =点（ 0， f（ 0）处的切线方程为 3x+y+b=0，则下列不等式恒成立的是（ ） A f（ x） 2 4 f（ x） 2 4 f（ x） 4 8 f（ x） 4 8、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13（ 2x ） 6 展开式中常数项为 （用数字作答） 14向量 =（ 1， 2）与 =（ 3， t）的夹角为 ， =（ 1， 3）， ，则 15设函数 f（ x） = ，若存在实数 b，使函数 y=f（ x） b 有且只有 2 个零点，则实数 b 的取值范围是 16已知等差数列 前 n 项和为 1，（ 4） n=2 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在三角形 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c若 b= ， c=3， B+C=3A （ 1）求边 a； （ 2）求 B+ ）的值 18某地区交通执法部门从某日上午 9 时开始对经过当地的 200 名车辆驾驶人员驾驶的车辆进行超速测试并分 组，并根据测速的数据制作了频率分布图： 组号 超速分组 频数 频率 频率 组距 1 0， 20% 176 z 2 20%， 40% 12 40%， 60% 6 y 60%， 80% 4 80%， 100% x 1）求 z， y， x 的值； 第 3 页（共 19 页） （ ）若在第 2， 3， 4， 5 组用分层抽样的方法随机抽取 12 名驾驶人员做回访调查，并在这12 名驾驶人员中任意选 3 人，这 3 人中超速在 20%， 80%）内 的人数记为 ，求 的数学期望 19如图，四棱锥 P ， 底面 B=，D，点 E 在棱 ，且 （ 1）求证： 平面 （ 2）求平面 平面 成锐二面角的余弦值 20已知椭圆 G： + =1（ a b 0）的离心率为 ，左顶点为 A，上顶点为 E， O 是坐标原点， 积为 （ 1）求椭圆 G 的方程； （ 2）若过椭圆 G 的右焦点作垂直于 x 轴的直线 m 与 G 在第一象限内交于点 M，平行于 l 与椭圆 G 相交于 B， C 两点，判断直线 否关于直线 m 对称，并说明理由 21设函数 f（ x） =x3+x 0）的图象与 x 轴相切于 M（ 3， 0） （ 1）求 f（ x）的解析式，并求 y= +4单调减区间； （ 2）是否存在两个不等正数 s， t（ x t），当 x s， t时，函数 f（ x） =x3+值域也是 s， t，若存在，求出所有这样的正数 s， t，若不存在，请说明理由 请在第（ 22）、（ 23）、（ 24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修4何证明选讲 22如图， A， B， C， D 四点在同一圆上， 延长线与 延长线交于 （ 1）证明： D （ 2）延长 F，延长 G，连接 得 G，证明： A， B， G， F 四点共圆 选修 4标系与参数方程 第 4 页（共 19 页） 23已知曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 极坐标方程为=2 （ 1）将曲线 参数方程化为普通方程，将曲线 极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）曲线 否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 1|+|x a|（ a R） （ 1）若 a=4，求不等式 f（ x） 5 的解集； （ 2）若存在 x R，使 f（ x） 4 成立，求 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年广西来宾市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=x| 1 x 1， B=x|2x 0，则 AB=（ ） A 1， 0 B 1， 2 C 0， 1 D（ ， 1 2， +） 【考点】 交集及其运算 【分析】 直接由一元二次不等式化简集合 B，则 A 交 B 的答案可求 【解答】 解： B=x|2x 0=x|0 x 2， AB=x| 1 x 1x|0 x 2=x|0 x 1 则 AB 的区间为： 0， 1 故选 C 2设复数 z=1+i， i 是虚数单位，则 +（ ） 2=（ ） A 1 3i B 1 i C 1 i D 1+i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出 【解答】 解：复数 z=1+i， i 是 虚数单位，则 +（ ） 2= +（ 1 i） 2=1 i 2i=1 3i， 故选： A 3 “0”是 “x 1”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：若 0，则 2x 1，得 x 0， 则 “0”是 “x 1”成立的必要不充分条件， 故选： B 4下列函数是偶函数，且最小正周期为 的是（ ） A y= 2x） B y= y= D y=2x ） 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【分析】 根据正弦型函数及余弦型函数的性质，我们逐一分析四个答案中的四个函数的周期性及奇偶性，然后和题目中的条件进行比照，即可得到答案 【解答】 D 解： A 中，函数 y= 2x） =奇函数，不满足条件； B 中，函数 y=期为 ，不满足条件； C 中，函数 y= 周期为 ，不满足条件； D 中，函数 y=2x ） = 最小正周期为 的偶函数，满足条件； 第 6 页（共 19 页） 故选： D 5阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若判断框内是 n 6，则输出的 S 为（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， n 的值，当 n=8 时，此时应该不满足条件 n 6， 退出循环，输出 S 的值为 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得： S=0， n=2 满足条件 n 6， S= ， n=4 满足条件 n 6， S= ， n=6 满足条件 n 6， S= + = ， n=8 由 题意，此时应该不满足条件 n 6，退出循环，输出 S 的值为 ， 故选： C 6已知双曲线 ，它的一个顶点到较近焦点的距离为 1，焦点到渐近线的距离是 ，则双曲线 C 的方程为（ ） A =1 B C D =1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可得 c a=1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得 b= ，由 a， b， c 的关系，可得 a，进而得到所求双曲线的方程 【解答】 解：双曲线的一个顶点（ a， 0）到较近焦点（ c， 0）的距离为 1， 可得 c a=1， 由双曲线的渐近线方程为 y= x， 则焦点（ c， 0）到渐近线的距离为 d= =b= ， 第 7 页（共 19 页） 又 a2=， 解得 a=1， c=2， 即有双曲线的方程为 =1 故选： A 7已知数列 等比数列，且 ， ，则 ） A 2 B 4 C 6 D 8 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 设等比数列 公比为 q，由 ， ，可得 =1， =8，解得可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， ， ， =1， =8， 解得 则 =4 8一个几何体的三视图如图，则该几何体的 表面积为（ ） A 8+6 B 10+8 C 12+4 D 14+2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个直四棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出各个面的面积，加起来即可求出几何体的表面积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个直四棱柱， 由俯视图知底面是等腰梯形： 上底、下底分别是 1、 3，梯形的高是 1，则腰长是 ， 且直四棱柱的高是 2， 几何体的表面积 S= =12+4 ， 故选： C 9将函数 y=图象向左平移 （ 0）个单位，得到 g（ x）的图象，若 g（ x）的图象关于直线 x= 对称，则 的最小值为（ ） 第 8 页（共 19 页） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件利用函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 的最小值 【解答】 解：将函数 y=图象向左平移 （ 0）个单位，得到 g（ x） =x+）=2x+2）的图象， 若 g（ x）的图象关于直线 x= 对称，则 +2=， k Z， 则 的最小值为 ， 故选： A 10若 x， y 满足不等式组 ， z=x y 的最大值为 4，则实数 a=（ ） A 4 B C 5 D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域，变形目标函数，平移直线可得 z 的最值，可得 a 的方程，解方程可得 【解答】 解：作出不等式组 所对应可行域（如图 变形目标函数 z=x y 可得 y=x z，平移直线 y=x 可知： 当直线经过点 A（ a， 3 a）时，直线截距最小值， z 取最大值， 代值可得 a（ 3 a） =4，解得 a= ， 故选： B 第 9 页（共 19 页） 11已知圆 C： x2+2x+4y=0 关于直线 3x 11=0 对称，则圆 C 中以（ ， ）为中点的弦长为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由已知直线 3x 11=0 过圆心 C（ 1， 2），从而得到 a=4，点（ 1， 1）到圆心 C（ 1， 2）的距离 d=1，圆 C： x2+2x+4y=0 的半径 r= ，由此能求出圆 C 中以（ ， ）为中点的弦长 【解答】 解： 圆 C： x2+2x+4y=0 关于直线 3x 11=0 对称， 直线 3x 11=0 过圆心 C（ 1， 2）， 3+2a 11=0，解得 a=4， （ ， ） =（ 1， 1）， 点（ 1， 1）到圆心 C（ 1， 2）的距离 d= =1， 圆 C： x2+2x+4y=0 的半径 r= = ， 圆 C 中以（ ， ）为中点的弦 长为： 2 =2 =4 故选： D 12已知曲线 f（ x） =点（ 0， f（ 0）处的切线方程为 3x+y+b=0，则下列不等式恒成立的是（ ） A f（ x） 2 4 f（ x） 2 4 f（ x） 4 8 f（ x） 4 8考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，可得切线的斜率，由切线的方程可得斜率，解方程可得 a，求出单调区间、极 值和最值，即可得到结论 【解答】 解： f（ x） =导数为 f（ x） =a， 可得在点（ 0， f（ 0）处的切线斜率为 1 a， 由切线方程为 3x+y+b=0，可得 1 a= 3， 即有 a=4， 可得 f（ x） =4， 当 x ， f（ x） 0， f（ x）递增； 当 x ， f（ x） 0， f（ x）递减 可得 f（ x）在 x=取得极小值，也为最小值 4 8 即为 f（ x） 4 8 故选： C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13（ 2x ） 6 展开式中常数项为 60 （用数字作答） 【考点】 二项式定理 第 10 页（共 19 页） 【分析】 用二项展开式的通项公式得展开式的第 r+1 项，令 x 的指数为 0 得展开式的常数项 【解答】 解：（ 2x ） 6 展开式的通项为= 令 得 r=4 故展开式中的常数项 故答案为 60 14向量 =（ 1， 2）与 =（ 3， t）的夹角为 ， =（ 1， 3）， ，则 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的数量积的运算和向量的夹角公式计算即可 【解答】 解： =（ 1， 2）与 =（ 3， t）的夹角为 ， =（ 1， 3）， ， 3 1 3t=0， t=1， =（ 3， 1）， | |= ， | |= ， =1 3 2 1=1， = 故答案为： 15设函数 f（ x） = ，若存在实数 b，使函数 y=f（ x） b 有且只有 2 个零点，则实数 b 的取值范围是 （ 0， +） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由题意可得函数 f（ x） = 的图象和直线 y=b 有 2 个交点，分类讨论，数形结合求得 a 的取值范围 【解答】 解：由题意可得函数 y=f（ x） = 的图象和直线 y=b 有且只有 2 个交点， 当 a=0 时， f（ x） = ，如图（ 1）所示，函数 y=f（ x）的图象和直线 y=b 之多有一个交点，不满足条件 第 11 页（共 19 页） 当 a 0 时， f（ x） = 的图象如图（ 2）所示，此时，应有 b 0 当 a 0 时， f（ x） = 的图象如图（ 3）所示，此时， 函数 y=f（ x）的图象和直线 y=b 之多有一个交点，不满足条件综上可得， b 0， 故答案为：（ 0， +） 16已知等差数列 前 n 项和为 1，（ 4） n=2 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 设等差数列 公差为 d， 1，则 = 1+ n+ d，代入（ 4） n=2简整理即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， 1，则 = 1+ n+ d， 代入（ 4） n=2得：（ 5+n= 2n+n（ n 1） d，化为： d=3 则 n+ = 第 12 页（共 19 页） 故答案为： 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在三角形 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c若 b= ， c=3， B+C=3A （ 1）求边 a； （ 2）求 B+ ）的值 【考点】 正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数 【分析】 （ 1）由条件利用余弦定理求得 a 的值 （ 2）由条件利用正弦定理求得 值，可得 值，再利用两 角和差的正弦公式，求得 B+ ）的值 【解答】 解：（ 1）三角形 ， b= ， c=3， B+C=3A， A= ，利用余弦定理可得 a2=b2+2bc， a= （ 2）由正弦定理 = ，可得 = ， ， 再结合 b c，可得 B 为锐角， = ， B+ ） = + = 18某地区交通执法部门从某日上午 9 时开始对经过当地的 200 名车辆驾驶人员驾驶的车辆进行超速测试并分组，并根据测速的数据制作了频率分布图： 组号 超速分组 频数 频率 频率 组距 1 0， 20% 176 z 2 20%， 40% 12 40%， 60% 6 y 60%， 80% 4 80%， 100% x 1）求 z， y， x 的值； （ ）若在第 2， 3， 4， 5 组用分层抽样的方法随机抽取 12 名驾驶人员做回访调查，并在这12 名驾驶人员中任意选 3 人，这 3 人中超速在 20%， 80%）内的人数记为 ，求 的数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法 【分析 】 （ ）由频率 = ，能求出 z， y， x 的值 （ ）若在第 2， 3， 4， 5 组用分层抽样的方法随机抽取 12 名驾驶人员，则第 2， 3， 4， 5组抽取的人数分别是 4， 3， 2， 1，设任意选取的 3 人超速在（ 20%， 80%）的人数是 ，则=2 或 =3，由此能求出 的数学期望 第 13 页（共 19 页） 【解答】 解：（ ）由题意得 x=200 ， y=6 200= z=20= （ ）若在第 2， 3， 4， 5 组用分层抽样的方法随机抽取 12 名驾驶人员， 则第 2， 3， 4， 5 组抽取的人数分别是 4， 3， 2， 1， 设任意选取的 3 人超速在（ 20%， 80%）的人数是 ， 则 =2 或 =3， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， = 19如图，四棱锥 P ， 底面 B=，D，点 E 在棱 ，且 （ 1）求证： 平面 （ 2）求平面 平面 成锐二面角的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）根据线面平行的判定定理即可证明 平面 （ 2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面 平面 成锐二面角的余弦值 【解 答】 证明：（ 1） C=1， ， ， D， ， ， 连接 M，连 ， 又 ， ， 面 平面 平面 2）建立如图所示的空间坐标系如图： 则 A（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， 1）， B（ 0， 1， 0）， C（ 1， 1， 0）， E（ 0， ， ）， 第 14 页（共 19 页） 设 =（ x， y， z）是平面 一个法向量， 则 =（ 1， 1， 0）， （ 0， ， ）， 则 =x+y=0， = y+ z=0， 得 ， 令 y=1，则 x= 1， z= 2，则 =（ 1， 1， 2）， 同理平面 法向量为 = =（ 0， 0， 1）， 则 ， = = ， 即平面 平面 成锐二面角的余弦值是 20已知椭圆 G： + =1（ a b 0）的离心率为 ，左顶点为 A，上顶点为 E， O 是坐标原点， 积为 （ 1）求椭圆 G 的方程； （ 2）若过椭圆 G 的右焦点作垂直于 x 轴的直线 m 与 G 在第一象限内交于点 M，平行于 l 与椭圆 G 相交于 B， C 两点，判断直线 否关于直线 m 对称，并说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）运用椭圆的离心率公式和实际行动面积公式，及 a， b， c 的关系，解得 a， b，进而得到椭圆方程； （ 2）求得椭圆的右焦点坐标， M， A 的坐标，求得斜率可设 方程为 y= x+t，代入椭圆方程 32， 可得 x2+tx+3=0，设 B（ C（ 运用韦达定理和直线的斜率公式，可得，进而得到直线 直线 于直线 m 对称 【解答】 解：（ 1）由题意可得 e= = ， 由 A（ a， 0）， E（ 0， b）， 第 15 页（共 19 页） 可得 积为 ， 即有 ， 又 b2= 解得 a=2， b= ， c=1， 即有椭圆的方程为 + =1； （ 2）椭圆的右焦点为（ 1， 0）， 可得 M（ 1， ）， A（ 2， 0）， = ， 设 方程为 y= x+t，代入椭圆方程 32， 可得 x2+tx+3=0， 设 B（ C（ 即有 x1+ t， 3， 由 + = + = = =0 即有直线 直线 于直线 m 对称 21设函数 f（ x） =x3+x 0）的图象与 x 轴相切于 M（ 3， 0） （ 1）求 f（ x）的解析式，并求 y= +4单调减区间； （ 2）是否存在两个不等正数 s， t（ x t），当 x s， t时，函数 f（ x） =x3+值域也是 s， t，若存在，求出所有这样的正数 s， t，若不存在，请说明理由 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）由已知得 f（ x） =3ax+b依题意 f（ 3） =0， f（ 3） =0，解方程即可求出f（ x） =6x （ 2）由函数的定义域是正数知， s 0，故极值点 x=3 不在区间 s， t上，由此利用分类讨论思想能求出不存在正数 s， t 满足要求 【解答】 解：（ 1） f（ x） =x3+ f（ x） =3ax+b 依题意则有 f（ 3） =0， f（ 3） =0， 即 27+9a+3b=0， 27+6a+b=0， 解得 a= 6， b=9， f（ x） =6x 则 y= +46x+9+4x 0， 第 16 页（共 19 页） y=2x 6+ = = ， 由 y 0 得 1 x 2， 即 y= +4单调减区间为（ 1， 2） （ 2） f（ x） =312x+9=3（ x 1）（ x 3）， 由 f（ x） =0，得 x=1 或 x=3 列表讨论，得： x （ ， 1） 1 （ 1， 3） 3 （ 3， +） f（ x） + 0 0 + f（ x） 增函数 4 减函数 0 增函数 函数 f（ x） =6x 极大值是 4，极小值是 0 由函数的定义域是正数知， s 0，故极值点 x=3 不在区间 s， t上， 若极值点 1 s， t， 此时 0 s 1 t 3，在此区间 上 f（ x）的最大值是 4，不可能等于 t， 故在区间 s， t上没有极值点； 若 f（ x） =6x 在 s， t上单调增， 即 0 s t 1 或 3 s t， 则 ，即 ，解得 不合要求 （ 3）若 f（ x） =6x 在 s， t上单调减， 即 1 s t 3，则 ， 两式相减并除 s t，得：（ s+t） 2 6（ s+t） 0=0， 两式相除并开方，得 s（ s 3） 2=t（ t 3） 2，即 s（ 3 s） =t（ 3 t）， 整理，并除以 s t，得： s+t=3， 则 、 得 ，即 s， t 是方程 3x+1=0 的两根， 即 s= ， t= 不合要求； 综上，不存在正数 s， t 满足要求 请在第（ 22）、（ 23）、（ 24)三题中 任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修4何证明选讲 22如图， A， B， C， D 四点在同一圆上， 延长线与 延长线交于 （ 1）证明： D （ 2）延长 F，延长 G，连接 得 G，证明： A， B， G， F 四点共圆 第 17 页（共 19 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，根据两直线平行，同位角相等，等量代换得到两个角相等，从而两条边相 等，得到结论； （ 2）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆 【解答】 （