2016年上海市杨浦区高考数学三模试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年上海市杨浦区高考数学三模试卷（理科） 一 1函数 y=x+1）的反函数为 2若直线 2x+=0 与 y=3x 1 垂直，则实数 m= 3若 2+i（ i 虚数单位）是实系数一元二次方程 x2+px+q=0 的根，则 p+q= 4已知 ， x （ ， ），则行列式 的值等于 5已知 A=x| 1， B=x|x 1） 1，则 AB= 6已知 A 地位于东经 30、北纬 45， B 地位于西经 60、北纬 45，则 A、 B 两地的球面距离与地球半径的比值为 7在某次数学测验中， 5 位学生的成绩如下： 78、 85、 a、 82、 69，他们的平均成绩为 80，则他们成绩的方差等于 8在极坐标系下，点（ 2， ）到直 线 ） =1 的距离为 9若（ x+ ） n（ n N*）展开式中各项系数的和等于 64，则展开式中 系数是 10三阶矩阵 中有 9 个不同的数 i=1， 2， 3； j=1， 2， 3），从中任取三个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （结果用分数表示） 11若函数 y=x+ ）的图象向右平移 个单位（ 0），所得到的图象关于 y 轴对称，则 的最小值为 12若两整数 a、 b 除以同一个整数 m，所得余数相同，即 =k（ k Z），则称 a、 b 对模 m 同余，用符号 a b（ m）表示，若 a 10（ ）（ a 10），满足条件的 a 由小到大依次记为 a2，则数列 前 16 项和为 13已知双曲线 =1（ a N*）的两个焦点为 P 为该双曲线上一点，满足|=| P 到坐标原点 O 的距离为 d，且 5 d 9，则 14如图，已知 ， ，圆 A 是以 A 为圆心半径为 1 的圆，圆 B 是以B 为圆心的圆设点 P， Q 分别为圆 A，圆 B 上的动点，且 = ，则 的取值范围是 第 2 页（共 18 页） 二 15已知数列 前 n 项和 Sn=pn+q（ p 0， q 1），则 “q= 1”是 “数列 等比数列 ”的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 16已知 为复数，下列四个命题中，为真命题的是（ ） A | |= B若 |2，则 取值集合为 2， 2， 2i， 2i（ i 是虚数单位） C若 ，则 或 D 定是实数 17椭圆 C： 的左、右顶点分别为 P 在 C 上且直线 率的取值范围是 2， 1，那么直线 率的取值范围是（ ） A B C D 18定义域为 a， b的函数 y=f（ x）图象的两个端点为 A（ a， f（ a）， B（ b， f（ b）， M（ x， y）是 y=f（ x）图 象上任意一点，过点 M 作垂直于 x 轴的直线 l 交线段 点 N（点M 与点 N 可以重合），我们称 | |的最大值为该函数的 “曲径 ”，下列定义域为 1， 2上的函数中，曲径最小的是（ ） A y= y= C y=x D y=x 三 19如图，圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O， 线段 线段 是底面圆的直径，且直线 直线 夹角为 ，已知 |1， |2 （ 1）求该圆锥的体积； （ 2）求证：直线 行于平面 求直线 平面 距离 第 3 页（共 18 页） 20已知数列 ， = + （ n N*）， ； （ 1）设 n N*），求证： 等差数列； （ 2）设数列 前 n 项和为 的值 21图为一块平行四边形园地 测量， 0 米， 0 米， 20，拟过线段 一点 E 设计一条直路 F 在四边形 边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为 3： 1 的左、右两部分分别种植不同的花卉，设 EB=x， EF=y（单位：米） （ 1）当点 F 与点 C 重合时，试确定点 E 的位置； （ 2）求 y 关于 x 的函数关系式，并确定点 E、 F 的位置， 使直路 度最短 22已知圆 E：（ x 1） 2+，线段 是圆 E 的弦，且 直且相交于坐标原点 O，如图所示，设 面积为 面积为 （ 1）设点 A 的横坐标为 示 | （ 2）求证： |定值； （ 3）用 | | | |示出 2，试研究 2 是否有最小值，如果有，求出最小值，并写出此时直线 方程；若没有最小值，请说明理由 23已知非空集合 A 是由一些函数组成，满足如下性质： 对任意 f（ x） A， f（ x）均存在反函数 f 1（ x），且 f 1（ x） A； 对任意 f（ x） A，方程 f（ x） =x 均有解； 对任意 f（ x）、 g（ x） A，若函数 g（ x）为定义在 R 上的一次函数，则 f（ g（ x） A； 第 4 页（共 18 页） （ 1）若 f（ x） = ， g（ x） =2x 3 均在集合 A 中，求证：函数 h（ x） = （ 2x 3） A； （ 2）若函数 f（ x） = （ x 1）在集合 A 中，求实数 a 的取值范围； （ 3）若集合 A 中的函数均为定义在 R 上的一次函数，求证：存在一个实数 得对一切f（ x） A，均有 f（ = 第 5 页（共 18 页） 2016 年上海市杨浦区高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一 1函数 y=x+1）的反函数为 y=2x 1（ x R） 【考点】 反函数 【分析】 由 y=x+1）（ x 1）解得 x=2y 1，把 x 与 y 互换即 可得出 【解答】 解：由 y=x+1）（ x 1）解得 x+1=2y，即 x=2y 1，把 x 与 y 互换可得： y=2x 1（ x R） y=x+1）的反函数为 y=2x 1（ x R） 故答案为： y=2x 1（ x R） 2若直线 2x+=0 与 y=3x 1 垂直，则实数 m= 6 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】 根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于 0，解方程求得 m 的值 【解答】 解：直线 2x+=0 与 y=3x 1 垂直，即为 3x y 1=0 2 3+m （ 1） =0， 解得 m=6， 故答案为： 6 3若 2+i（ i 虚数单位）是实系数一元二次方程 x2+px+q=0 的根，则 p+q= 1 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 可知 2 i 也是实系数一元二次方程 x2+px+q=0 的根，从而利用韦达定理求得 【解答】 解： 2+i 是实系数一元二次方程 x2+px+q=0 的根， 2 i 是实系数一元二次方程 x2+px+q=0 的根， 2+i+2 i= p，（ 2+i）（ 2 i） =q， 解得， p= 4， q=5； 故 p+q=1； 故答案为： 1 4已知 ， x （ ， ），则行列式 的值等于 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 而可求 值，再计算行列式的值即可得解 【解答】 解： ， x （ ， ）， = ， = ， = （ ） +1= 第 6 页（共 18 页） 故答案为： 5已知 A=x| 1， B=x|x 1） 1，则 AB= x|1 x 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：集合 A 中不等式，当 x 0 时，解得： x 2，此时 0 x 2； 当 x 0 时，解得： x 2，无解， A=x|0 x 2， 集合 B 中不等式变形得： x 1） 1= 0 x 1 2， 解得： 1 x 3，即 B=x|1 x 3， 则 AB=x|1 x 2， 故答案为： x|1 x 2 6已知 A 地位于东经 30、北纬 45， B 地位于西经 60、北纬 45，则 A、 B 两地的球面距离与地球半径的比值为 【考点】 球面距离及相关计算 【分析】 求出球心角，然后 A、 B 两点的距离，求出两点间的球面距离，即可求出 A、 B 两地的球面距离与地球半径的比值 【解答】 解：地球的半径为 R，在北纬 45， 而 ，所以 A、 B 的球心角为： ， 所以两点间的球面距离是： R， 所以 A、 B 两地的球面距离与地球半径的比值为 故答案为： 7在某次数学测验中， 5 位学生的成绩如下： 78、 85、 a、 82、 69，他们 的平均成绩为 80，则他们成绩的方差等于 38 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 根据披平均成绩求出 a 的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可 【解答】 解： 5 位学生的成绩如下： 78、 85、 a、 82、 69，他们的平均成绩为 80， 78+85+a+82+69=5 80，解得： a=86， （ 78 80） 2+（ 85 80） 2+（ 86 80） 2+（ 82 80） 2+（ 69 80） 2=38， 则他们成绩的方差等于 38， 故答案为： 38 8在极坐标系下，点（ 2， ）到直线 ） =1 的距离为 1 第 7 页（共 18 页） 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即可得出 【解答】 解：直线 ） =1 化为： + =1，即 x y+2=0 点 P（ 2， ）化为 P ， 点 P 到直线的距离 d= =1 故答案为： 1 9若（ x+ ） n（ n N*）展开式中各项系数的和等于 64，则展开式中 系数是 15 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 令 x=1，则（ x+ ） n（ n N*）展开式中各项系数的和 =2n=64，解得 n再利用二项式定理的通项公式即可得出 【解答】 解：令 x=1，则（ x+ ） n（ n N*）展开式中各项系数的和为： 2n=64，解得 n=6 的展开式的通项公式 = = ， 令 =3，解得 r=2 展开式中 系数为： =15 故答案为： 15 10三阶矩阵 中有 9 个不同的数 i=1， 2， 3； j=1， 2， 3），从中任取三个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （结果用分数表示） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 利用间接法，先求从 9 个数中任取 3 个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论 【解答】 解：从 9 个数中任取 3 个数共有 4 种取法， 取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有 种方法， 则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有 种方法， 第三行只能从剩下的一列中取即可有 1 中方法， 共有 3 2=6 种方法三个数分别位于三行或三列的情况有 6 种； 所求的概率为 = ， 第 8 页（共 18 页） 故答案为： 11若函数 y=x+ ）的图象向右平移 个单位（ 0），所得到的图象关于 y 轴对称，则 的最小值为 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由 y=x+）的图象变换规律，结合正弦函数、余弦函数的图象的对称性可得 + =k Z， 从而求得 的最小值 【解答】 解：把函数 y=x+ ）的图象向右平移 个单位（ 0），可得 y=x+ ）的图象； 根据所得到的图象关于 y 轴对称，可得 + =k Z， 可得 的最小值为 ， 故 答案为： 12若两整数 a、 b 除以同一个整数 m，所得余数相同，即 =k（ k Z），则称 a、 b 对模 m 同余，用符号 a b（ m）表示，若 a 10（ ）（ a 10），满足条件的 a 由小到大依次记为 a2，则数列 前 16 项和为 976 【考点】 整除的定义 【分析】 由两数同余的定义， m 是一个正整数，对两个正整数 a、 b，若 a b 是 m 的倍数，则称 a、 b 模 m 同余，我们易 得若 a 10（ ）（ a 10），则 a 10 为 6 的整数倍，则 a=6n+10，再根据等差数列 前 n 项公式计算即可得答案 【解答】 解：由两数同余的定义， m 是一个正整数，对两个正整数 a、 b，若 a b 是 m 的倍数， 则称 a、 b 模 m 同余， 我们易得若 a 10（ ）（ a 10）， 则 a 10 为 6 的整数倍， 则 a=6n+10， 故 a=16， 22， 28， 均满足条件 由等差数列 前 n 项公式 ， 则 =976 故答案为： 976 第 9 页（共 18 页） 13已知双曲线 =1（ a N*）的两个焦点为 P 为该双曲线上一点，满足|=| P 到坐标原点 O 的距离为 d，且 5 d 9，则 1 或 4 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的 b， c，设 P 为右支上一点， |m， |n，运用双曲线的定义，结合条件，由两点的距离公式，解不等式可得 a 的正整数解 【解答】 解：双曲线 =1 的 b=2， c2=， 设 P 为右支上一点， |m， |n， 由双曲线的定义可得 m n=2a， 由题意可得 4c2= m2+n2= 可得（ m n） 2+2c2=（ 25， 81）， 即 25 122 81， 即为 ，由 a 为正整数，可得 a=1， 2， 故 答案为： 1 或 4 14如图，已知 ， ，圆 A 是以 A 为圆心半径为 1 的圆，圆 B 是以B 为圆心的圆设点 P， Q 分别为圆 A，圆 B 上的动点，且 = ，则 的取值范围是 1， 11 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 设 ，则 0+，从而有 = ， = ，通过计算求出即可 【解答】 解：设 ，则 0+， = ， = =（ ） （ ） = + = + + =2 +） +3 ） 2+） + 2 =5+3 35+6 ）， 第 10 页（共 18 页） 1 ） 1， 1， 11 二 15已知数列 前 n 项和 Sn=pn+q（ p 0， q 1），则 “q= 1”是 “数列 等比数列 ”的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 先求出 值，再由 n 2 时， n 1=（ p 1） 1 进而可判定 n 2 时， 等比数列，最后再验证当 n=1 时 q= 1 时可满足， 等比数列，从而 等比数列的必要条件是 p 0 且 p 1 且 q= 1；反之， q= 1 时，当 p=0 或 p= 1 时， 是等比数列；利用充要条件的定义得到结论 【解答】 解：当 n=1 时， 1=p+q； 当 n 2 时， n 1=（ p 1） 1 当 p 0， p 1， 当 n 2 时， 等比数列要使 n N*）是等比数列， 则 =p，即（ p 1） p=p（ p+q）， q= 1， 即 等比数列的必要条件是 p 0 且 p 1 且 q= 1 反之， q= 1 时， Sn=1， p 1） 1， 因为 p=1 时， 是等比数列 所以 “q= 1”是 “数列 等比数列 ”的必要不充分条件 故选 B 16已知 为复数，下列四个命题中，为真命题的是（ ） A | |= B若 |2，则 取值集合为 2， 2， 2i， 2i（ i 是虚数单位） C若 ，则 或 D 定是实数 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 A取 z1=i，即可判断出正误； B由 |2，则 （ 0， 2）； C取 z1=i， i，即可否定； D设 z1=a+z2=c+a， b， c， d R，利用复数的运算法则即可判断出正误 【解答 】 解： A不成立，例如取 z1=i； B不成立， |2，则 （ 0， 2）； C不成立，例如取 z1=i， i； 第 11 页（共 18 页） D设 z1=a+z2=c+a， b， c， d R，则 a+ c +（ a c+ac+ i+ i=2此是实数，正确 故选： D 17椭圆 C： 的左、右顶点分别为 P 在 C 上且直线 率的取值范围是 2， 1，那么直线 率的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率 【分析】 由椭圆 C： 可知其左顶点 2， 0），右顶点 2， 0）设 P（ x0， 2），代入椭圆方程可得 利用斜率计算公式可得 ，再利用已知给出的 的范围即可解出 【解答】 解：由椭圆 C： 可知其左顶点 2， 0），右顶点 2， 0） 设 P（ 2），则 ，得 = ， = ， = = ， ， ，解得 故选 B 18定义域为 a， b的函数 y=f（ x）图象的两个端点为 A（ a， f（ a）， B（ b， f（ b）， M（ x， y）是 y=f（ x）图象上任意一点，过点 M 作垂直于 x 轴的直线 l 交线段 点 N（点M 与点 N 可以重合），我们称 | |的最大值为该函数的 “曲径 ”，下列定义域为 1， 2上的函数中，曲径最小的是（ ） 第 12 页（共 18 页） A y= y= C y=x D y=x 【考点】 函数的图象；函数的图象与图象变化 【分析】 根据已知中函数的 “曲径 ”的定义，逐一求出给定四个函数的曲径，比较后，可得答案 【解答】 解：当 y=f（ x） =，端点 A（ 1， 1）， B（ 2， 4）， 直线 方程为 y=3x 2， 故 | |=3x 2 x= 时， | |的最大值为 ，即该函数的 “曲径 ”为 ， 当 y=f（ x） = 时，端点 A（ 1， 2）， B（ 2， 1），直线 方程为 y= x+3， 故 | |= x+3 ，当 x= 时， | |的最大值为 3 2 ，即该函数的 “曲径 ”为 3 2 ， 当 y=f（ x） =x 时， 端点 A（ 1， 0）， B（ 2， ），直线 方程为 y= x ， 故 | |=x x+ = x + ，当 x= 时， | |的最大值为 ，即该函数的“曲径 ”为 ， 当 y=f（ x） =x 时，端点 A（ 1， ）， B（ 2， ），直线 方程为 y= ， 故 | |=x ，当 x= 时， | |的最大值为 1 ，即该函数的 “曲径 ”为 1 ， 故函数 y=x 的曲径最小， 故选： C 三 19如图，圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，线段 线段 是底面圆的直径，且直线 直线 夹角为 ，已知 |1， |2 （ 1）求该圆锥的体积； （ 2）求证：直线 行于平面 求直线 平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 （ 1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积； （ 2）由对称性得 可证明直线 行于平面 C 到平面 距离即直线 平面 距离，由 P 出直线 平面 距离 第 13 页（共 18 页） 【解答】 （ 1）解：设圆锥的高为 h，底面半径为 r，则 r=1， h= ， 圆锥的体积 V= ； （ 2）证明：由对称性得 面 面 平面 C 到平面 距离即直线 平面 距离， 设 C 到平面 距离为 d，则由 P ， 可得 ， d= ， 直线 平面 距离为 20已知数列 ， = + （ n N*）， ； （ 1）设 n N*），求证： 等差数列； （ 2）设数列 前 n 项和为 的值 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ 1）由 = + （ n N*），可得 3n+1 3，又 n N*），可得 ，利用等差数列的定义即可证明 （ 2）由（ 1）可得： n， 3n，可得 利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 再利用极限的运算性质即可得出 【解答】 （ 1）证明： = + （ n N*）， 3n+1 3，又 n N*）， ， 等差数列，首项为 3，公差为 3 （ 2）解：由（ 1） 可得： +3（ n 1） =3n， 3n，可得 + +3 + +n ， = +（ n 1 ） +n ， 第 14 页（共 18 页） =1+ + + n = n = ， 1 = = = = 21图为一块平行四边形园地 测量， 0 米， 0 米， 20，拟过线段 一点 E 设计一条直路 F 在四边形 边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为 3： 1 的左、右两部分分别种植不同的花卉，设 EB=x， EF=y（ 单位：米） （ 1）当点 F 与点 C 重合时，试确定点 E 的位置； （ 2）求 y 关于 x 的函数关系式，并确定点 E、 F 的位置，使直路 度最短 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 （ 1）当点 F 与点 C 重合时， S S EBh= ABh，从而确定点 （ 2）点 E 在线段 ，分 10 x 20 与 0 x 10 讨论以确定 y 关于 x 的函数关系式，从而利用分段函数解得，当 0 x 10 时， y=2 ，由二次函数求最小值，当 10 x 20 时， y= ，由基本不等式求最值；从而可得 【解答】 解：（ 1）当点 F 与点 C 重合时， S S EBh= ABh， 其中 h 为平行四边形 上的高，得 点 E 是 中点 （ 2） 点 E 在线段 ， 0 x 20， 当 10 x 20 时，由（ 1）知，点 F 在线段 ， 0m， 0m， 20， 第 15 页（共 18 页） SBBC0 10 =100 由 S xBF25 ，得 ， 由余弦定理得， y= ， 当 0 x 10 时，点 F 在线段 ， 由 S 四边形 （ x+ 10 25 得 0 x， 当 ， ， 当 ， ， 化简均为 y= ， 综上所述， y= ； 当 0 x 10 时， y=2 ，当 x= 时， y 有最小值 ，此时 ； 当 10 x 20 时， y= 10 5 ， 故当点 E 距点 F 距点 ， 短，其长度为 5 22已知圆 E：（ x 1） 2+，线段 是圆 E 的弦，且 直且相交于坐标原点 O，如图所示，设 面积为 面积为 （ 1）设点 A 的横坐标为 示 | （ 2）求证： |定值； （ 3）用 | | | |示出 2，试研究 2 是否有最小值，如果有，求出最小值，并写出此时直线 方程；若没有最小值，请说明理由 【考点】 圆方 程的综合应用 【分析】 （ 1）利用距离公式，即可用 示 | 第 16 页（共 18 页） （ 2）分类讨论，计算 |即可证明 |定值； （ 3）由（ 2）得 |3，同理 |3，利用基本不等式，即可得出结论 【解答】 （ 1）解：设 A（ 代入圆 E：（ x 1） 2+，得 ， | = ； （ 2）证明：设 B（ 同理可得 | ， | 直线 方程为 y=入圆的方程得（ k+1） 2x 3=0， x1+， ， 代入可得 |3， x1=线过原点，直线 方程为 x=0，即 x1=，代入可得 |3， 综上所述， |3 为定值； （ 3）解：由（ 2）得 |3，同理 |3 2= （ | =3，当且仅当|取等号， 此时， 2 最小值为 3，直线 方程为 y= x 23已知非空集合 A 是由一些函数组成，满足如下性质： 对任意 f（ x） A， f（ x）均存在反函数 f 1（ x），且 f 1（ x） A； 对任意 f（ x） A，方程 f（ x） =x 均有解； 对任意 f（ x）、 g（ x） A，若函数 g（ x）为定义在 R 上的一次函数，则 f（ g（ x） A； （ 1）若 f（ x） = ， g（ x） =2x 3 均在集合 A 中，求证：函数 h（ x） = （ 2x 3） A； （ 2）若函数 f（ x） = （ x 1）在集合 A 中，求实数 a 的取值范围； （ 3）若集合 A 中的函数均为定义在 R 上的一次函数，求证：存在一个实数 得对一切f（