空间与图形的教学.doc

第六章 空间与图形的教学【教学目标】1了解空间与图形教学的意义、内容和要求。2经历探索物体与图形的形状、大小、运动和位置关系的过程，了解简单几何体的基本特征。3能对简单图形进行变换，能初步确定物体的位置，发展测量、识图、作图等技能。4在空间与图形的教学过程中培养学生的初步空间想象能力和逻辑思维能力。【教学重点】1了解简单几何体的基本特征。2发展学生测量、识图、作图等技能。3在空间与图形的教学过程中培养学生的初步空间想象能力和逻辑思维能力。【教学难点】1发展学生测量、识图、作图等技能。2在空间与图形的教学过程中培养学生的初步空间想象能力和逻辑思维能力。【课时安排】15课时6.1 图形与几何教学的意义、内容和要求在数学中，研究图形的分支学科叫做“几何学”。作为小学数学教学内容的“图形与几何”仅仅是几何学中初步的，而且是小学生能接受的部分。要在小学打好数学的初步基础，不但应使学生学习数与四则运算，还应学习常见的几何形体，并且通过形的学习，培养学生初步的逻辑思维能力和空间观念。一、教学“图形与几何”的意义（P217）空间形体知识不仅有着广泛的应用，对于培养小学生初步的逻辑思维能力和空间观念以及解决实际问题的能力，都有着独特的、不可替代的作用。1、培养思维能力在“空间与图形”的教学中，可以培养学生初步的比较与分类、分析与综合、抽象与概括、判断与推理等逻辑思维的能力。2、培养初步的空间观念 “空间观念”是在空间知觉的基础上形成的有关于物体的形状、大小和位置关系的表象，是形成空间想象力的基础。发明创造最基本的要素是空间观念。3、培养应用数学的意识和用形的知识解决简单实际问题的能力4、渗透“数形结合”思想，与“数”的教学彼此沟通，互相促进5、在数学教育中的地位比上个世纪进一步提高在20世纪末高新技术的发展过程中，几何学原理得到了空前的应用。无论在CT扫描、核磁共振等医疗成像技术上，还是在机器人、光盘、传真、无线电话以及高清晰度电视等最新电子产品上，都广泛采用了传统的和现代的几何理论。在人类进入信息社会的今天，几何学对社会发展的贡献越来越大。因此21世纪的数学教育应当把几何学放在头等重要的地位。二、“图形与几何”的教学内容和编排（P218）2001年颁布的全日制义务教育数学课程标准（实验稿）规定的关于“图形与几何”的教学内容如下表： 图形的认识测 量图形与变换图形与位置一至三年级认识长方体、正方体、圆柱和球观察物体认识长方形、正方形、三角形、平行四边形和圆描述长方形、正方形的特征拼图认识角、直角、锐角和钝角几何形体分类量长度认识长度单位估计和测量长度长方形、正方形的周长公式面积的含义和面积单位长方形、正方形的面积公式估计面积感知平移、旋转和对称在方格纸上将简单图形平移认识轴对称图形在方格纸上画轴对称图形上、下、左、右、前、后东、南、西、北、东北、西北、东南、西南简单的路线图四至六年级两点确定一条直线，两条相交直线确定一个点直线、线段和射线两点间的距离认识周角、平角、直角、钝角、锐角平行和垂直平行四边形、梯形和圆三角形的认识与内角和三角形两边之和大于第三边三角形的分类认识长方体、正方体、圆柱和圆锥从不同方位看物体用量角器量角。按指定度数画角用三角尺画30、45、60、90角三角形、平行四边形和梯形的面积公式圆的周长和面积公式用方格纸估计不规则图形的面积体积的意义和单位长方体、正方体和圆柱的表面积和体积公式圆锥的体积公式体积的测量确定轴对称图形的对称轴在方格纸上画一个图形的轴对称图形用方格纸将图形放大或缩小图形的平移与旋转在方格纸上将图形平移或旋转90欣赏和设计图案比例尺、图上距离与实际距离的换算确定物体的位置路线图用数对表示位置。在方格纸上用数对确定位置教学内容的变化反映出以下特点：1、强调情境的设置。设置的情景贴近学生的日常生活，使学习过程变得有趣和富有推理的活动。2、注重所学知识与日常生活的联系。通过观察物体、设计图案等活动，发展学生的空间观念。3、削减单纯的周长、面积和体积的计算。4、增加“图形变换”和“空间位置确定”的内容，以及绘制图案和制作模型的活动。5、突出探索性活动。让学生通过自主探索，认识图形的性质，发展空间观念和推理能力。三、“空间与图形”的教学要求（P221）1、关于“图形的认识”使学生认识常见的平面图形、立体图形及其特征，以及图形之间的区别和联系。（P221222表）认识常见的立体图形的表面展示图，能辨认从不同方位看到的物体的形状。正确理解和使用所学的几何名词，能根据图形的名称想象出该图形的表象，发展学生的几何直觉与空间观念。学会运用形体知识推理、计算和解决简单的实际问题。2、关于“测量”掌握有关测量的知识和方法。初步建立长度、角度、面积、体（容）积等几何量的概念。认识常用的长度、角度、面积、体（容）积的单位和进率。掌握常见几何形体的周长、面积和体积的计算公式和“割补”、“双拼”等等积变换的方法。会量长度和角度，或按指定的长度画线段，按指定的角度按角。会用直尺和圆规按指定的条件画直线、垂线、平行线、三角形、长方形、正方形和圆。会用测量工具进行简单的土地丈量。会测量某些不规则图形的面积和不规则物体的体积。3、关于“图形与变换”从典型事例出发从相关旧知出发结合实例，认识“平移”、“旋转”和“对称”。能在方格纸上，画平移或旋转90或对称的图形。会按一定的比例将简单图形放大或缩小。4、关于“图形与位置”认识“上、下、左、右、前、后”的意义，并能用来描述物体的位置关系。能辨认东、南、西、北；东北、西北、东南、西南。明确这8个方向之间的关系。能根据方向和距离确定物体的位置。能用数对表示物体的位置。理解比例尺的意义，能根据比例尺进行图上距离与实际距离的换算。思考题1、在小学教学“图形与几何”有什么意义？2、关于“图形与几何”的各部分内容，分别提出了哪些教学要求？对小学数学教材的比较研究（二）6.2 图形认识的教学图形点的集合平面图形空间图形一切图形都可以看作是“点的集合”。如果图形中所有的点都在同一个平面内，那么这个图形就叫做平面图形；如果图形中的所有的点不是都在同一个平面内。那么这个图形就叫空间图形。根据小学生知识基础和心理发展水平，要使他们认识一种图形，明确图形的特征，建立正确的表象，形成这种图形的概念，有两种基本模式：一是从典型的实际事例出发，二是从已有的相关知识出发。大致表现为三种情形：第一，举出典型的事例让学生观察，以建立正确的表象；分析它们的属性，概括共同的本质属性，以形成概念。（参看P75-76）第二，研究新授概念的某个邻近的属概念；将这个概念适当分类；从而明确新授概念的种差。（参看P77-78）第三，举出典型事例使学生初步认识某种图形。再用属加种差定义使学生明确这个概念。一、平面图形认识的教学（P224）1、直线、射线的教学线段直线射线直线是初等几何的一个原始概念，在公理化几何中，直线是从现实原型中直接抽象出来的不定义的概念。它的基本性质是用一组公理来表述的。在小学教科书中，有两种编排：一是先教直线，然后教线段和射线；另一种是先教线段，然后教直线和射线。直线线段射线前者容易出现一个问题：直线的无限延伸性往往被小学生忽视。事实上“直线”概念的教学有三个要素：直；无粗细可言和无限延伸性。“无限延伸性”难以通过直观教学使学生获得。因为我们找不到这样的事例。“只能由教师告诉学生。结果，学生往往是将信将疑。直观教学认识线段于是，有人提出如下方案：用直尺在两点间画线。用粉线在两点间弹线。指出：这样画的线都是线段。进一步运用直观教学让学生明确：线段是直的（而不是弯曲的）；“线段”是没有粗细的。线段有两个端点；在连接两点的线中，线段最短；出示画有各种线条的卡片让学生辨别其中哪些是线段、哪些不是。操作和想象认识直线和射线让学生从周围的环境里找出线段。让学生将画出的线段向一方延长，再延长告诉学生：线段向一方无限延长得到的图形叫做射线；线段向两方无限延长得到的图形叫做直线。使小学生：先通过直观教学认识有限的图形线段；然后在此基础上，通过画图和想象，认识无限的图形直线和射线。2、角和直角的教学（P225）一般可以分为两个阶段。（1）角和直角的初步认识这时，所谓“角”，常常是作为具体事物的组成部分而存在着。如三角板中的三个角，课本面上的四个角和时针、分针所成的角等。教学时，要引导小学生从日常语言中的“角”逐步过渡到数学概念的“角”。先从实例中的角过渡到用圆纸片折角。进一步，将角演化为“一个顶点和两条边”的结构。至此，角的概念已接近于形成。画角的两边时，可以告诉学生“随便画多长都行”。暗示角的两边的无限延伸性。（2）角的意义，度量，画法和分类系统学习“角”，首先要复习直线和线段，并且引进“射线”。为了使学生认识角的边是射线，从而对角的大小形成正确的观念，可以出示两个大小悬殊的正方形或三角板，指出：其中的直角都一样大。比较两个角的大小，可以参照线段大小的比较，用叠合的方法进行。角的大小概念建立后，就可以较为顺利地教学角的计量单位、量角的方法和按指定的度数画角的步骤。角的分类是在角和直角以及角的大小概念的基础上教学的。教学时，先要学生以纸片上的任何一点作为顶点，折出四个直角。认识由直角拼成的平角和周角。根据一个角和直角的大小关系，定义锐角和钝角。为了强调角的边是射线，可以提出这样一道趣题：什么东西在放大镜下不会被放大？3、垂线和平行线的教学（P227）应使学生认识垂线和平行线的意义，会画出一条直线的垂线和平行线。（1）互相垂直，垂线和垂足认识两条直线互相垂直，可以从考察两条相交直线开始。让学生用量角器量其中的一个角，然后推算另三个角。并且思考：如果其中一个角是直角，那么另三个角是什么角？定义互相垂直、垂线和垂足。出示画有相交直线的几张卡片，让学生从中挑出互相垂直的。让学生举出生活中两条直线互相垂直的实例。让学生从图中找出互相垂直的直线，并用三角板检验。指导学生画垂线。认识到：过直线上或直线外的一点有且只有一条直线和这条直线垂直。（2）点到直线的距离让学生从线外一点到这条直线画一条垂直的线段和几条不垂直的线段。先凭观察和直觉，判断这些线段的长短。然后用刻度尺量，加以证实。定义点到直线的距离。运用“点到直线的垂直线段最短解决相关的实际问题。（3）平行线认识平行线，可以从考察同一平面内的两条线段开始。弄清这样的两条线段的位置关系有相交、延长后相交，以及无论怎样延长都不相交三种情形。问：线段向两方无限延长得到的图形是什么？同一平面内的两条直线的位置关系有哪几种情况？定义平行线。让学生在两条平行线间画几条垂直线段；关于它们的长度间的关系，可以先在观察的基础上作出猜测；然后通过量一量、比一比的办法检验，还可以根据“长方形对边相等”加以论证，以体现“直观几何”、“实验几何”与“论证几何”的结合。平行线的画法在中学是以判定定理为依据的。在小学，画法可以作为检验两条直线是否平行的依据。4、长方形和正方形的教学（P228）（1）长方形和正方形的直观认识由实例抽象出图形，让学生观察，形成表象，并且通过折叠，认识长方形对边的长度相等。（2）长方形和正方形的认识为了认识长方形和正方形的特征，可以提出一系列问题，引导学生探究，并把答案整理成下表：长方形（包括正方形） 有四条边，对边相等； 有四个角，都是直角。 正方形的四条边都相等。防止学生误解“正方形不是长方形”。认识长方形与正方形的特征后，要提出一些问题引导学生进行推理，作出判断。如：知道正方形一边的长度是2厘米，能说出另三边的长度吗？为什么？知道长方形一边的长度是2厘米，能说出另三边的长度吗？为什么？知道长方形中两边的长度都是2厘米，能说出另两边的长度吗？ 知道长方形中三边的长度都是2厘米，能说出第四边的长度吗？这样的长方形有什么特征？5、三角形的教学（P230）（1）三角形和它的稳定性从实例抽象出图形后，形成三角形的概念由三条线段围成的图形叫做三角形。出示用三根木条钉成的三角形（以及用四根木条钉成的四边形），让学生拉一拉，认识到三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就不会再改变了。这就是三角的稳定性（四边形则不然）。然后举例说明三角形的稳定性（以及四边形的不稳定性）在生产与生活中的应用。（2）直角三角形、锐角三角形和钝角三角形复习直角、锐角和钝角的概念，以及用三角板的直角来检验的方法。列表出示若干个三角形。让学生检验每个三角形的三个角。并把检验结果填入表中。序号图 形锐角的个数直角的个数钝角的个数1300然后，引导学生根据统计表中的数据得出结论。根据所得出的结论试着将这些三角形分类，并研究每一类三角形的共同特点。在以上探究、讨论的基础上，给出锐角三角形、直角三角形和钝角三角的定义。提出一些问题，根据上述定义进行推理、作出判断。（3）等腰三角形和等边三角形出示可以对折叠合和不能对折叠合的三角形纸板。问：“三角形满足什么条件才能对折叠合？学生回答后再定义等腰三角形和其中各部分的名称。使学生认识：等腰三角形的两个底角相等。进而定义等边三角形，并且认识：等边三角形的三个角都相等。（4）三角形的高和底（5）三角形的内角和印发几个三角形。让学生分别量出每个三角形中三个角的度数，再计算三个角的度数和。回忆：平角=180。想：能否将三角形的三个角拼成一个平角？归纳出“三角形的内角和是180后，就可以出一些习题，让学生根据这个结论推理或计算。如直角三角形中两个锐角的和等于什么？等边三角形中的每一个角是多少度？等等。6、平行四边形和梯形的教学（P232）（1）平行四边形的初步认识通过拉动用四根木条钉成的长方形，使之变成不含直角的平行四边形，使学生认识到“平行四边形的两组对边分别相等。”但它的角不一定是直角。（2）平行四边形的认识出示一批由四条线段围成的图形。包括长方形、正方形、平行四边形、梯形。让学生研究几个被称为“平行四边形”的图形。当有人发现“对边平行”后，要求学生根据平行线的画法检验。检验确认后，就可以给出平行四边形的定义。让学生用同样的方法检验长方形和正方形的每一组对边。并且，根据平行四边形的定义认定：长方长形和正方形都是特殊的平行四边形。定义平行四边的高和底。指出：平行四边形的高也是针对某一边来说的，实质上是对边之间的距离。（3）梯形的认识从梯子的一格、堤坝的横截面等实例抽象出图形。指出这样的图形就是梯形。定义前先告诉先生：四边形有两组对边。每一组对边都可能平行、也可能不平行。根据每一组对边是否平行，我们可以将四边形分为哪几类呢？其中，一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。7、圆的教学（P233）（1）圆的初步认识圆作为计数或计算的对象、填数或填运算号的空位，早已多次出现过。圆不仅是日常生活中最常见的图形，也是小学生最熟悉的一种图形。（2）圆的认识有些教材以“圆形物体”作为从实际事例认识圆的中间概念。由于小学生对“圆形物体”和球形物体难以分清，所以，常常导致认识上的混乱。为了避免使用“圆形物体”一词，有的小学教科书一开始就要求学生“说一说周围的物体上哪里有圆”。通过圆形纸片的对折和对于折痕的研究。为定义圆心、半径和直径创造了条件。关于圆的特征，教科书提到了三点：在同一个圆中，半径的长度都相等；直径的长度都相等；直径的长度等于半径的两倍。教学时，可以引导学生先通过画、量、比较、归纳得出；然后根据直径和半径的定义推理，以得出；最后，再根据等量公量，由、推出。以丰富思想方法的教学内容和强化对学生的推理训练。学生认识了“同一个圆中半径的长度都相等”，用圆规画圆的方法以及“将车轮做成圆形并将车轴装在圆心”就有了理论根据。二、立体图形认识的教学（P234）在小学，要求学生认识的立体图形有长方体、正方体、（直）圆柱和球。要让学生在观察、操作和制作模型的基础上，逐步认识这些立体图形的主要特征。对立体图形的认识虽然只是初步的，但必须使小学生获得正确的表象，与中学数学的定义没有矛盾。（一）长方体和正方体认识的教学（P235）1、长方体和正方体的直观认识观察具有长方体形状的实物和模型，获得感知，积累表象，知道“长方体”和“正方体”这些名词。暂不要求学生分析长方体的特征，认识长方体和正方体的属种关系。2、长方体和正方体的认识从实例抽象出长方体的图形后，让学生弄清：长方体有几个面？每个面是什么形状？然后约定：“长方体”就是由6个长方形的平面部分围成的物体。让学生就实物或模型研究长方体的6个面的大小。认识相对的每两个面是完全相同的。定义长方体的棱和顶点。让学生研究：一个长方体有多少棱，多少顶点。从逐个计数到按群计数。再到推算：一个长方体有462=12条棱。463=8个顶点。将计数与推算相结合。关于长方体中“相对的面完全相同”、方向相同的每4条棱长度相等，不能仅仅通过教具的演示或实验的方法使学生认识。还可以引导学生论证，根据“长方体的6个面都是长方形”以及“长方形的对边相等”推出上述结论。定义长方体的长、宽、高，长、宽、高可能各不相等，可能有两个相等（这时6个面中有两个面是正方形）；也可能三者都相等（这时6个面都是正方形）。长、宽、高都相等的长方体和正方体。帮助学生从实物、模型的观察过渡到能看懂长方体和正方体的直观图。这是学生的空间观念的重大发展。引导学生讨论并得出结论：长方体的一切特征正方体都具有，因此，正方体是特殊的长方体。防止误解：“长方体的长、宽、高不是都相等”；“正方体不是长方体”。让学生课后用纸板制作长方体和正方体模型，为学习它们的表面积计算做好准备。2、圆柱的认识的教学（P236）（1）直观认识圆柱通过观察圆柱形实物和模型，获得感知，积累表象，知道“圆柱”的名称，能将圆柱从其他物体中挑出来。通常所说的“上、下一样粗”对于学生辨别圆柱和鼓形十分有用。（2）圆柱的认识让学生收集圆柱形的物体。经师生审核、确认后，教者出示圆柱的直观图。指出：这种立体图形叫做“圆柱”。让学生注意：圆柱是由3个面围成的，其中有两个面是圆，叫做圆柱的底面，两个底面是“完全相同的两个圆面”。第三个面叫做圆柱的侧面。将侧面沿一条高剪开，并把它展平，可以展开成一个长方形。它的长和宽分别等于圆柱的底面周长和高。为学习圆柱表面积的计算做准备。3、圆锥的认识的教学（P237）认识圆锥，要从圆锥形物体或模型的观察出发，抽象出图形，指出：这种立体图形叫做圆锥。通过观察注意到圆锥是由两个面围成的。其中有一个平的面，形状是圆，叫做圆锥的底面；另一个面是曲面，叫做圆锥的侧面。侧面上有一个点，它到底面圆周上各点的距离都相等。这个点叫做圆锥的顶点。顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。将圆锥的侧面沿着顶点和底面圆周上一点的连线剪开，并且展平，展开图是一个扇形。4、球的认识的教学（P238）球也是小学生生活中常见的一种物体。是用一个面围成的，这个面叫做球面。为了使学生认识球心、球的半径和直径等概念，可以将球切成两个半球，得一圆面。这个圆的圆心到球面上每一点的距离都相等，叫做球心。然后定义球的半径和直径。通过和圆类比，使学生认识球的特征：在同一个球中，半径的长度都相等，直径的长度都相等；并且直径的长度是半径的两倍。思考题1、在小学数学课程中要求小学生认识哪些平面图形和立体图形？2、“线段、直线、射线”的教学按照什么顺序教比较符合儿童的思维特点和认识规律？教学难点是什么？3、教学“平行线”时，怎样引导学生从有限图形的观察，到无限图形的想象？4、怎样防止学生误解：“正方形不是长方形？”5、怎样引导学生实现已有概念的分化，为学习新的概念做好准备？8、概念怎样通过运用达到巩固？怎样使学生掌握的概念系统化？1051086.3 “测量”的教学一、长度单位和长度计量的教学（P238）1、在现行教科书中，小学生最先认识的长度单位是“厘米”。但在“线段”和“厘米”的前后顺序上有不同的编排：先认识“线段”、后认识“厘米”；或者先认识“厘米”、后认识“线段”。考虑到“厘米”是计量“线段”的长度所用的计量单位。似乎以先认识“线段”、后认识“厘米”为宜。2、教师可以从一个量长度的实际问题引入新课，使学生认识“厘米”。明确“厘米”的实际长度？形成“厘米”的空间观念。3、为了方便地量各种不同的长度，还需要用另几种大小不同的长度单位：“毫米”、“分米”、“米”、“千米”等。应该让学生结合身边的事例，认识这些长度单位大约有多长。学会不同的长度单位之间如何换算。长度单位间的进率，是计量科学中的规定，不宜把它作为“小组讨论”或“探究”的内容。4、应该让学生明确量长度的操作要领：刻度0对准线段的一端；刻度尺的边和线段的方向一致；线段另一端所对的刻度就是线段的长度。并且知道：如果刻度0已不存在。该如何变通处理。二、周长和面积的教学（P239）长度和面积都是对图形进行定量研究的产物。“周长和面积的教学”包括“周长”和“面积”概念的教学、长度单位和面积单位的教学、以及几种平面图形的周长公式和面积公式的教学。多边形的“周长”是在线段长度的基础上定义的。周长公式，除圆周长公式的推导较为复杂外，其它多边形的周长公式都不过是求和以及加法算式的简化，图形的面积公式都是在长方形面积公式的基础上推导出来的。长方形的面积公式又是根据面积概念和面积单位推导出来的。推导面积公式时，既用了归纳的方法、演绎的方法，又运用了等积变换的方法和化归的方法。在推导圆的面积时，还用了极限的思想方法。铺方块或数方格的办法求面积，实质上是用直接计量法求面积，为了简便，人们从直接计量法求面积过渡到间接计量法。于是，各种面积公式也就应运而生。1、周长和面积概念的教学（P240）（1）周长概念和正方形、长方形的周长公式“平面封闭图形的周长”就是这个图形周围边界的总长。正方形的周长公式可以根据周长的意义和正方形的特征推出。长方形和平行四边形的周长计算都可以用类似上面的方式处理：巩固周长公式的练习应该是多种多样的。对知识的深刻理解和牢固掌握，只有通过在不同情境中的运用才能达到。（2）面积概念和面积单位的教学在几何中，“面积”表示平面封闭图形所围的平面部分的大小。它对应于一个正实数，具有以下性质：全等形的面积相等；（面积的运动不变性）把一个平面封闭图形分割成几部分，则整个图形的面积等于所分成的各部分的面积的和。（面积的可加性）小学数学对于面积概念，只给出了描述性的解释：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。为了使小学 生正确理解面积概念，要通过直观教学和学生的操作，使他们认识到物体表面或平面封闭图形围成的平面部分是可以比较大小的。如课桌面大于书本面（总量大于它的一部分）。由两个同样的（全等的）三角形拼成的平行四边形的面积等于每个三角形的面积的两倍等等。量面积的计量单位叫做面积单位。常用的面积单位是边长为1厘米（分米、米）的正方形的面积，叫做平方厘米（平方分米和平方米）。认识每一种面积单位时，都应当向学生展示它们的实际大小，让学生获得不同面积单位的明确表象。为了防止混淆面积单位和长度单位，可以让学生通过分析、比较，认识到：长度单位和面积单位，名称不同、意义不同、进率不同和适用范围也不同。2、多边形面积计算的教学（P242）多边形面积公式的编排顺序大致如下。首先，根据面积概念、面积单位推出长方形的面积公式。接着，根据长方形的面积公式运用演绎推理推出正方形的面积公式。面积概念和面积单位6P118长方形的面积=长宽6P124平行四边形的面积=底高9P71梯形的面积=（上底+下底）高29P81正方形的面积=边长边长6P124三角形的面积=底高29P76运用割补的方法，将平行四边形等积变换为长方形。从而根据长方形的面积公式推出平行四边行的面积公式。进一步，将两个全等的三角形（或梯形）拼成一个平行四边形。推导出面积公式。（如上图）（1）长方形和正方形面积计算的教学出示长5厘米、宽3厘米的长方形。要求学生用直接计算法求它的面积。讨论数方格的各种方法：逐个计数、按群计数以及用乘法算。明确：用乘法算最为简便。问：为了弄清一排有几个方格、共有几排，是不是非得把长方形分成单位正方形不可呢？引导学生发现：为此，只需用对应的长度单位去量长方形的长和宽。面积概念和面积单位长5厘米、宽3厘米的长方形的面积是53平方厘米演绎长方形的面积=长宽归纳正方形的面积=边长边长演绎所以，这个长方形所含的平方厘米数，等于它的长和宽所含的厘米数的乘积。从而归纳出：长方形的面积=长宽正方形的面积=边长边长可见，推导长方形面积公式的基本程序是：数方格求面积算方格求面积不用方格求面积 直接计量法 间接计量法从而由求面积的直接计量法过渡到求面积的间接计量法。（2）平行四边形面积计算的教学对于准备用直接量法求面积的学生，要帮助他们解决不满一格如何计数的问题。一种办法是：凡不满一格的，不论大小，一律按半格计算。另一种方法是：先将不完整的方格拼成完整的方格。启发引导：一个、一个地拼完整的方格太麻烦。能不能将左边的一部分整个切下来，拼到右边，使不完整的方格都变成完整的方格？从而引导到教科书里的等积变换。将平行四边形变成和它面积相等的长方形，用长方形的面积公式来计算它的面积。（3）三角形和梯形面积计算的教学研究：能不能把三角形转化成面积已经会算的图形？（长方形或平行四边形）引导学生用两个同样的（全等的）三角形纸板去拼。用同样的办法。将两个全等的梯形拼成平行四边形。“双拼”是一种有特色的办法，为了突出思想方法的教学，在“梯形面积计算”的练习中，出现了一堆钢管求总数的问题。它们都可以用“双拼”的办法转化为简单的乘法计算。3、圆周长和圆面积的教学（P245）（1）圆周长的认识和计算的教学“围成圆的曲线的长叫做圆的周长。”“平面封闭图形的周长就是指这个图形周围边界的长度。”在定性研究和定量研究的过程中，可以将圆的周长与正方形的周长类比，提出猜想。如根据“正方形的边长越大，它的周长也越大”推测：“圆的直径越大，它的周长也越大”。根据“正方形的周长是边长的4倍”猜测：“圆的周长也可能是直径的若干倍。”通过实验认识到：“不论直径的大小如何，圆的周长总是直径的三倍多一些。”在此基础上，告诉学生：已经证明，这个倍数是一个固定不变的数，叫做圆周率，用希腊字母表示。从中推出圆周长的公式：做实验时，如果用刻度尺去量周长和直径，不但增加了做除法的麻烦，而且计算结果也难以一致，干扰了得出结论的归纳过程。不如直接用圆的直径做长度单位去量周长方便。练习时，要有用公式进行推理，作出判断的题目。如，一个人沿着赤道绕地球走一圈，头顶和脚经过的路程是不是一样？相差多少？ （2）圆面积计算的教学圆所占平面（部分）的大小叫做圆的面积。推导圆的面积公式，需要实现曲和直、有限和无限、近似和精确的转化。启发引导：我们能不能把圆转化成面积和它相等的、面积计算公式已经知道的某种图形？指导学生用半径将圆纸片分成16等份，用这些小纸片去拼。当学生确认拼得的是一个近似的平行四边形后，出示圆纸片被分成32等分后拼成的图形。引导他们观察、发现：圆纸片分得越细，拉成的和圆等积的图形就越近于长方形。当学生依次观察和比较了几种有限分割的情况，并且注意到等分份数加倍时拼成的图形的变化趋势后，就可以让他们想象等分的份数无限加倍时的“终极状态”。从而经历一个直觉的极限过程。在此过程中，平行四边形的底和高（长方形的长和宽）始终是和，所以，和这个图形的面积相等的圆面积是三、表面积和体（容）积的教学（P247）1、表面积计算的教学立体图形的表面积计算，实质上是计算一个组合图形的面积。不过所需要的数据，要从物体的数据中去找。（1）长方体和正方体表面积计算的教学教学长方体和正方形的表面积时，先要复习长方体和正方体的特征。哪两个完全相同的长方形是原长方体的一组相对的面？每一个长方形的和和宽分别是原长方体的什么几何量？并将较为简便的算式归纳成长方体表面积的计算公式。解决实际问题时，应要求学生根据实际情况灵活处理。防止生搬硬套公式。（2）圆柱表面积计算的教学教学圆柱的表面积，要从复习圆柱的侧面展开图开始。弄清侧面展开图的形状，以及它和圆柱的底面周长和高的关系。从而得出圆柱侧面积和表面积的计算公式。2、体（容）积概念和体（容）积单位的教学（1）体积概念的教学仅仅能背诵“物体所占空间的大小叫做物体的体积”还不能说明学生已经建立了体积概念。教学时通过实验，使学生确认每个物体都占有一定的空间。让学生从实验中认识：物体占有的空间，有大有小。定义“体积”。（2）体积单位的教学复习常用的长度单位和面积单位，以及各种面积单位的意义。定义体积单位，立方厘米、立方分米和立方米。通过观察体积单位的模型，对它们的大小获得明确的观念。比较相应的长度单位、面积单位和体积单位。弄清它们之间的区别和联系。出示一些由单位正方体拼成的物体，让学生通过计数说出它们的体积。熟悉体积的直接计量法。 体积单位的进率一般在正方体的体积公式后教学。也可以在定义之后运用直观教学（图示）让学生推导。（3）容积和容积单位的教学举例说明：容器能存放其它物体的体积，叫做容积。常用的容积单位有升和毫升。1升=1000毫升1升=1立方分米1毫米=1立方厘米 “立方分米”的原始依据是 “米原器”；“升”的原始依据是“千克原器”。1立方分米和1升事实上略有差异。3、体积计算的教学（1）长方体和正方体体积计算的教学出示一个长、宽、高分别为4、3和2（厘米）的长方体。要学生求它的体积。引导学生想象：它能切成多少个棱长是1厘米的小正方体？或者用棱长是1厘米的小正方体拼成这样的长方体。要用多少个？从正方体个数的各种计数方法中，优选出连乘。而这三个数恰巧就是长方体的长、宽、高的厘米数。进而归纳出长方体的体积公式。根据正方体是特殊的长方体，推出正方体的体积公式。（2）圆柱体积计算的教学复习长方体的体积公式。让学生注意到：如果能把圆柱的底面圆变为长方形，那么圆柱也就变成了长方体。回忆“化圆为方”的经历，演示将圆柱割拼为长方体的专用教具。即可根据长方体的体积=底面积高推出圆柱的体积公式：（3）圆锥体积计算的教学复习圆柱的体积公式。出示等底面积、等高的圆柱形容器和圆锥形容器。让学生比较它们的容积的大小；猜测容积大的是另一个容积的几倍。根据实验结果和圆柱的体积公式即可推出圆锥的体积公式注意：公式中的任何一个量都可以是所要求的未知数量，从而使公式成为方程。四、实际测量的教学（P251）目的是使学生学会使用卷尺（或测绳）、标杆等简单测量工具，在地面上测定直线，丈量距离和形状比较简单的地块的面积。初步培养步测和目测的能力。认识地积单位，学会地积计算。提高学生的实际操作能力和解决实际问题的能力。1、在地面上测量距离“直线、线段和射线”教学后就可以组织学生进行。对于地面上较近的距离，可以用卷尺直接量出。测量较长的距离，先要测定一条直线，然后沿着这条直线分段丈量。为提高准确性，至少要往返测量两次，然后取平均值。组织实际测量，要做好组织工作和准备工作。2、步测和目测指导步测，可以先让学生在百米跑道上，以正常的步伐从起点走到终点，数出步数。然后计算本人每步的平均长度。步测某一段距离时，只要数出走完这段距离的步数，即可算出这段距离。（2）目测目测距离主要是运用“直觉”。有时，也用有刻度的短尺，并根据某些知识或经验推算。为了训练目测能力，可以先让学生观察50米、100米、200米、500米处的物体，注意这些物体的清晰度和大小的变化，力求获得多方面的知觉和形成尽可能全面的表象。目测后可用卷尺丈量，检验目测结果，达到印证和调整主观标准的目的。小学生目测的相对误差在20%以内即可。3、土地面积丈量土地的面积叫做地积。常用的地积单位有平方米、公亩、公顷和平方千米。1平方千米=100公顷 1公顷=100公亩=10000平方米丈量土地面积可以在“多边形的面积计算”教学后进行。丈量时，先在地块的各个拐角处打下测桩，并编上桩号，然后，根据地块的形状画出草图，确定需要量出的线段的长度。量得的数据随即记在草图上，然后按公式计算地块的面积。思考题1、在小学数学中，要求小学生掌握其计量方法的几何量有哪些？2、如何进行几何量及其计量单位的概念教学？3、直接计量法和间接计量法的主要区别是什么？4、怎样推导圆的周长公式？5、怎样推导长方形的面积公式？1091106.4图形与变换的教学一、轴对称图形的教学（P253）思想实验轴对称图形，可以从一组剪纸或其它事例引入。如果有一条这样的直线，当图形平面沿着这条直线对折时，直线两边的图形部分能够完全重合，这个图形就叫“轴对称图形”。这条直线叫做“对称轴”。让学生判断以往学过的一些图形是不是轴对称图形时，为了说明某个图形是轴对称图形，可以用纸片的对折来证实。这种实验应该逐步过渡为“思想实验”，即通过观察、思维和想象来作出判断。当学生看到一个不含直角并且邻边不等平行四边形而断定“平行四边形不是轴对称图形”时，教师应及时澄清：“应该这样说，这个平行四边形不是轴对称图形。究竟什么样的平行四边形不是轴对称图形，什么样的平行四边形是轴对称图形？需要进一步研究。”二、“平移与旋转”的教学（P254）“平移”和“旋转”是理论力学的刚体运动学中的两个基本概念。在运用典型事例，抽象概括，引出“平移”和“旋转”这两个概念时，要注意所用事例的准确性和典型性。通常的门和铝合金窗可以分别作为旋转和平移的事例。将缆车、国旗、大型游戏机、列车作为平移和旋转的事例就显得过分牵强，不利于学生对这些概念的初步认识。当学生举例而不够准确时，教师要补充说明。要使学生感到：物体的运动可能既不是平移、也不是旋转。三、图案欣赏与设计的教学（P255）思考题1、怎样使学生获得轴对称图形的概念？2、怎样引导学生正确认识：平行四边形是不是轴对称图形？6.5 图形与位置的教学通过“图形与位置”的教学，使学生能够用“上、下、左、右、前、后”以及“东、南、西、北”等词语来描述物体的相对位置。理解用方向和距离确定物体位置的方法。掌握识图和制图的初步技能。一、“上、下、前、后、左、右”的教学（P256）1、所谓“上、下”，实质上是以地球的球心为标准，而与比较的两个物体无关，也与说这句话的人无关。“如果A在B的上面，那么B就在A的下面。”2、关于“前、后”，当我们说“A在B的前面”或“A在B的（后）面”时，所谓“前面”或“后面”是以B为标准