高中数学 42用数学归纳法证明不等式举例课件 新人教A版选修45.ppt

第二节用数学归纳法证明不等式举例 课标要求 1 会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式 特别是绝对值不等式 平均值不等式和柯西不等式 2 了解贝努利不等式 学会贝努利不等式的简单应用 3 会用数学归纳法证明贝努利不等式 核心扫描 1 利用数学归纳法证明不等式是本节考查的重点 2 本节常与不等式的性质 放缩法等综合考查 1 贝努利不等式 设x 1 且x 0 n为大于1的自然数 则 2 贝努利不等式的更一般形式 当 为实数 并且满足 1或者 0时 有 1 x 1 x x 1 当 为实数 并且满足0 1时 有 1 x 1 x x 1 自学导引 1 x n 1 nx 1 用数学归纳法证明3n n3 n 3 n n 第一步应验证 a n 1b n 2c n 3d n 4解析由题意知n 3 应验证n 3 故选c 答案c 基础自测 2 对于正整数n 下列说法不正确的是 a 32 1 2nb 0 9n 1 0 1nc 0 9n 1 0 1nd 0 1n 1 0 9n 解析由贝努利不等式 1 x n 1 nx n n x 1 当x 2时 1 2 n 1 2n 故a正确 当x 0 1时 1 0 1 n 1 0 1n b正确 c不正确 答案c 解析分母是底数为2的幂 且幂指数是连续自然增加 故选a 答案a 题型一用数学归纳法证明绝对值不等式 例1 设x1 x2 xn为实数 证明 x1 x2 xn x1 x2 xn 思维启迪 在n k成立证明n k 1也成立时 注意应用绝对值不等式性质 证明 1 x1 x2 x1 x2 n 2时命题成立 2 设命题n k k 2 时成立 即 x1 x2 xk x1 x2 xk 于是 当n k 1时 x1 x2 xk 1 x1 x2 xk xk 1 x1 x2 xk xk 1 x1 x2 xk xk 1 即当n k 1时 命题也成立 由 1 2 知 对于任意n n 命题都成立 规律方法使用数学归纳法要完成两步 第一步要验证 基础 第二步要证明 递推 二者缺一不可 关键在于使用归纳假设进行递推 这也是数学归纳法的灵活和魅力所在 要根据不同问题加强练习 逐步掌握 变式1 证明不等式 sinn n sin n n 证明 1 当n 1时 上式左边 sin 右边 不等式成立 2 假设当n k k 1 时 命题成立 即有 sink k sin 当n k 1时 sin k 1 sin k sink cos cosk sin sink cos cosk sin sink sin k sin sin k 1 sin 即当n k 1时不等式成立 由 1 2 可知 不等式对一切正整数n均成立 题型二用数学归纳法证明不等式 例2 在数列 an 中 a1 2 an 1 an 2n 1 n n 1 求证 an 2n 为等差数列 2 设数列 bn 满足bn 2log2 an 1 n 思维启迪 由条件第一问可通过数列的有关知识来证明进而求出an通项公式 然后求bn的通项公式 最后用数学归纳法证明要证的结论即可 解 1 由an 1 an 2n 1得 an 1 2n 1 an 2n 1 因此 an 2n 成等差数列 2 an 2n a1 2 n 1 n 1 即an 2n n 1 bn 2log2 an 1 n 2n 规律方法同用数学归纳法证明等式一样 这类题型也通常与数列的递推公式或通项公式有关 待证的不等式的条件可能直接给出 也可能需根据条件归纳猜想出后再证明 题型三数学归纳法与数列的综合问题 思维启迪 由题意可得如下信息 an bn an 1成等差数对任意n都成立 n 1 2时也成立即可解得第一问 并归纳出通项公式 然后用数学归纳法证明之 第二问列出式子发现用裂相法与放缩法即可证明 比用数字归纳法简便 规律方法这类题型通常与数列的递推公式 通项公式有关 有时要证明的等式是直接给出 有时是根据条件从前n项入手 通过观察 猜想 归纳出一个等式 然后再用数学归纳法证明 方法技巧数学归纳法在不等式中的应用 思路分析 1 问关键利用an sn