高中数学131函数的单调性与最值课件新人教A版必修1

1 3函数的基本性质 1 3 1函数的单调性 画出下列函数的图象 观察其变化规律 1 从左至右图象上升还是下降 2 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 f x x 增大 上升 1 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 2 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 f x x2 0 0 增大 减小 画出下列函数的图象 观察其变化规律 一 函数单调性定义 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间D上是增函数 1 增 减 函数 f x1 f x2 减函数 例1 下图是定义在区间 5 5 上的函数y f x 根据图象说出函数的单调区间 以及在每个区间上 它是增函数还是减函数 解 函数y f x 的单调区间有 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 5 2 2 1 1 3 3 5 二 典例精析 区间端点问题 例2 证明 函数在上是增函数 证明 在区间上任取两个值且 且 所以函数在区间上是增函数 取值 判号 定论 三 判断函数单调性的方法步骤 取值 任取x1 x2 D 且x1 x2 作差 f x1 f x2 变形 因式分解和配方等 乘积或商式 定号 即判断差f x1 f x2 的正负 下结论 即指出函数f x 在给定的区间D上的单调性 利用定义证明函数f x 在给定的区间D上的单调性的一般步骤 四 归纳小结 3 函数单调性的证明 证明一般分五步 取值 作差 化简 判号 下结论 2 会利用函数图像找出函数的单调区间 1 函数单调性的定义 1 函数的最大值 1 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 对于 都有f x M 存在 使f x0 M 那么称M是函数y f x 的最大值 2 函数的最小值 1 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 对于 都有f x M 存在 使f x0 M 1 那么称M是函数y f x 的最小值 1 函数最大值 最小值的几何意义是什么 提示 函数最大值或最小值是函数的整体性质 从图象上看 函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标 2 求函数的最大 小 值应注意的问题是什么 提示 1 对于任意的x属于给定区间 都有f x M成立 任意 是说对给定区间的每一个值都必须满足不等式 2 最大值M必须是一个函数值 即它是值域中的一个元素 例如函数f x x2对任意的x R 都有f x 1 但f x 的最大值不是1 因为1不属于f x 的值域 如图为函数y f x x 3 8 的图象 指出它的最大值 最小值及单调区间 思路点拨 由题目可获取以下主要信息 所给函数解析式未知 函数图象已知 解答本题可根据函数最值定义和最值的几何意义求解 解析 观察函数图象可以知道 图象上位置最高的点是 2 3 最低的点是 1 3 所以函数y f x 当x 2时 取得最大值 最大值是3 当x 1 5时 取得最小值 最小值是 3 函数的单调增区间为 1 2 5 7 单调减区间为 3 1 2 5 7 8 由函数图象找出函数的单调区间是求函数单调区间和最值的常用方法 这种方法以函数最值的几何意义为依据 对较为简单且图象易作出的函数求最值较常用 1 运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法 特别是当函数图象不好作或作不出来时 单调性几乎成为首选方法 2 函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间 a b 上是减函