江西信丰中学高二数学线性规划的简单应用新课标人教

江西省信丰中学 使z 2x y取得最大值的可行解为 且最大值为 复习引入 1 已知二元一次不等式组 1 画出不等式组所表示的平面区域 满足的解 x y 都叫做可行解 z 2x y叫做 2 设z 2x y 则式中变量x y满足的二元一次不等式组叫做x y的 y 1 x y 0 x y 1 2x y 0 1 1 2 1 使z 2x y取得最小值的可行解 且最小值为 这两个可行解都叫做问题的 线性约束条件 线性目标函数 线性约束条件 2 1 1 1 3 3 最优解 例题分析 例1 某工厂生产甲 乙两种产品 已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t B种矿石5t 煤4t 生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t B种矿石4t 煤9t 每1t甲种产品的利润是600元 每1t乙种产品的利润是1000元 工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t 消耗B种矿石不超过200t 消耗煤不超过360t 甲 乙两种产品应各生产多少 精确到0 1t 能使利润总额达到最大 列表 5 10 4 600 4 4 9 1000 设生产甲 乙两种产品 分别为xt yt 利润总额为z元 例题分析 列表 把题中限制条件进行转化 约束条件 10 x 4y 300 5x 4y 200 4x 9y 360 x 0 y 0 z 600 x 1000y 目标函数 设生产甲 乙两种产品 分别为xt yt 利润总额为z元 xt yt 例题分析 解 设生产甲 乙两种产品 分别为xt yt 利润总额为z元 那么 10 x 4y 300 5x 4y 200 4x 9y 360 x 0 y 0 z 600 x 1000y 作出以上不等式组所表示的可行域 作出一组平行直线600 x 1000y t 10 x 4y 300 5x 4y 200 4x 9y 360 600 x 1000y 0 M 答 应生产甲产品约12 4吨 乙产品34 4吨 能使利润总额达到最大 12 4 34 4 经过可行域上的点M时 目标函数在y轴上截距最大 90 30 75 40 50 40 此时z 600 x 1000y取得最大值 例题分析 例2要将两种大小不同规格的钢板截成A B C三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 解 设需截第一种钢板x张 第一种钢板y张 则 2x y 15 x 2y 18 x 3y 27 x 0 y 0 作出可行域 如图 目标函数为z x y 今需要A B C三种规格的成品分别为15 18 27块 问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品 且使所用钢板张数最少 X张 y张 例题分析 2x y 15 x 3y 27 x 2y 18 x y 0 直线x y 12经过的整点是B 3 9 和C 4 8 它们是最优解 作出一组平行直线z x y 目标函数z x y 当直线经过点A时z x y 11 4 x y 12 解得交点B C的坐标B 3 9 和C 4 8 调整优值法 2 4 6 18 12 8 27 2 4 6 8 10 15 但它不是最优整数解 作直线x y 12 答 略 例题分析 2x y 15 x 3y 27 x 2y 18 x y 0 经过可行域内的整点B 3 9 和C 4 8 且和原点距离最近的直线是x y 12 它们是最优解 答 略 作出一组平行直线t x y 目标函数t x y 打网格线法 在可行域内打出网格线 当直线经过点A时t x y 11 4 但它不是最优整数解 将直线x y 11 4继续向上平移 1 2 1 2 18 27 15 9 7 8 不等式组表示的平面区域内的整数点共有 个 巩固练习1 1234x y43210 4x 3y 12 在可行域内找出最优解 线性规划整数解问题的一般方法是 1 若区域 顶点 处恰好为整点 那么它就是最优解 在包括边界的情况下 2 若区域 顶点 不是整点或不包括边界时 应先求出该点坐标 并计算目标函数值Z 然后在可行域内适当放缩目标函数值 使它为整数 且与Z最接近 在这条对应的直线中 取可行域内整点 如果没有整点 继续放缩 直至取到整点为止 3 在可行域内找整数解 一般采用平移找解法 即打网络 找整点 平移直线 找出整数最优解 解线性规划应用问题的一般步骤 2 设好变元并列出不等式组和目标函数 3 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域 4 在可行域内求目标函数的最优解 1 理清题意 列出表格 5 还原成实际问题 准确作图 准确计算 二 给定一项任务 问怎样统筹安排 能使完成这项任务的人力 物力资源最小 一 给定一定数量的人力 物力资源 问怎样安排运用这些资源 能使完成的任务量最大 收到的效益最大 线性规划研究的两类重要实际问题 巩固练习2 课本65页练习2 咖啡馆配制两种饮料 甲种饮料每杯含奶粉9g 咖啡4g 糖3g 乙种饮料每杯含奶粉4g 咖啡5g 糖10g 已知每天原料的使用限额为奶粉3600g 咖啡2000g糖3000g 如果甲种饮料每杯能获利0 7元 乙种饮料每杯能获利1 2元 每天在原料的使用限额内饮料能全部售出 每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大 解 将已知数据列为下表 设每天应配制甲种饮料x杯 乙种饮料y杯 则 作出可行域 目标函数为 z 0 7x 1 2y作直线l 0 7x 1 2y 0 把直线l向右上方平移至l1的位置时 直线经过可行域上的点C 且与原点距离最大 此时z 0 7x 1 2y取最大值解方程组得点C的坐标为 200 240 二元一次不等式表示平面区域 直线定界 特殊点定域 简单的线性规划 约束条件 目标函数 可行解 可行域 最优解 求解方法 画 移 求 答 小结 解线性规划应用问题的一般步骤 1 理清题意 列出