江苏连云港田家炳中学高三数学57正弦定理余弦定理复习课件

第七节正弦定理和余弦定理 基础梳理 设 ABC的三个内角A B C的对边分别为a b c R是 ABC的外接圆半径 1 正弦定理三角形的 即 2R 各边和它所对角的正弦的比相等 2 正弦定理的三种形式 a b c 边到角的转换 sinA sinB sinC 角到边的转换 a b c sinA sinB sinC 2RsinC 2RsinA 2RsinB 3 余弦定理三角形任何一边的平方等于 即a2 b2 c2 其他两边的平方的和 减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 b2 c2 2bccosA c2 a2 2cacosB a2 b2 2abcosC 余弦定理也可以写成如下形式cosA cosB cosC 4 勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中分别令A B C为90 则上述关系式分别可化为 b2 a2 c2c2 a2 b2 a2 b2 c2 基础达标 2 在 ABC中 sinA sinB sinC 3 2 4 则cosC的值为 解析 sinA sinB sinC a b c 3 2 4 不妨设a 3 b 2 c 4 则cosC 3 必修5P10第2题改编 已知 ABC中 acosA bcosB ccosC 则 ABC的形状为 解析 由余弦定理 化简整理可得 a2 b2 2 c4 a2 b2 c2或b2 c2 a2 故 ABC为直角三角形 经典例题 题型一正弦定理和余弦定理的应用 例1 2010 天津 在 ABC中 内角A B C的对边分别是a b c 若a2 b2 bc sinC 2sinB 则A 解 由sinC 2 sinB结合正弦定理得 c 2 所以由余弦定理得 cosA 所以A 30 b 变式1 1 2010 湖北改编 在 ABC中 a 15 b 10 A 60 则cosB 题型二三角形的面积问题 分析 分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a b的方程 然后解方程组得a b 变式2 1 在 ABC中 cosA cosB 1 求角C 2 设AB 求 ABC的面积 题型三判断三角形的形状 例3 2010 辽宁 在 ABC中 a b c分别为内角A B C的对边 且2asinA 2b c sinB 2c b sinC 1 求A的大小 2 若sinB sinC 1 试判断 ABC的形状 分析 运用正弦定理解三角形 关键是巧妙的利用定理如何实行边角的互化 进而达到解题的目的 解 1 由已知 根据正弦定理得2a2 2b c b 2c b c 即a2 b2 c2 bc 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 故cosA 即A 120 2 由 1 得sin2A sin2B sin2C sinBsinC 又sinB sinC 1 得sinB sinC 因为0 B 90 0 C 90 故B C 所以 ABC是等腰的钝角三角形 变式3 1 解析 由根据同角三角函数之间的关系及正弦定理可得 变式3 2 2011湖南雅礼中学月考 在 ABC中 若 试判断 ABC的形状 解析 设 A B C的对边分别为a b c 由题意c a cosB c2 acosB c 由余弦定理 得a c a2 c2 b2 2c2 a2 c2 b2 ABC是直角三角形 题型四正 余弦定理的综合应用 分析 综合应用正弦定理与余弦定理解题 首先要确定一个恰当的三角形 其次要根据题中条件分析选用哪个定理最方便 本题中 由正弦定理得BC AC AB 由S ABC sinC 得BC AC sinC sinC 解 1 由题意及正弦定理 得AB BC AC 1 BC AC AB 两式相减 得AB 1 链接高考 知识准备 1 知道三角形的面积公式 2 会用余弦