正射影与三垂线定理

正射影和三垂线定理 射影的有关概念 1 点的射影 自一点P向平面 垂足P 叫做P在平面 内的正射影 2 图形的射影 若图形F上所有点在一个平面内的射影构成图形F 则F 叫做F在这个平面内的射影 引垂线 斜线的有关概念 1 斜线 若一条直线和一个平面相交但不垂直 则这条直线叫做平面的斜线 2 斜足 斜线和平面的交点 3 斜线段 斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段 由此 斜线段AB在平面内的射影仍为线段 即为线段A0B 引例 正方体ABCD A B C D 1 找平面AC的斜线BD 在平面AC上的射影 2 BD 与AC的位置关系如何 3 BD 与AC所成的角是多少度 A B C D 射影 斜线 平面的垂线 去掉多余线段后的模型 平面内的直线 线段扩展后的模型 O A P 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 平面内 斜线 直线 射影 证明 PO PO a 又 a 平面POA PO OA O AP 若将a OA与a AP交换会怎样 a OA a PA OA PO AP P 这就是三垂线定理的逆定理 O A P 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直 三垂线定理及其逆定理涉及的几何元素 1 一个平面 2 四条直线 平面的垂线 平面的斜线 斜线在平面内的射影 平面内的一条直线 3 三个垂直 直线与平面垂直 平面内的一条直线与斜线垂直 例 在空间四边形ABCD中AB CD AH 平面BCD 垂足为H 求证 BH CD A B BH CD AB CD 证明 AH 平面BCD BH为斜线AB在平面BCD上的射影 D C H 应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤 一垂 找平面及平面的垂线 一垂二射三证明 二射 找斜线在平面上的射影 三证明 用定理证明直线垂直 1 PA 平面ABC AB AC M是BC的中点 求证 BC PM BC PM AB AC M是BC的中点 AM BC 证明 连接AM AP 平面ABC AM为斜线PM在平面ABC上的射影 2 PA 平面ABC PB PC M是BC的中点 求证 AM BC A B C P M AM BC PB PC M是BC的中点 PM BC 证明 连接PM AP 平面ABC AM为斜线PM在平面ABC上的射影 3 正方体ABCD A B C D E F分别是AA AB上的点 EC EF求证 EF EB 证明 ABCD A B C D 是正方体 B E是斜线EC 在平面A B上的射影 EC EF EF EB 4 应用 有一方木料如图 上底有一点E 要经过点E在上底面内画一条直线和C E的连线垂直 应怎样画 解 连接C E 过E点在平面A C 内作MN EC 则MN即为所求 A B C D A B C D E N ABCD A B C D 是长方体 C E是斜线CE在平面A C 上的射影 MN C E MN CE 应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的