广西桂林逸仙中学高二数学《线性规划问题》课件

第三节二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 基础梳理 1 二元一次不等式 组 所表示的平面区域 1 二元一次不等式表示平面区域 一般地 二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0某一侧所有点组成的 我们把直线画成虚线以表示区域边界直线 当我们在坐标系中画不等式Ax By C 0所表示的平面区域时 此区域应包括边界直线 则把边界直线画成 平面区域 不包括 实线 2 判定方法由于对直线Ax By C 0同一侧的所有点 x y 把它的坐标 x y 代入Ax By C 所得到的实数的符号都 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的即可判断Ax By C 0表示直线哪一侧的平面区域 当C 0时 常取作为特殊点 3 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的 因而是各个不等式所表示平面区域的 相同 正负号 原点 交集 公共部分 2 线性规划的有关概念 典例分析 题型一用二元一次不等式 组 表示平面区域 例1 画出下列不等式或不等式组表示的平面区域 1 3x 2y 6 0 2 分析 1 用特殊点 如原点确定不等式表示的平面区域 2 分别画出每个不等式所表示的平面区域 然后取其公共部分 解 1 先画直线3x 2y 6 0 画虚线 取原点 0 0 代入 得3 0 2 0 6 0 0 0 在3x 2y 6 0表示的平面区域内 如图所示 2 不等式x 3表示x 3左侧的点的集合 不等式2y x表示x 2y 0上及左上方点的集合 不等式3x 2y 6表示直线3x 2y 6 0上及右上方点的集合 不等式3y x 9表示直线3y x 9 0右下方点的集合 综上可得 不等式组表示的平面区域如图所示 学后反思 1 画不等式Ax By C 0的平面区域时 其边界直线应为虚线 画不等式Ax By C 0的平面区域时 其边界直线应为实线 2 画二元一次不等式表示的平面区域 常用的方法是 直线定 界 原点定 域 即先画出对应的直线 再将原点坐标代入直线方程中 看其值比0大还是比0小 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集 是它们平面区域的公共部分 举一反三 解析 如图 当直线y a位于直线y 5和y 7之间 不含y 7 时满足条件 答案 5 7 题型二求平面区域的面积 例2 如果由约束条件y 0 y x 所确定的平面区域的面积为S f t y 2 x试求f t 0 t 1 的表达式 t x t 1 分析画出可行域 再求出以t为参数的平面区域的面积 举一反三2 2008 浙江改编 若a 0 b 0 且当x 0 y 0 x y 1时 恒有ax by 1 则以a b为坐标的点P a b 所形成的平面区域的面积是 学后反思平面区域的面积问题是线性规划问题中的一类重要题型 在解题时关键是画准平面区域 特别注意参数t的取值范围 然后结合有关的面积公式求解 解析 满足x 0 y 0 x y 1的点 x y 的可行域如图1 若a 0 b 0 恒有ax by 1 则1 by ax 0 1 b 0 b 1 同理 a 1 P a b 所形成的平面区域如图2 故所形成平面区域的面积为1 图1图2 答案 1 题型三线性规划问题 x y 2 0 例3 已知x y 4 0 2x y 5 0 求 1 z x 2y 4的最大值 2 z x2 y2 10y 25的最小值 3 z 的范围 分析注意观察分析目标函数的结构特征 与解析几何中有关的概念知识进行联系 找出目标函数的几何意义 通过数形结合进行求解 解作出可行域如图 并求出顶点的坐标A 1 3 B 3 1 C 7 9 1 易知可行域内各点均在直线x 2y 4 0的上方 故x 2y 4 0 将C 7 9 代入z得最大值为21 2 z x2 y 5 2表示可行域内任一点 x y 到定点M 0 5 的距离的平方 过M作直线AC的垂线 易知垂足N在线段AC上 故z的最小值是 MN 2 92 3 z 2 表示可行域内任一点 x y 与定点Q 1 连线的斜率的两倍 因为kQA kQB 所以z的取值范围为 学后反思线性规划求最值问题 要充分理解目标函数的几何意义 诸如直线的截距 两点间的距离 或平方 点到直线的距离 过已知直线两点的直线斜率等 举一反三3 如果点P在平面区域2x y 2 0 x y 2 0 2y 1 0上 点Q在曲线上 那么 PQ 的最小值为 答案 解析 如图 当P取点 0 Q取点 0 1 时 PQ 有最小值为 题型四线性规划的实际应用 例4 14分 某工厂生产甲 乙两种产品 计划每天每种产品的生产量不少于15吨 已知生产甲产品1吨 需煤9吨 电力4千瓦时 劳力3个 生产乙产品1吨 需煤4吨 电力5千瓦时 劳力10个 甲产品每吨的利润为7万元 乙产品每吨的利润为12万元 但每天用煤不超过300吨 电力不超过200千瓦时 劳力只有300个 问 每天生产甲 乙两种产品各多少吨 才能使利润总额达到最大 分析设每天生产甲 乙两种产品各x吨 y吨 由题意得到线性约束条件及目标函数 进而画出可行域及求得最优解 解设每天生产甲 乙两种产品分别为x吨 y吨 利润总额为z万元 1 则线性约束条件为9x 4y 300 4x 5y 200 3x 10y 300 x 15 y 15 4 目标函数为z 7x 12y 6 作出可行域如图 10 作出一组平行直线7x 12y t 当直线经过直线4x 5y 200和直线3x 10y 300的交点A 20 24 时 利润最大 12 即生产甲 乙两种产品分别为20吨 24吨时 利润总额最大 7 20 12 24 428 万元 14 答 每天生产甲产品20吨 乙产品24吨 才能使利润总额达到最大 学后反思 1 解线性规划应用问题的步骤是 设出未知数 列出约束条件 作出可行域 作平行线 使直线与可行域有交点 求出最优解 并作答 2 用图解法解答线性规划应用题时应注意 仔细审题 对关键部分进行 精读 准确理解题意 明确有哪些限制条件 探求的目标如何 起关键作用的变量有哪些 由于线性规划应用题中的量较多 为了理顺题目中量与量之间的关系 一般可将数据列成一个表格来帮助分析数量关系 3 要注意结合实际问题 确定未知数x y等是否有限制 如本题中有x 0 y 0 4 能建立线性规划的实际问题的类型 给定一定数量的人力 物力资源 问怎样运用这些资源使完成的任务量最大 收到的效益最大 给定一项任务 问怎样统筹安排 使完成这项任务耗费的人力 物力资源量最小 举一反三4 2009 四川改编 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用A原料3吨 B原料2吨 生产每吨乙产品要用A原料1吨 B原料3吨 销售每吨甲产品可获得利润5万元 每吨乙产品可获得利润3万元 该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨 B原料不超过18吨 那么该企业可获得最大利润是万元 解析 设该企业生产甲产品为x吨 乙产品为y吨 则该企业可获得利润为z 5x 3y 且x 0 y 0 3x y 13 2x 3y 18 由3x y 13 2x 3y 18 得x 3 y 4 答案 27 由图可知 最优解为P 3 4 5 3 3 4 27 万元 易错警示 例 在R上可导的函数 当x 0 1 时取得极大值 当x 1 2 时取得极小值 求点 a b 对应的区域的面积以及的取值范围 正解函数f x 的导数为 当x 0 1 时f x 取得极大值 当x 1 2 时 f x 取得极小值 则方程有两个根 一个根在区间 0 1 内 另一个根在区间 1 2 内 由二次函数的图象与方程根的分布之间的关系可以得到 易错分析本题解答易出现如下误区 1 不能根据条件准确作出可行域或不理解所要解答问题的几何意义 2 易忽视可行域不包括边界而得出 14 1 在aOb平面内作出满足约束条件的点 a b 对应的区域为 ABD 不包括边界 如图阴影部分 其中点A 3 1 B 1 0 D 2 0 ABD的面积为 h为点A到a轴的距离 点C 1 2 与点 a b 连线的斜率为 显然 kCA kCB 即 14 1 考点演练 10 2009 湖南改编 已知D是不等式组x 2y 0 x 3y 0所确定的平面区域 求圆在区域D内的弧长 解析 如图 的斜率分别是 不等式组表示的平面区域为阴影部分 所求弧长为 11 设实数x y满足x y 2 0 x 2y 4 0 2y 3 0 求yx的最大值 解析 作出不等式组表示的平面区域如图 表示可行域内的点 x y 与原点 0 0 连线的斜率 显然在点A 1 处取最大值为 12 某工厂的一个车间生产某种产品 其成本为每公斤27元 售价为每公斤50元 在生产产品的同时 每公斤产品产生0 3立方米的污水 污水有两种排放方式 其一是输送到污水处理厂 经处理 假设污水处理率为85 后排入河流 其二是直接排入河流 若污水处理厂每小时最大处理能力是0 9立方米污水 处理成本是每立方米污水5元 环保部门对排入河流的污水收费标准是每立方米污水17 6元 根据环保要求该车间每小时最多允许排入河流中的污水是0 225立方米 试问 该车间应该选择怎样的生产与排污方案 使其净收益最大 解析设该车间净收入为每小时z元 生产的产品为每小时x公斤 直接排入河流的污水量为每小时y立方米 每小时车间污水产生量为0 3x 污水处理厂污水处理量为0 3x y 经污水处理厂处理后的污水排放量为 1 0 85 0 3x y 车间产品成本为27x 车间生产收入为50 x 车间应交纳排污费用为17 6 1 0 85 0 3x y y 车间交纳的污水处理费为5 0 3x y 这样 车间每小时净收入为 z 50 x 27x 5 0 3x y 17 6 1 0 85 0 3x y y 20 708x 9 96y 由于污水处理厂的最大处理能力为0 3x y 0 9 根据允许排入河流的最大污水量的限制 有y 1 0 85 0 3x y 0 225 9x 170y 45 输送给污水处理厂的污水量应满足0 3x y 0 综上所述 这个环保问题可归结为以下的数学模型