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7 5内容回顾 可降阶微分方程的解法 降阶法 逐次积分 令 令 连续n次不定积分 且不要常数 为n 1次多项式 第六节高阶线性微分方程解的结构 二 线性齐次方程解的结构 三 线性非齐次方程解的结构 四 常数变易法 略 一 高阶线性微分方程的概念 第七章 n阶线性微分方程的一般形式为 称为二阶线性微分方程 时 称为非齐次方程 时 称为齐次方程 一 高阶线性微分方程的概念 复习 一阶线性方程 通解 非齐次方程特解 齐次方程通解Y 证毕 二 线性齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程 的两个解 也是该方程的解 证 代入方程左边 得 叠加原理 定理1 说明 不一定是所给二阶方程的通解 例如 是某二阶齐次方程的解 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念 定义 是定义在区间I上的 n个函数 使得 则称这n个函数在I上线性相关 否则称为线性无关 例如 在 上都有 故它们在任何区间I上都线性相关 又如 若在某区间I上 则根据二次多项式至多只有两个零点 必需全为0 可见 在任何区间I上都线性无关 若存在不全为0的常数 两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件 线性相关 存在不全为0的 使 线性无关 常数 思考 中有一个恒为0 则 必线性 相关 定理2 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解 则 数 是该方程的通解 例如 方程 有特解 且 常数 故方程的通解为 推论 是n阶齐次方程 的n个线性无关解 则方程的通解为 三 线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程 的一个特解 Y x 是相应齐次方程的通解 定理3 则 是非齐次方程的通解 证 将 代入方程 左端 得 是非齐次方程的解 又Y中含有 两个独立任意常数 例如 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 证毕 因而 是通解 定理4 分别是方程 的特解 是方程 的特解 非齐次方程之解的叠加原理 定理3 定理4均可推广到n阶线性非齐次方程 定理5 是对应齐次方程的n个线性 无关特解 给定n阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解 则非齐次方程 的通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 常数 则该方程的通解是 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 的解 是任意 例1 提示 都是对应齐次方程的解 二者线性无关 反证法可证 89考研 例2 已知微分方程 个解 求此方程满足初始条件 的特解 解 是对应齐次方程的解 且 常
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