2020新课标高考艺术生数学复习：利用导数研究函数的单调性含解析.docx

教学资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：利用导数研究函数的单调性含解析编 辑：_时 间：_第11节利用导数研究函数的单调性最新考纲核心素养考情聚焦1.结合实例、借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性3.会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)1.利用导数判断或证明函数的单调性、发展逻辑推理和数学运算素养2.利用导数求函数的单调区间、提升逻辑推理和数学运算素养3.已知函数的单调性求参数的取值范围、提升逻辑推理和数学运算素养利用导数研究函数的单调性是高考考查的热点内容、主要考查利用导数讨论函数的单调性、利用导数确定函数的单调区间、已知函数的单调性求参数的取值范围等、考查转化与化归、分类讨论、数形结合等思想方法题型主要以解答题为主、属于中高档题1函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导：若f(x)0、则f(x)在这个区间内单调递增；若f(x)0(或f(x)0是f(x)为增函数的充要条件( )(2)函数的导数越小、函数的变化越慢、函数的图象就越“平缓”( )(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0、则f(x)在此区间内为常数函数( )(4)f(x)在(a、b)上单调递增与(a、b)是f(x)的单调递增区间意义不一样( ) 答案 (1)(2)(3)(4)小题查验1如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象、则下列判断中正确的是()A函数f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数f(x)在区间(3,2)上是减函数C函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D函数f(x)在区间(3,2)上是单调函数解析：A当x(3,0)时、f(x)0、所以f(x)在(0,2)上单调递增3(20xx区一模)已知f(x)是定义在R上的函数、它的图象上任意一点P(x0、y0)处的切线方程为y(xx02)x(y0xx2x0)、那么函数f(x)的单调递减区间为( )A(2,1) B(1,2)C(、2) D(1、)解析：A由图象上任意一点P(x0、y0)处的切线方程为y(xx02)x(y0xx2x0)、知f(x)的导数为f(x)x2x2、令f(x)0、解得：2x1、故选A.4(人教A版教材习题改编)函数f(x)exx的减区间为_答案：(、0)5已知f(x)x3ax在1、)上是增函数、则a的最大值是_解析：f(x)3x2a0、即a3x2、又x1、)、a3、即a的最大值是3.答案：3考点一利用导数判断或证明函数的单调性(师生共研)分类讨论思想分类与整合思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论、常见有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根、求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个、比较根的大小是常见的分类方法典例(20xx全国卷)设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时、f(x)ax1、求a的取值范围解析(1)f(x)(12xx2)ex、令f(x)0得x1、当x(、1)时、f(x)0；当x(1、1)时、f(x)0；当x(1、)时、f(x)0、所以f(x)在(、1)和(1、)单调递减、在(1、1)单调递增(2)f(x)(1x)(1x)ex、当a1时、设函数h(x)(1x)ex、h(x)xex0(x0)、因此h(x)在0、)单调递减、而h(0)1、故h(x)1、所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0a1时、设函数g(x)exx1、g(x)ex10(x0)、所以g(x)在0、)单调递增、而g(0)0、故exx1.当0x1时、f(x)(1x)(1x)2、(1x)(1x)2ax1x(1axx2)、取x0、则x0(0,1)、(1x0)(1x0)2ax00、故f(x0)ax01.当a0时、取x0、f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.综上、a的取值范围1、)导数法证明函数f(x)在(a、b)内的单调性的步骤(1)求f(x)；(2)确认f(x)在(a、b)内的符号；(3)下结论：f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数易错警示：研究含参数函数的单调性时、需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论跟踪训练已知函数f(x)x22aln x(a2)x、当a0时、讨论函数f(x)的单调性解：函数的定义域为(0、)、f(x)xa2.当a2、即a2时、f(x)0、f(x)在(0、)内递增当0a2、即2a0时、0xa或x2时、f(x)0；ax2时、f(x)0、f(x)在(0、a)、(2、)内递增、在(a,2)内递减当a2、即a2时、0x2或xa时、f(x)0；2xa时、f(x)0、f(x)在(0,2)、(a、)内递增、在(2、a)内递减综上所述、当a2时、f(x)在(0、)内递增；当2a0时、f(x)在(0、a)、(2、)内递增、在(a,2)内递减；当a2时、f(x)在(0,2)、(a、)内递增、在(2、a)内递减考点二利用导数求函数的单调区间(师生共研)典例已知函数f(x)ln x、其中aR、且曲线yf(x)在点(1、f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解析(1)对f(x)求导得f(x)、由f(x)在点(1、f(1)处的切线垂直于直线yx、知f(1)a2、解得a.(2)由(1)知f(x)ln x、则f(x)、令f(x)0、解得x1或x5、因x1不在f(x)的定义域(0、)内、故舍去当x(0,5)时、f(x)0、故f(x)在(5、)内为增函数用导数法求可导函数单调区间的一般步骤 跟踪训练已知函数f(x)ln(ex1)ax(a0)(1)若函数yf(x)的导函数是奇函数、求a的值；(2)求函数yf(x)的单调区间解：(1)函数f(x)的定义域为R.由已知得f(x)a.函数yf(x)的导函数是奇函数、f(x)f(x)、即aa、解得a.(2)由(1)f(x)a1a.当a1时、f(x)0恒成立、a1、)时、函数yf(x)在R上单调递减当0a1时、由f(x)0得(1a)(ex1)1、即ex1、解得xln 、由f(x)0得(1a)(ex1)1、即ex1、解得xln .a(0,1)时、函数yf(x)在上单调递增、在上单调递减考点三已知函数的单调性求参数的取值范围(子母变式)母题已知函数f(x)x3ax1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在R上为增函数、求实数a的取值范围破题关键点(1)讨论f(x)的符号是正的还是负的；(2)转化为f(x)0在(、)上恒成立解析(1)f(x)3x2a.当a0时、f(x)0、所以f(x)在(、)上为增函数当a0时、令3x2a0得x；当x或x时、f(x)0；当x时、f(x)0.因此f(x)在、上为增函数、在上为减函数综上可知、当a0时、f(x)在R上为增函数；当a0时、f(x)在、上为增函数、在上为减函数(2)因为f(x)在(、)上是增函数、所以f(x)3x2a0在(、)上恒成立、即a3x2对xR恒成立因为3x20、所以只需a0.又因为a0时、f(x)3x20、f(x)x31在R上是增函数、所以a0、即a的取值范围为(、0子题1函数f(x)不变、若f(x)在区间(1、)上为增函数、求a的取值范围解：因为f(x)3x3a、且f(x)在区间(1、)上为增函数、所以f(x)0在(1、)上恒成立、即3x2a0在(1、)上恒成立、所以a3x2在(1、)上恒成立、所以a3、即a的取值范围为(、3子题2函数f(x)不变、若f(x)在区间(1,1)上为减函数、试求a的取值范围解：由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立、得a3x2在(1,1)上恒成立因为1x1、所以3x23、所以a3.即当a的取值范围为3、)时、f(x)在(1,1)上为减函数子题3函数f(x)不变、若f(x)的单调递减区间为(1,1)、求a的值解：由母题可知、f(x)的单调递减区间为、1、即a3.子题4函数f(x)不变、若f(x)在区间(1,1)上不单调、求a的取值范围解：f(x)x3ax1、f(x)3x2a.由f(x)0、得x(a0)f(x)在区间(1,1)上不单调、01、得0a3、即a的取值范围为(0,3)已知函数单调性、求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a、b)上单调、则区间(a、b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增、则f(x)0；若函数单调递减、则f(x)0”来求解易错警示：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a、b)都有f(x)0且在(a、b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略、否则漏解.1函数y(3x2)ex的单调递增区间是()A(、0)B(0、)C(、3)和(1、) D(3,1)解析：Dy2xex(3x2)exex(x22x3)、由y0x22x303xf(c)f(d) Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(e)f(d)解析：C依题意得、当x(、c)时、f(x)0；当x(c、e)时、f(x)0.因此、函数f(x)在(、c)上是增函数、在(c、e)上是减函数、在(e、)上是增函数、又abf(b)f(a)4(20xx市一模)若函数f(x)x32ax2(a2)x5恰好有三个单调区间、则实数a的取值范围为( )A1a2 B2a1Ca2或a1 Da1或a2解析：D若函数f(x)有3个单调区间、则f(x)4x24ax(a2)有2个零点、故16a216(a2)0、解得a1或a2、故选D.5(20xx市一模)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)、对任意xR满足f(x)f(x)0、则下列结论正确的是( )Ae2f(2)e3f(3) Be2f(2)e3f(3)Ce2f(2)e3f(3) De2f(2)e3f(3)解析：A令g(x)exf(x)、则g(x)ex(f(x)f(x)0、g(x)单调递减、g(2)g(3)、e2f(2)e3f(3)、故选A.6(20xx市一模)若函数f(x)ln xax22x在区间(1,2)内存在单调递增区间、则实数a的取值范围是_解析：f(x)2ax2、若f(x)在区间(1,2)内存在单调递增区间、则f(x)0在x(1,2)有解、故a、令g(x)、g(x)在(1,2)为减函数、g(x)g(2)、故a.答案：7函数f(x)的单调递增区间是_解析：由导函数f(x)0、得cos x、所以2kx2k(kZ)、即函数f(x)的单调递增区间是(kZ)答案：(kZ)8已知函数f(x)x24x3ln x在t、t1上不单调、则t的取值范围是_解析：由题意知f(x)x4、由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3、则只要这两个极值点有一个在区间(t、t1)内、函数f(x)在区间t、t1上就不单调、由t1t1或t3t1、得0t1或2t3.答案：(0,1)(2,3)9已知函数f(x)(k为常数、e是自然对数的底数)、曲线yf(x)在点(1、f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解：(1)由题意得f(x)、又f(1)0、故k1.(2)由(1)知、f(x).设h(x)ln x1(x0)、则h(x)0、即h(x)在(0、)上是减函数由h(1)0知、当0x1时、h(x)0、从而f(x)0；当x1时、h(x)0、从而f(x)0.综上可知、f(x)的单调递增区间是(0,1)、单调递减区间是(1、)10(20xx市一模)已知函数f(x)kln x1、且曲线yf(x)在点(1、f(1)处的切线与y轴垂直(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)ax 对0x1恒成立、求实数a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0、)、f(x)