3.3二元一次不等式组与平面区域

1 课题引入 案例问题 设用于企业贷款的资金为x元 用于个人贷款的资金为y元 根据题意 有 二元一次不等式 组 与平面区域 1 2 二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 1 二元一次不等式 含有两个未知数 并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式 2 二元一次不等式组 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组 3 二元一次不等式 组 的解集 满足二元一次不等式 组 的x和y的取值构成有序实数对 x y 所有这样的有序实数 x y 构成的集合称为二元一次不等式 组 的解集 3 4 二元一次不等式 组 的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系 二元一次不等式 组 的解集是有序实数对 而点的坐标也是有序实数对 因此 有序实数对就可以看成是平面内点的坐标 进而 二元一次不等式 组 的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合 3 探究二元一次不等式 组 的解集表示的图形 1 回忆 思考 回忆 初中一元一次不等式 组 的解集所表示的图形 4 2 探究 从特殊到一般 先研究具体的二元一次不等式x y 6的解集所表示的图形 思考 在直角坐标系内 二元一次不等式 组 的解集表示什么图形 完成课本第83页的表格 并思考 当点A与点P有相同的横坐标时 它们的纵坐标有什么关系 根据此说说 直线x y 6左上方的坐标与不等式x y 6有什么关系 直线x y 6右下方点的坐标呢 5 因此 在平面直角坐标系中 不等式x y6表示直线x y 6右下方的区域 如图 直线叫做这两个区域的边界 虚线表示区域不包括边界直线 6 由特殊例子推广到一般情况 3 结论 二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0某一侧所有点组成的平面区域 虚线表示区域不包括边界直线 4 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对直线同一侧的所有点 x y 把它代入Ax By C 所得实数的符号都相同 同侧同号 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的正负可以判断出Ax By C 0表示直线Ax By C 0哪一侧的区域 一般在C 0时 取原点作为特殊点 C 0时 可取其他特殊点 7 应该注意的几个问题 1 若不等式中不含0 则边界应画成虚线 否则应画成实线 2 画图时应非常准确 否则将得不到正确结果 C 0时选用其他点 4 归纳 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集 因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 8 新课讲解 GSP 问题1 在平面直角坐标系中 点的集合 x y x y 1 0 表示什么图形 问题2 在平面直角坐标系中 直线x y 1 0右上方的平面区域怎么表示 9 思路一 在直线右上方任取一点 x y 过此点作一平行x轴的直线 思路二 在直线右上方任取一点 x y 过此点作一平行y轴的直线 x x0 y y0 x y x0 y0 x y 1 x0 y0 1 0 x x0 y y0 x y x0 y0 x y 1 x0 y0 1 0 10 直线x y 1 0右上方的平面区域可以用点集 x y x y 1 0 表示 同理可知 直线x y 1 0左下方的平面区域可以用点集 x y x y 1 0 表示 11 例1 画出不等式2x y 6 0表示的平面区域 x y o 3 6 2x y 6 0 解 先画直线2x y 6 0 画成虚线 取原点 0 0 代入2x y 6 因为2 0 0 6 6 0 原点在2x y 6 0表示的平面区域内 不等式2x y 6 0表示的区域如右图所示的红色阴影部分不含边界 12 变式一 画出不等式2x 3y 6所表示的平面区域 解 2x 3y 6即2x 3y 6 先画直线2x 3y 6 画成实线 取原点 0 0 代入2x 3y 6 因为2 0 3 0 6 6 所以 原点在2x 3y 6 表示的平面区域内 变式二 画出不等式x 2所表示的平面区域 13 画出不等式组表示的平面区域 解 不等式表示的区域是直线左下半平面区域并且包括直线 不等式表示的区域是直线右下半平面区域并且包括直线 所以黄色阴影部分即为所求 例2 14 例3 画出不等式 x 2y 1 2x y 2 0表示的平面区域 x 2y 1 0 2x y 2 0 15 分析 不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集 因而的各个不等式所表示的平面区域的公共部分 解 不等式 表示直线 上及右下方的点的集合 表示直线 上及右上方的点的集合 表示直线 上及左方的点的集合 x y 0 x y 5 0 x 3 所以 不等式组 表示的区域如上图所示的红色阴影三角形部分并包括边界 16 小结 1 二元一次方程Ax By C 0表示直线 2 二元一次不等式Ax By C 0表示直线Ax