高中数学第二章数Ⅰ2.1指数函数互动课堂学案.docx

2.1 指数函数互动课堂疏导引导2.1.1指数与指数幂的运算1.根式一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n1,nN *.当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号-表示,方根可以合并成 (a0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n0=0.式子叫做根式,n叫根指数,a叫做被开方数.结论:当n是奇数时, =a;当n是偶数时, =|a|=疑难疏引在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x 3=a,那么x就叫a的立方根.如此类推,我们便得出了n次实数方根的定义:如果x n=a(nN且n1),那么x就叫a的n次方根.2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义:规定:a=(a0,m、nN *,n1);a-= = (a0,m、nN *,n1).0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义;指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.疑难疏引(1)当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.(2)指数幂与根式运算的统一性.指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数,根式化为分数指数幂,结果要化为最简形式.在最简结果中,不能既有根式又有分数指数幂的形式,同时,也不能出现既有指数幂又有根式的形式.(3)有理指数幂的运算性质的记忆口诀.a ra s=a r+ s同底两数作乘法,底数不变指数加.(a r) s=a r s幂的乘方要记明,底数不变指数乘.(ab) r=a r b r积的乘方大不同,变为幂后再相乘.3.有理指数幂的运算性质(1)a ra s=a r+ s(a0,r、sQ);(2)(a r) s=a rs(a0,r、sQ);(3)(ab) r=a r b r(a0,b0,rQ).4.无理指数幂一般地,无理数指数幂a(a0,是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.案例1化简:(1);(2)-(|x|y|)【探究】 对题(1),要化简的式子中有根式及幂式,可将根式化成幂式后进行幂的运算;对题(2),要化简的式子中全是指数式的运算,注意运用乘法公式使其分子分母能够产生公因式,从而可通过约分化简.(1)=xy 2(xy) 3=xy 2xy=(xy)=xy=y.(2) -=-.|x|y|,原式=(x-)2-x-y-+(y-)2-(x-+x-y-+y-)=-2x-y-=-.【溯源】 对多个根式组成的式子进行化简.我们解题的一般原则是先算根号内的,后进行根式运算.进行根式、分数指数幂的乘、除、乘方、开方等混合运算时,一般是先将根式化成分数指数幂,按指数运算法则计算比较简洁;对根式、分数指数幂的混合运算,最后结果一般用最简根式表示;在指数式的运算中,要注意乘法公式的相应形式,注意灵活运用乘法公式进行化简.案例2已知a=-,b=,求的值.【探究】 由于此题式子结构复杂,先根据公式化简然后代入求值.a0,原式=.又a-27b0,原式=【溯源】 化简、求值一类问题,往往是先将被求代数式化简,然后再代入已知字母的值,求得代数式的值.首先应化简被求式,遇到小数应化成分数;遇到指数是负数,可以对调底数的分子和分母,将负指数化为正指数.2.1.2指数函数及其性质1.定义一般地,函数y=a x(a0且a1)叫做指数函数.它的定义域为R.疑难疏引(1)指数函数的解析式y=ax中,ax的系数是1.有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y=ax+ k(a0且a1,kZ);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如y=a -x(a0,且a1),因为它可以化为y=,其中0,且1.(2)在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a0且a1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.若a=0,当x0时,a x=0,当x0时,a x没有意义;若a0,如y=(-2) x对于x=、等都是没有意义的;若a=1,则函数为y=1 x=1是一个常数函数,它的性质没有研究的必要,且不具有单调性.2.性质y=a x图象0a1时的图象性质(1)定义域为R,值域为(0,+)(2)a 0=1,即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点(3)ax=a,即x=1时,y等于底数a,图象都经过(1,a)点(4)在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数(5)x1;x0时,0a x1x0时,0a x0时,a x1(6)既不是奇函数,也不是偶函数3.单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x轴是函数图象的渐近线.当0a1时,x-,y0;当a1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快;当0a1时,a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快.记忆口诀:指数增减要看清,抓住底数不放松,反正底数大于0,不等于1已表明;底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减.无论函数增和减,图象都过(0,1)点.案例1如何判断三个数1.5 -0.2,1.3 0.7,()的大小关系？【探究】 先比较1.5 -0.2即()0.2和()的大小,考察指数函数y=() x,由于底数在区间(0,1)内,所以指数函数y=() x在(-,+)上是减函数.故由0.2= ()0.2().另一方面,由于1.31,y=1.3 x在(-,+)上是增函数,由0.70,得1.3 0.71.所以()1.5 -0.21.3 0.7.于是()1.5 -0.20且y1.(2)因为y=() |x|中的|x|0,所以xR,0y1.所以所求函数的定义域为R,值域为y|01.(4)已知函数可化为y=2,由0,得x1;又由0,得y=21.所以定义域为x| x1,值域为y| y1.【溯源】 求自然定义域的问题,即要求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合);求值域的问题均为复合函数的值域问题,而求复合函数值域的一般步骤是先求出定义域,然后求出内层函数的值域,由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域,即是复合函数的值域.案例3某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字).【探究】 通过恰当假设,将剩留量y表示成经过年数x的函数,并列表、描点、作图,进而求得所求.设这种物质最初的质量是1,经过x年,剩留量是y.经过1年,剩留量y=184%=0.84;经过2年,剩留量y=184%84%=0.71;一般地,经过x年,剩留量y=0.84x.根据这个函数关系式可以列表如下:x0123456y10.840.710.590.500.420.35用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x4.答:约经过4年,剩留量是原来的一半.【溯源】 在解决实际应用问题时,首先判断函数模型,再根据函数性质和图象解决问题,此题就是指数函数图象的应用,也是数形结合思想的体现.案例4讨论函数y=() x-() x+1(x-3,2)的单调区间,并求出它的值域.【探究】 通过代换u=() x,则y就成了关于u的二次函数.令u=() x,则y=u 2-u+1=(u-) 2+.x-3,2,u=() x8.y57.值域为,57.再求单调区间.(1) u,即()x,故x1,2时,u=() x是单调减函数,y=(u-) 2+是单调减函数,y=()x-2+是单调增函数.(2) u8,即()x8,故x-3,1时,u=() x是单调减函数,y=(u-) 2+是单调增函数,y=()x-2+是单调减函数.函数的单调增区间是1,2,单调减区间是-3,1.【溯源】 在解决指数和其他函数相复合构成的新函数的性质问题时,一般采取换元的做法,无论是求值域还是单调性,都要注意内层函数的取值范围和对指数底的讨论,在解决单调性问题时,要记清复合函数单调性的规律,即“内外层单调性相同,则函数在此区间上递增,如果内外层单调性相反,则此函数在此区间上递减”.活学巧用1. 计算下列各式.(1);(2)(2) 0+2 -2(2)-(0.01) 0.5.【思路解析】 第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数.(1)【解法一】 = = = =(9) =9 =3.【解法二】=3(2)【解】 (2) 0+2 -2(2)- -(0.01) 0.5=1+()-()=1+-=.2. 计算:(1)();(2)0.008;(3)();(4)(2a+1) 0;(5)-() -1-1.【思路解析】 在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时如(1)(2)(3),就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较简便.在幂的运算中,对于形如m 0的式子,要注意对底数m是否为零进行讨论,因为只有在m0时,m 0才有意义;而对于形如()-n的式子,我们一般是先变形为()n,然后再进行运算.【答案】(1)()-=()= = =.(2)0.008=(0.2 3) =0.2 -2=() -2=5 2=25.(3)()=()-=.(4)(2a+1) 0=1, a-,无意义,a=-.(5)-() -1-1=(-) -1=(-) -1=-.3. 把根式-25(a-b) -2改写成分数指数幂的形式为 ()A.-2(a-b)-B.-2(a-b)-C.-2(a- -b-)D.-2(a-b-)【思路解析】 考查根式与分数指数幂的转化.原式可化为-2(a-b) -=-2(a-b) -.故选A.【答案】 A4. 化简下列各式:(1)(x -1+x+ x 0)(x-x);(2);(3).【思路解析】 注意题中各式的结构特点,善于识别平方差、立方差等公式.【答案】 (1)原式=(x) 3-(x) 3=x-x.(2)原式=-=(x-)2-x-y-+(y-)2-(x-)2-x-y-+(y-)2)=2(xy)-=-2.(3)原式=.5. 下列各等式中,正确的是()A. =aB. =C.a0=1D. =(-1)【思路解析】 要想判断等式是否正确,首先要使等式两边都有意义,然后计算两边的值,如果相等则正确,如果不等,则不正确,在计算时要充分应用幂的运算法则.【解】=|a|,由于不知道a的符号,因此A不正确;,1,=(-1)=(-1).D正确.因此,选D.【答案】 D6. 已知a +a- =2,求下列各式的值.(1) a2 +a -2;(2) a3 +a -3;(3) a4 +a -4.【思路解析】 本题主要考查的是已知条件与所求式子之间的联系.由(a+a-)2=a+ a -1+2=4可知a+ a -1=2.同理可知(a+ a -1)2=a2+a -2+2,(a2+a -2)2=a4+a -4+2.【答案】(1)2;(2)2;(3)2.7. 已知x+x =3,求x+ x -1与的值.【思路解析】 由(x+x)2=9,可得x+ x -1=7.(x+x)3=27,x+3xx +3xx -1+x-=27.x+ x-=18.故原式=2.8. 关于函数(1)y=x2和(2)y=2x的下列说法正确的是()A. (1)和(2)都是指数函数B. (1)和(2)都不是指数函数C. (1)是指数函数,(2)不是D. (2)是指数函数,(1)不是【思路解析】 由指数函数特征知(1)不是,(2)是.【答案】 D9. 已知对不同的a值,函数f(x)=2+a x-1(a0,且a1)的图象恒过定点P,则P点的坐标是()A. (0, 3)B. (0, 2)C. (1, 3)D. (1, 2)【思路解析】 函数图象过定点,则函数解析式中含有待定系数(也叫参数)的“项”或“部分表达式”一定为常数,本题要想使a x-1为常数,又a取不同的值,因此x-1=0.从而得解.为使y为定值,应使x-1=0,则此时y=2+a0=3,故P点坐标为(1,3).因此,选C.【答案】 C10. 设y 1=4 0.9,y 2=8 0.44,y 3=() -1.5,则()A. y 3y 1y 2B. y 2y 1y 3C. y 1y 2y 3D. y 1y 3y 2【思路解析】 把给出的三个函数化为同底的指数式,y 1=2 1.8,y 2=2 1.32,y 3=2 1.5,再根据指数函数y=2 x是增函数即可判断y 1y 3y 2.【答案】 D11. 当x0时,函数f(x)=(a 2-1) x的值总大于1,则实数a的取值范围是()A. 1|a|2B. |a|1D. |a|2【思路解析】 由指数函数的性质可知f(x)在(0,+)上是递增函数,所以a 2-11,a 22,|a|2.【答案】 D12. 函数y=3 (x2+1)的值域为.【思路解析】 考查指数函数的性质、函数值域的求法.由于x 2+11,而y=3 x在(-,+)上是增函数,所以y=3 x2+13,即y=3 x2+1的值域为3,+).【答案】 3,+)13. 求函数y=f(x)=() x-() x+1,x-3,2的值域.【思路解析】 将()x看作一个未知量t,把原函数转化为关于t的二次函数求解.【答案】 f(x)=()x2-() x+1,x-3,2,()2()x()-3,即()x8.设t=() x,则t8.将函数化为f(t)=t 2-t+1,t,8.f(t)=(t-) 2+,f()f(t)f(8).f(t)57.函数的值域为,57.14. 曲线C 1、C 2、C 3、C 4分别是指数函数y=a x、y=b x、y=c x和y=d x的图象,则a, b, c, d与1的大小关系是()A. ab1cdB. ab1dcC. ba1cdD. ba1d1,d1,0a1,0b1,在y轴右侧令x=1,对应的函数值由小到大依次为b、a、d、c.故应选D.【答案】 D15. 函数f(x)=(a 2-1) x是减函数,则a的取值范围是_.【思路解析】 如果此函数是减函数则0a2-10,a2-10,且a1)的单调区间和值域.【思路解析】 本题是一个复合函数,而且还有未知参数,因此首先要分类讨论,但是在分类讨论之前还要对指数部分的二次函数进行分析判断,在