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.设X为一n维赋范空间，其范数定义为|x|p=i=1n|xi|p1p, 1p，证明以下命题：1. |x|2|x|1n|x|2;2. |x|p|x|1；3. |x|q|x|pn1p-1q|x|q，pq证：1. 先证|x|2|x|1|x1|2+|x2|2(|x1|+| x2|)2 (|x1|2+|x2|2)1/2|x1|+| x2|利用归纳法可证明：|x1|2+|x2|2+|xn|2(|x1|+| x2|+|xn|)2假设|x1|2+|x2|2+|xn-1|2(|x1|+| x2|+|xn-1|)2|x1|2+|x2|2+|xn-1|2+|xn|2(|x1|+| x2|+|xn-1|)2+|xn|2=|Yn-1|2+|xn|2(|Yn-1|+|xn|)2即，|x1|2+|x2|2+|xn-1|2+|xn|2(|x1|+| x2|+|xn-1|+|xn|)2 |x|2|x|1成立；再证|x|1n|x|2有两种方法可选（柯西-施瓦兹不等式，Jensen不等式），这里使用柯西-施瓦兹不等式证明。|x|2|y|2，令x=( |x1|, |x2|, |xn|)，y=(1,1,1)可得(|x1|+|x2|+|xn|)(|x1|+| x2|+|xn|)1/2n1/2|x|1n|x|2成立。根据Jensen不等式|xi|n1|xi|n1()，令=2，=1可以证明。2. 令f(x)=(1+x)p1+xp,p1p=1,f(x)=1，所以只考虑p1的情况fx=p(1+x)p-1(1-xp-1)(1+xp)20, 0x1=0,x=10, x1从上图可以看出f(x)在x=0时为1，先上升，在x=1达到最大值2p-1，然后下降，但始终1。所以有(1+x)p1+xp1，即1+xp(1+x)p，令x=b/a，有ap+bp(a+b)p，同理，使用归纳法可证明：|x1|p+|x2|p+|xn|p(|x1|+|x2|+|xn|)p (|x1|p+|x2|p+|xn|p)1/p|x1|+|x2|+|xn|也即|x|p|x|1成立。3. 先证|x|q|x|p (p)，令=q，=p (qp)可以证明。据说可以根据赫尔德不等式证明，但实在想不到方法证。如果你能想到，不妨发封邮件给我：参考文献1. 邢家省, 郭秀兰, 崔玉英. 几个幂次不等式的应用J. 河南科学, 2008, 26(11):1306-1309.2. 柯西施瓦茨不等式. /view/979424.htm.
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