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数学选修4-4 坐标系和参数方程第一讲 直角坐标系和极坐标系【基础知识】1平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。2空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。3.平面直角坐标系中的伸缩变换4极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）设M是平面上的任一点，表示OM的长度，表示以射线OX为始边，射线OM为终边所成的角。那么有序数对称为点M的极坐标。其中称为极径，称为极角。 约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。5.负极径的规定：在极坐标系中，极径r允许取负值，极角q也可以去任意的正角或负角，当r0时，点M （r，q）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。M （r，q）也可以表示为 6直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和，则【典型例题】例1 求下列点经过伸缩变换后的点的坐标： （1） （1，2）； （2） （-2，-1）.【分析】利用伸缩公式实行坐标之间的转化.【解】（1）（2，6）；（2）（-4，-3）.【点拨】利用伸缩公式是解决坐标与坐标之间、曲线与曲线之间变换的重要手段例2 在伸缩变换与伸缩变换的作用下，单位圆分别变成什么图形？解：在的作用下，单位圆变成椭圆；在的作用下，单位圆变成圆。例3 在极坐标系中，画出点A（1，），B（2，），C（3，），D（4，）.【分析】利用极坐标系的概念建立极坐标系求解.【解】在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即线，线，线，线，线和线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点.【点拨】我们也可以允许，此时极坐标（，）对应的点M的位置按下面规则确定：点M在与极轴成角的射线的反向延长线上，它到极为O的距离|，即规定当时，点M（，）就是点M（）.例4 解答下列各题（1）把点A的直角坐标（1，）化为极坐标；（2）化点B的极坐标为直角坐标.【分析】利用直角坐标与极坐标的互化公式求解.【解】（1），又，是第四象限角，。点A的极坐标为.（2），点B的直角坐标为（，1）。例5 化极坐标方程为直角坐标方程为 。【分析】这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.【解】.【点拨】若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.例6 在极坐标系中,已知三点.判断三点是否在一条直线上.【分析】把三点坐标化为直角坐标后利用斜率研究三点共线问题.【解】由直角坐标与极坐标的互化公式得三点的直角坐标分别为，又，由于，所以三点共线.【点拨】熟练掌握直角坐标与极坐标的互化公式是把极坐标问题转化为直角坐标问题的关键.例7 在极坐标系中，已知两点，求A，B两点间的距离.答案：4 利用余弦定理解决。例8 已知的三个顶点的极坐标分别为,判断三角形ABC的三角形的形状，并计算其面积.【分析】判断ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.【解】如图，对于，又，由余弦定理得：，所以AB边上的高, .【点拨】合理选择三角形的面积公式是解决本题的关键.【课下练习】1.点经过伸缩变换后的点的坐标是（ A ）A. B. C. D. 2. 将曲线变成曲线的伸缩变换是( D )A. B. C. D. 3. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（ A ） A. B. C. D. 4. 在极坐标系中，点关于直线的对称点的一个极坐标是 . 5. 在极坐标系中，已知，则线段AB中点的极坐标是 . 6. 已知Q（r，q），分别按下列条件求出点P 的极坐标。（1）P是点Q关于极点O的对称点；（2）P是点Q关于直线的对称点；（3）P是点Q关于极轴的对称点。答案：（1）（-r，+q）；（2）（r，+-q）；（3）（r ，+2-q）。7. 在极坐标系中，求与两点间的距离.解：由极坐标的定义知.8. 在极坐标系中，已知ABC三个顶点的极坐标为A(2，10)，B(4，220)，C(3，100)，（1）求ABC的面积;（2）求ABC的AB边上的高.解：ABC的AB边上的高h=SABC=SOABSOBCSOAC=233=31, (2)|AB|=2.9. 已知点B和点C的直角坐标为求它们的极坐标.0,02)。解析：，又，是第四象限角，。点B的极坐标为.由于点C的特殊性，由极坐标系和直角坐标系的转化可得点C的极坐标为.10. 化直角坐