利用勾股定理解决平面几何问题

复习巩固 如果直角三角形的两直角边长分别a b 斜边长为c 那么 直角三角形的平方和等于的平方 1 勾股定理的内容是什么 勾股定理表达式的常见变形有 注意 只有在三角形里才可以用勾股定理 运用时要分清边和边 直角 直角 斜 两直角边 斜边 2 勾股定理的逆定理的内容是什么 如果三角形的三边长a b c满足 那么这个三角形是直角三角形 注意 运用勾股定理的逆定理时 要防止出现一开始就写出a2 b2 c2之类的错误 复习巩固 3 勾股定理的应用应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题 1 已知直角三角形的任意两边 求第三边长或图形周长 面积的问题 2 说明线段的平方关系问题 3 解决实际问题 一些实际问题 如解决折叠问题 距离最值问题 航海问题 梯子下滑问题等 常直接或间接运用勾股定理及其逆定理 复习巩固 类型一 折叠三角形 类型二 折叠四边形 勾股定理复习 折叠问题探究 例1 如图 有一块直角三角形纸片 两直角边AB 6 BC 8 将 ABC折叠 使AB落在斜边AC上得到线段AB 折痕为AD 求BD的长为 类型一 折叠三角形 思考1 在Rt ABC中 由AB 6 BC 8 你可以求出哪条线段的长吗 请在图中标出来 6 8 10 例1 如图 有一块直角三角形纸片 两直角边AB 6 BC 8 将 ABC折叠 使AB落在斜边AC上得到线段AB 折痕为AD 求BD的长为 类型一 折叠三角形 6 8 10 思考2 由折叠 你可以得到什么结论 例1 如图 有一块直角三角形纸片 两直角边AB 6 BC 8 将 ABC折叠 使AB落在斜边AC上得到线段AB 折痕为AD 求BD的长为 类型一 折叠三角形 10 思考3 两三角形全等 你又可以得到什么结论 6 4 例1 如图 有一块直角三角形纸片 两直角边AB 6 BC 8 将 ABC折叠 使AB落在斜边AC上得到线段AB 折痕为AD 求BD的长为 类型一 折叠三角形 10 6 4 思考4 设BD x 你可以用含有x的式子表示出哪些线段长 请在图中标出来 x 例1 如图 有一块直角三角形纸片 两直角边AB 6 BC 8 将 ABC折叠 使AB落在斜边AC上得到线段AB 折痕为AD 求BD的长为 类型一 折叠三角形 10 6 4 x x 8 x 思考5 你在哪个直角三角形中 应用勾股定理建立方程 你建立的方程是 例1 如图 有一块直角三角形纸片 两直角边AB 6 BC 8 将 ABC折叠 使AB落在斜边AC上得到线段AB 折痕为AD 求BD的长为 类型一 折叠三角形 10 6 4 x x 8 x 思考6 图中共有几个直角三角形 每一个直角三角形的作用是什么 折叠的作用是什么 答案 四个 两个用来折叠 将线段和角等量转化 一个用来知二求一 最后一个建立方程 例1 如图 有一块直角三角形纸片 两直角边AB 6 BC 8 将 ABC折叠 使AB落在斜边AC上得到线段AB 折痕为AD 求BD的长为 类型一 折叠三角形 10 6 4 x x 8 x 思考7 解答步骤大概是 勾股定理求出AC 由折叠得出全等 由全等得对应边 角相等 设未知数并表示出 B DC各边的长 由勾股定理列出方程 变式训练 如图所示 在 ABC中 AB 20 AC 12 BC 16 把 ABC折叠 使AB落在直线AC上 求重叠部分 阴影部分 的面积 类型一 折叠三角形 20 16 12 20 12 x 16 x 16 x 变式训练 如图所示 在 ABC中 AB 20 AC 12 BC 16 把 ABC折叠 使AB落在直线AC上 求重叠部分 阴影部分 的面积 类型一 折叠三角形 20 16 12 20 12 x 16 x 16 x 步骤小结 1 标已知 标结论 2 利用折叠找全等 3 将已知边和未知边转化到同一直角三角形中表示出来 4 利用勾股定理列出方程 解方程 得解 折叠的规律 1 折叠前后的两个图形全等 则对应边相等 对应角相等 这是在折叠问题中寻找等量关系的重要依据 2 折叠意味着对称 对称意味着对应边相等 对应角相等 这是寻找相等量的关键 勾股定理中的折叠问题探究 小结 类型二 折叠四边形 例2 如图 折叠长方形的一边AD 点D落在BC边的点F处 已知AB 8cm BC 10cm 求EC的长 8cm BC 10cm 8cm 10cm 类型二 折叠四边形 例2 如图 折叠长方形的一边AD 点D落在BC边的点F处 已知AB 8cm BC 10cm 求EC的长 10cm 10cm xcm 8 x cm 8 x cm 变式训练 如图 折叠长方形 在矩形ABCD中 AB 6 BC 8 将矩形ABCD沿CE折叠后 使点D恰好落在对角线AC上的点F处 1 求EF的长 2 求梯形ABCE的面积 类型二 折叠四边形 6 8 6 8 10 变式训练 如图 折叠长方形 在矩形ABCD中 AB 6 BC 8 将矩形ABCD沿CE折叠后 使点D恰好落在对角线AC上的点F处 1 求EF的长 2 求梯形ABCE的面积 类型二 折叠四边形 6 8 6 8 6 10 4 x x 8 x 勾股定理中的折叠问题探究 课堂小结 解题步骤1 标已知 标问题 明确目标在哪个直角三角形中 设适当的未知数x 2 利用折叠找全等 3 将已知边和未知边 用含x的代数式表示 转化到同一直角三角形中表示出来 4 利用勾股定理列出方程 解方程 得解 勾股定理中的折叠问题探究 课堂小结 解题步骤1 标已知 标问题 明确目标在哪个直角三角形中 设适当的未知数x 2 利用折叠找全等 3 将已知边和未知边 用含x的代数式表示 转化到同一直角三角形中表示出来 4 利用勾股定理列出方程