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文档简介

4最大公因式 5因式分解 6重因式 10多元多项式 11对称多项式 3整除的概念 2一元多项式 1数域 7多项式函数 9有理系数多项式 8复 实系数多项式的因式分解 第一章多项式 1 一 公因式最大公式 二 最大公因式的存在性与求法 1 4最大公因式 三 互素 四 多个多项式的最大公因式 2 i 1 公因式 若 满足 且 2 最大公因式 若 满足 ii 若 且 则 则称为的最大公因式 则称为的公因式 一 公因式最大公因式 3 的首项系数为1的最大公因式记作 注 是与零多项式0的最 大公因式 两个零多项式的最大公因式为0 最大公因式不是唯一的 但首项系数为1的最大 公因式是唯一的 若为 的最大公因式 则 c为非零常数 若不全为零 则 4 二 最大公因式的存在性与求法 5 定理2对 在中存在一个最大公因式 且可表成的一个组合 即 使 6 若有一为0 如 则 就是一个最大公因式 且 考虑一般情形 用除得 其中或 若 用除 得 证 7 若 用除 得 如此辗转下去 显然 所得余式的次数不断降低 因此 有限次后 必然有余式为0 设 其中或 即 于是我们有一串等式 8 9 从而有 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代 逐个消去 再并项就得到 10 说明 定理 中用来求最大公因式的方法 通常称为 辗转相除法 定理 中最大公因式 中的不唯一 对于 使 但是未必是的最大公因式 11 如 则 取 有 取 也有 取 也有 成立 事实上 若则对 12 若 且 则为的最公因式 设为的任一公因式 则 证 从而 即 为的最大公因式 13 例1 求 并求使 14 解 且由 得 15 例2 设 求 并求使 16 因式 即 就可以 这是因为和具有完全相同的 若仅求 为了避免辗转相除时出现 注 分数运算 可用一个数乘以除式或被除式 从一开始 为非零常数 17 则称为互素的 或互质的 1 定义 三 互素 若 互素 除去零次多项式外无 说明 由定义 其它公因式 18 定理3互素 使 2 互素的判定与性质 证 显然 设为的任一公因式 则 从而 又 故 19 定理4若 且 则 证 使 于是有 又 20 推论若 且 又 则 证 使 于是 使 而 由定理4有 从而 21 若满足 定义 i 则称为的最大公因式 ii 若 则 四 多个多项式的最大公因式 22 注 表示首1最大公因式 使 的最大公因式一定存在 互素使 23 附 最小公倍
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