2017高考数学专题数列

专题二数列的通项与求和 主干知识 1 必记公式 1 基本数列 的通项公式 数列 1 1 1 1 的通项公式是an n N 数列1 2 3 4 的通项公式是an n N 数列3 5 7 9 的通项公式是an n N 数列2 4 6 8 的通项公式是an n N 1 n n 2n 1 2n 数列1 2 4 8 的通项公式是an n N 数列1 4 9 16 的通项公式是an n N 数列1 3 6 10 的通项公式是an n N 数列 的通项公式是an n N 2n 1 n2 2 易错提醒 1 裂项求和的系数出错 裂项时 把系数写成它的倒数或者忘记系数致错 2 忽略验证第一项致误 利用求通项 忽略n 2的限定 忘记第一项单独求解与检验 3 求错项数致误 错位相减法求和时 相减后总项数为n 1 易错并且还易漏掉减数式的最后一项 考题回顾 1 一组高考题回做 其它考题回顾 1 2013 新课标全国卷 设首项为1 公比为的等比数列 an 的前n项和为Sn 则 A Sn 2an 1B Sn 3an 2C Sn 4 3anD Sn 3 2an 解析 选D 因为等比数列的首项为1 公比为 所以Sn 3 2an 2 2016 绍兴模拟 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且a3 a8 13 S7 35 则a7 A 8B 9C 10D 11 解析 选A 由已知条件可得 所以a7 a1 6d 2 6 1 8 3 已知数列 an 为等差数列 a1 1 公差d 0 a1 a2 a5成等比数列 则a2017的值为 4 已知等差数列 an 的前n项和是Sn 若a1 0 且a1 9a6 0 则Sn取最大值时n为 A 11B 10C 6D 5 解析 选D 因为a1 0 a1 9a6 a1 a6 8a6 a2 a5 8a6 a2 a6 a5 7a6 2a4 a5 7a6 2 a4 a6 a5 5a6 5 a5 a6 0 所以a5 0 a6 0 即前5项和最大 5 2016 银川模拟 某音乐酒吧的霓虹灯是用 三个不同音符组成的一个含n 1 n N 个音符的音符串 要求由音符 开始 相邻两个音符不能相同 例如n 1时 排出的音符串是 n 2时排出的音符串是 记这种含n 1个音符的所有音符串中 排在最后一个的音符仍是 的音符串的个数为an 故a1 0 a2 2 则 1 a4 2 an 解析 a1 0 a2 2 21 a1 a3 2 22 a2 a4 6 23 a3 a5 10 24 a4 所以an 2n 1 an 1 所以an 1 2n 2 an 2 两式相减得 an an 2 2n 2 当n为奇数时 利用累加法得an a1 21 23 2n 2 所以an 同理 当n为偶数时 利用累加法得an a2 22 24 2n 2 所以an 综上所述an 答案 1 6 2 热点考向一求数列的通项公式 考情快报 典题1 1 2015 衢州模拟 在数列 an 中 a1 2 an 1 an ln 则an A 2 lnnB 2 n 1 lnnC 2 nlnnD 1 n lnn 2 2016 浙江五校联考 已知数列 an 的前n项和为Sn 且Sn 则an 信息联想 1 看到an 1 an ln 即an 1 an ln n 1 lnn 想到 2 看到前n项和形式 想到 累加或累乘 规范解答 1 选A an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 lnn ln n 1 ln n 1 ln n 2 ln2 ln1 2 2 lnn 2 当n 2时 Sn 2an 2 Sn Sn 1 Sn 2Sn 1 S1 2 所以Sn 2n 所以an 互动探究 题 1 条件变化为 已知数列 an 中 a1 1 2nan 1 n 1 an 求数列 an 的通项公式 解析 已知条件可化为 规律方法 求通项的常用方法 1 归纳猜想法 已知数列的前几项 求数列的通项公式 可采用归纳猜想法 2 已知Sn与an的关系 利用an 求an 3 累加法 数列递推关系形如an 1 an f n 其中数列 f n 前n项和可求 这种类型的数列求通项公式时 常用累加法 叠加法 4 累乘法 数列递推关系如an 1 g n an 其中数列 g n 前n项积可求 此数列求通项公式一般采用累乘法 叠乘法 5 构造法 递推关系形如an 1 pan q p q为常数 可化为an 1 p an p 1 的形式 利用是以p为公比的等比数列求解 又配凑法或待定系数法 递推关系形如an 1 p为非零常数 可化为的形式 取倒数法 6 2 已知 an 中 a1 1 求通项an 2 已知数列 an 满足a1 4 a2 2 a3 1 又 an 1 an 成等差数列 n N 则an等于 解析 由已知 an 1 an 是首项为 2 公差为1的等差数列 an 1 an 2 n 1 n 3 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 答案 加固训练 3 2016 杭州模拟 等差数列 an 中 a1 2015 前n项和为Sn 2 则S2017的值为 解析 设等差数列 an 的公差为d 则所以是首项为2015 公差为 1的等差数列 2015 n 1 1 2016 n S2017 2017 答案 2017 热点考向二求数列的前n项和 考情快报 高频考向多维探究 命题角度一基本数列求和 分组求和 典题2 设数列 an 的前n项和为Sn n N 数列 a2n 1 是首项为1的等差数列 数列 a2n 是首项为2的等比数列 且满足S3 a4 a3 a5 a4 2 1 求数列 an 的通项公式 2 求S2n 信息联想 1 看到数列 a2n 1 是等差数列 a2n 是等比数列 想到 2 看到求S2n 想到 等差 等比数列的通项公式 等差 等比数列前n项和分组求和 规范解答 1 设等差数列的公差为d 等比数列的公比为q 则a1 1 a2 2 a3 1 d a4 2q a5 1 2d 所以解得d 2 q 3 所以an k N 2 S2n a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 1 3 5 2n 1 2 30 2 31 2 3n 1 命题角度二裂项相消求和 典题3 已知等差数列 an 的前n项和为Sn S5 35 a5和a7的等差中项为13 1 求an及Sn 2 令bn n N 求数列 bn 的前n项和 信息联想 1 看到等差数列 等差中项 想到等差数列的 2 看到bn 的结构 求数列 bn 的前n项和 想到 基本量 基本公式 裂项 相消求和 规范解答 1 设等差数列的公差为d 因为S5 5a3 35 a5 a7 26 所以解得a1 3 d 2 所以an 3 2 n 1 2n 1 n N Sn 3n 2 n2 2n n N 2 由 1 知an 2n 1 所以bn 所以数列 bn 的前n项和Tn 命题角度三错位相减求和 典题4 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 公差d 0 且S3 S5 50 a1 a4 a13成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设是首项为1 公比为3的等比数列 求数列 bn 的前n项和Tn 现场答案 纠错析因 找出以上答案的错误之处 分析错因 并给出正确答案 提示 以上解题过程中出错之处是 后所得式子最后一项的符号写错 应是减号 从而导致结果出错 规范解答 1 依题意得所以an a1 n 1 d 3 2 n 1 2n 1 即an 2n 1 n N 2 3n 1 bn an 3n 1 2n 1 3n 1 Tn 3 5 3 7 32 2n 1 3n 1 3Tn 3 3 5 32 7 33 2n 1 3n 1 2n 1 3n 得 2Tn 3 2 3 2 32 2 3n 1 2n 1 3n 3 2 2n 1 3n 2n 3n 所以Tn n 3n n N 规律方法 1 分组求和的常见方法 1 根据等差 等比数列分组 2 根据正号 负