模糊数学讲稿7.doc

第六章扩张原理与F数，换成其它函数能否将上的F模糊集变成上的F集。一、普通扩张原理1给定映射则可以诱导两个新映射，分别记作和，称为的像，为的逆(原)像。2用特征函数表示3性质P393-394，性质至，如：； 例1 设，；。求解：二、模糊扩张原理1定义1 (扩张原理1)设，由可以诱导出两个映射和：其中： ； 称为的像，为的像。例1设,；求解：同理同理 所以： 2扩张原理可视为F变换（另一表示）（1）确定到的F关系：由可确定到的F变换（2）同样，令表示到的F关系,3性质定理1设，则，有；。一般证仅证第二式即 推论 设，则；。这是扩张原理另一描述方法。定理2设，则，证充分性() 所以必要性，令，那么从而 所以 定理3设，则（1）；（2）；（3）；（4）。证仅证（3）若，则若，则所以 定理4 设，则（1）（2）若为满射，且，则；（3），则；（4）；（5）；（6）。定理5（扩张原理等价定义）；三、二（多）元扩张原理1定义1设，则称映射：为直积映射。其中定义2（二元扩张原理）设则称映射为由诱导出的映射，隶属函数为： 例1设是普通加法； （原来上的加法） （上的加法）根据扩张原理，有或 （仅需考虑均不为0的对应的）可取1,2,3,4,5。因此2定理 设，则，使证必要性设，则得因此，使因而所以 充分性，且 扩展原理可以将实数的代数运算扩展到实数域上的F数的代数运算。四、凸F集1普通凸集为凸集，2凸F集定义1设是实数域，若，且，均有则称是凸F集。回忆高等数学中凸函数概念例1设，（1）若，则（2）若，因是减函数，故有因此，所以，为凸F集。（事实上：任何单调函数都是凸F集）3相关定理定理1 若是凸函数，则为凸F集。证明： ，且，则存在因为是凸函数，所以有：即，为凸F集。 定理2为凸F集， 为凸集。证必要性，即不妨设，则，由为凸F集得所以，故为凸集。充分性 ，取则，因为凸集，故，即所以，为凸F集。 推论凸F集的截集必为区间，截集为区间的F集必为凸F集。定理3若，是凸F集，则也是凸F集。证（自己证）五、F数1定义1设，且满足：（1） （正规F集）（2），为闭区间，则称为一个F实数，简称F数。记为全体F数集合。注：且为单点集，即则称为严格F数；（实数，）若取离散实数论域，只要求为闭凸集（！）。例如：若且有界，则称为有限F数；若且有界，则称为有界F数；所含都是正实数，则称为正F数；所含都是负实数，则称为负F数；F数是F凸集。例1设为三角F集，由于时，所以是严格F数。当时，为负F数；当时，为正F数。2有关定理定理1为有界F数的充分必要条件是存在区间使得其中：为增函数，右连续，且 为减函数，左连续，且证必要性因为正规，所以的核，即存在，使，由于F数是凸的，因此有所以，当时，令为增函数。因时，故。现证明右连续。用反证法定理2设是实数域上的二元运算，则或：例2设；计算解仅计算（1）隶属函数不为0的元素有：2，3，4，6，8，9，12（2）逐点计算如： 最后得六、区间数1定义1设，且，则称为区间数，记为。2运算（1）加法（2）减法（3）乘法其中：（4）除法当中不含0时，例13性质定理1设为有界F数，则，定理2设是两个有界F数，则，有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）例2 假如某一工程任务可分为两个阶段：第一阶段大约68天可完成，其完成任务的可能性分布为F数。第二阶段大约912天可完成，用F数表示为问最可能