6质心碰撞角动量

质心碰撞角动量 质心系 质点系的特殊参照系 质心系 抛手榴弹的过程 质点系的质量中心 简称质心 质心运动反映了质点系的整体运动趋势 1 质心 质心轨迹为抛物线 设有一个质点系 由个质点组成 由牛顿第二定律得 2 质心运动定理 对于内力 质心运动定理 表明 不管物体的质量如何分布 也不管外力作用在物体的什么位置上 质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此 而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样 质心的速度 质心 质心的加速度为 质心运动定理 对于N个质点组成的质点系 直角坐标系中 3 质心的计算 对于质量连续分布的物体 分量形式 面分布 体分布 线分布 注意 质心的位矢与参考系的选取有关 刚体的质心相对自身位置确定不变 质量均匀的规则物体的质心在几何中心 质心与重心不一样 物体尺寸不十分大时 质心与重心位置重合 例 地 月系的质心 以地球为坐标原点 例题求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置 解 三角形质心坐标xc是 例 确定半径为R的均质半球的质心位置 解 质心在距球心3R 8处 质心运动定理 一 质心运动定理 即质点系的总动量 是质点系的 平均 速度 theoremofmotionofcentermass 由 质心运动定理 有 该质点集中了整个质点系的质量和所受 质心的运动如同一个在质心位置处的质点的 运动 的外力 实际上是物体质心的运动 在质点力学中所谓 物体 的运动 系统内力不会影响质心的运动 例如 若合外力为零 二 动量守恒与质心的运动 质点系动量守恒 若合外力分量为0 质点系分动量守恒 质点系动量守恒和质心匀速运动等价 相应的质心分速度不变 1 质心系 质心系是固结在质心上的平动参考系 质心系不一定是惯性系 质点系的复杂运动通常可分解为 在质心系中考察质点系的运动 讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系 质点系整体随质心的运动 各质点相对于质心的运动 2 质心系的基本特征 质心系是零动量参考系 质心系中看两粒子碰撞 两质点系统在其质心系中 总是具有等值 反向的动量 碰撞 1 两体问题 碰撞 若K 系为质心系 即有 设两质点间的相对速度为 则有 在质心系中的总动能 解上述两方程得在质心系中两质点的速度为 由此可得 折合质量 两体问题在质心系中的总动能与其相对速度有关 碰撞特点 碰撞过程时间极短 外力忽略 动量守恒 碰撞前后vc不变 质心动能不变 两物体的相对动能会变 碰撞后 碰撞前 碰撞时 2 碰撞 碰状前后动量守恒 碰撞的分类 设碰撞前后的相对速度分别为 完全弹性碰撞 相对动能守恒 非完全弹性碰撞 相对动能减少 完全非弹性碰撞 相对动能在碰撞过程中全部耗散掉 相对速度变为零 定义恢复系数 接近速度 分离速度 e值由两球的材料性质决定 1 完全弹性碰撞 1 设得 两球经过碰撞将交换彼此的速度 2 设 质量为的物体在碰撞前静此不动 即 讨论 3 如果 质量极大并且静止的物体 经碰撞后 几乎仍静止不动 而质量极小的物体在碰撞前后的速度方向相反 大小几乎不变 在完全非弹性碰撞中 2 完全非弹性碰撞 例 一个静止的容器炸成三块 其中两块的质量相同 它们以30米 秒的相同速率沿互相垂直的方向飞开 第三块具有3倍的质量 求第三块速度的大小和方向 解 分别以两块容器碎块的运动方向为x和y方向建立直角坐标系 则有 例设有两个质量分别为和 速度分别为和的弹性小球作对心碰撞 两球的速度方向相同 若碰撞是完全弹性的 求碰撞后的速度和 解取速度方向为正向 由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得 1 若 则 则 则 9 1二维平面转动 二维平面转动 质点角动量 质点对圆心的转动动量 质点的平面运动与力矩 质点的动量 直线运动对原心的转动动量 行星在公转轨道上的角动量 定义 质点对点的动量矩为 动量矩大小 面积 动量矩方向 1 质点对点的角动量 不但与质点运动有关 且与参考点位置有关 讨论 2 方向的确定 3 做圆周运动时 由于 质点对圆心的角动量大小为 定义力矩 质点的角动量定理 质点的角动量守恒定理 如果作用在质点上的外力对某给定点的力矩为零 则质点对点的角动量在运动过程中保持不变 这就叫做角动量守恒定律 例一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内 一质量为m的小球穿在圆环上 并可在圆环上滑动 小球开始时静止于圆环上的点A 该点在通过环心O的水平面上 然后从A点开始下滑 设小球与圆环间的摩擦略去不计 求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度 解小球受重力和支持力作用 支持力的力矩为零 重力矩垂直纸面向里 由质点的角动量定理 考虑到 得 由题设条件积分上式 角动量三维表示 角动量三维表示 力矩的矢量分量式 质点系角动量定理 1 质点系的角动量 2 质点系角动量定理 质点系角动量定理 如果质点系上的外力对某轴 如Z轴 的合力矩为零 那么 角动量沿此轴的分量是守恒的 3 角动量守恒定律 想一想 当质点系所受外力的矢量和为零时 动量守恒 外力矩的矢量也一定为零吗 反之 当质点系外力矩矢量为零时 角动量守恒 其外力的矢量和也一定为零吗 试举例说明之 力偶 couple 一对大小相等 方向相反并不作用在同一条直线上的力 试一试 证明力偶矩与参考点选取无关 4 质心系的角动量定律 角动量的柯尼希定理 质心系的角动量定理 例 0914 在一较大的无摩擦的平均半径为R的水平圆槽内 放有两个小球 质量分别为m和M 两球可在圆槽内自由滑动 现将一不计其长度的压缩的轻弹簧置于两球之间 如图所示 1 将压缩弹簧释放后 两球沿相反方向被射出 而弹簧本身仍留在原处不动 问小球将在槽内何处发生碰撞 2 设压缩弹簧具有弹性势能E0 问小球射出后 经多少时间发生碰撞 解 1 设两小球被射出后的角速度分别为和 根据角动量守恒有 设在碰撞处 两小球所转过的角度分别为 由 解得 2 由机械能守恒定律得 将 式代入上式 有 例 0856 两个滑冰运动员A B的质量均为m 70kg 以v0 6 5m s的速率沿相反方向滑行 滑行路线间的垂直距离为R 10m 当彼此交错时 各抓住10m绳索的一端 然后相对旋转 1 在抓住绳索之前 各自对绳中心的角动量是多少 抓住后又是多少 2 他们各自收拢绳索 到绳长为r 5m时 各自的速率如何 3 绳长为5m时 绳内的张力多大 4 二人在收拢绳索时 设收绳速率相同 问二人各做了多少功 1 抓住绳之前A对O点的角动量为 2 绳的原长R 10m 收拢后为r 5m 3 张力 4 由动能定理可知 收绳过程中运动员A对B做的功为 kgm2 s kgm2 s m s N J 例 0301 质量为mA的粒子A受到另一重粒子B的万有引力作用 B保持在原点不动 起初 当A离B很远 r 时 A具有速度