【三维设计】2013高考数学一轮复习 第13节 导数的应用(二)课件

第二章函数 导数及其应用 第十三节导数的应用 二 抓基础 明考向 提能力 教你一招 我来演练 备考方向要明了 一 函数的最值1 函数y f x 在 a b 上的最大值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都f x0 2 函数y f x 在 a b 上的最小值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都f x0 不超过 不小于 3 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 极值 端点处的函数值f a f b 二 生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 已知函数f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 那么此函数在 2 2 上的最小值是 A 37B 29C 5D 以上都不对解析 f x 6x x 2 f x 在 2 0 上为增函数 在 0 2 上为减函数 当x 0时 f x m最大 m 3 f 2 37 f 2 5 答案 A 2 教材习题改编 函数f x 12x x3在区间 3 3 上的最小值是 A 9B 16C 12D 11 解析 由f x 12 3x2 0 得x 2或x 2 又f 3 9 f 2 16 f 2 16 f 3 9 函数f x 在 3 3 上的最小值为 16 答案 B 解析 y x2 81 令y 0解得x 9 9舍去 当00 当x 9时 y 0 则当x 9时 y取得最大值 答案 C 4 教材习题改编 函数g x ln x 1 x的最大值是 答案 0 5 面积为S的一矩形中 其周长最小时的边长是 实际问题的最值问题有关函数最大值 最小值的实际问题 一般指的是单峰函数 也就是说在实际问题中 如果遇到函数在区间内只有一个极值点 那么不与区间端点比较 就可以知道这个极值点就是最大 小 值点 例1 2011 北京高考 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 自主解答 1 f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 与f x 的情况如下 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1时 即k 2 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 本题条件不变 求f x 在区间 0 1 上的最大值 巧练模拟 课堂突破保分题 分分必保 由上表可得y f x 在 1 2 上的最小值为f a 3a2 1 当a 2时 f x 2时 y f x 在 1 2 上的最小值为f 2 a3 5 冲关锦囊 函数的最大 小 值是在函数极大 小 值基础上的发展 从函数图像上可以直观地看出 如果在闭区间 a b 上函数y f x 的图像是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 只要把函数y f x 的所有极值连同端点处的函数值进行比较 就可以求出函数的最大 小 值 例2 2011 江苏高考 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得A B C D四个点重合于图中的点P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F在AB上 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设AE FB x cm 1 若广告商要求包装盒的侧面积S cm2 最大 试问x应取何值 2 某厂商要求包装盒的容积V cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 2 y 6x2 66x 108 6 x2 11x 18 6 x 2 x 9 令y 0 得x 2 x 6 舍去 或x 9 显然 当x 6 9 时 y 0 当x 9 时 y 0 函数y 2x3 33x2 108x 108在 6 9 上是增加的 在 9 上是减少的 当x 9时 y取最大值 且ymax 135 售价为9元时 年利润最大 最大年利润为135万元 冲关锦囊 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 构造出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 并根据实际意义确定定义域 2 求函数y f x 的导数f x 解方程f x 0得出定义域内的实根 确定极值点 3 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小 获得所求的最大 小 值 4 还原到实际问题中作答 精析考题 例3 2011 辽宁高考 设函数f x x ax2 blnx 曲线y f x 过P 1 0 且在P点处的切线斜率为2 1 求a b的值 2 证明 f x 2x 2 巧练模拟 课堂突破保分题 分分必保 2 证明 设h x xlnx 2x e x 1 令h x lnx 1 0得x e 列表分析函数h x 的单调性如下 h x 0 即f x