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4 2刚体的角动量转动动能转动惯量 1 刚体的角动量 图为以角速度 绕定轴oz转动的一根均匀细棒 把细棒分成许多质点 其中第i个质点的质量为 当细棒以 转动时 该质点绕轴的半径为 它相对于o点的位矢为 方向如图所示 刚体的角动量 则对o点的角动量为 从图中可以看出 因此 而这个分量实际上就是各质点的角动量沿轴的分量之和 刚体的角动量 对于定轴转动 我们感兴趣的只是对沿轴的分量 叫做刚体绕定轴转动的角动量 刚体对点的角动量 等于各个质点角动量的矢量和 刚体转动惯量 刚体绕定轴的角动量表达式 式中叫做刚体对轴的转动惯量 用J表示 刚体的角动量 刚体的转动动能 2 刚体的转动动能 因此整个刚体的动能 上式中的动能是刚体因转动而具有的动能 因此叫刚体的转动动能 刚体的转动动能 式中是刚体对转轴的转动惯量 所以上式写为 质元的质量 质元到转轴的距离 转动惯量的计算 刚体的质量可认为是连续分布的 所以上式可写成积分形式 3 转动惯量的计算 按转动惯量的定义有 转动惯量是转动中惯性大小的量度 质量是平动中惯性大小的量度 转动惯量的计算 区别 平动 平动动能 线动量 转动 转动动能 角动量 例题4 3求质量为m 长为l的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量 1 转轴通过棒的中心并和棒垂直 2 转轴通过棒的一端并和棒垂直 3 转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直 解如图所示 在棒上离轴x处 取一长度元dx 如棒的质量线密度为 这长度元的质量为dm dx 1 当转轴通过中心并和棒垂直时 我们有 转动惯量的计算 因 l m 代入得 转动惯量的计算 2 当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时 我们有 转动惯量的计算 3 当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂直时 我们有 这个例题表明 同一刚体对不同位置的转轴 转动惯量并不相同 转动惯量的计算 回转半径 考虑到刚体的转动惯量与总质量有关 可写为 rG称为刚体对该定轴的回转半径 就转动规律而言 刚体的质量等价于集中在离轴距离为rG的圆环上 转动惯量的计算 例题4 4求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量 设圆盘的半径为R 质量为m 密度均匀 解设圆盘的质量面密度为 在圆盘上取一半径为r 宽度为dr的圆环 如图 环的面积为2 rdr 环的质量dm 2 rdr 可得 转动惯量的计算 回转半径 考虑到刚体的转动惯量与总质量有
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