2014高三数学一轮复习 7.2空间点 直线 平面之间的关系课件

备考方向要明了 考什么 怎么考 1 理解空间直线 平面位置关系的定义 2 了解四个公理和等角定理 并能以此作为推理的依据 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 1 直线 平面位置关系是历年高考考查的重点内容之一 多以主观题形式出现 如2010年高考T16 1 等 2 公理和定理一般不单独考查 而是作为解题过程中的推理依据 归纳知识整合 1 四个公理公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线在此平面内 作用 可用来证明点 直线在平面内 作用 可用来证明点 直线在平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 两点 作用 可用来确定两个平面的交线 判断或证明多点共线 判断或证明多线共点 公理3 经过的三点 有且只有一个平面 作用 可用来确定一个平面 证明点线共面 公理4 平行于同一条直线的两条直线 作用 判断空间两条直线平行的依据 不在同一条直线上 互相平行 探究 1 平面几何中成立的有关结论在空间立体几何中是否一定成立 提示 不一定 例如 经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直 在平面几何中成立 但在立体几何中就不成立 而公理4的传递性在平面几何和立体几何中均成立 2 直线与直线的位置关系 平行 相交 任何 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间中任一点O作直线a a b b 把a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 锐角 或直角 2 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 那么这两个角 相等 判定 过平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 探究 2 不相交的两条直线是异面直线吗 提示 不一定 不相交的两条直线可能平行 也可能异面 3 不在同一平面内的直线是异面直线吗 提示 不一定 不在同一平面内的直线可能异面 也可能平行 3 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 1 0 无数 0 无数 自测牛刀小试 1 教材习题改编 下列命题 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 其中正确命题的是 填序号 解析 对于 未强调三点不共线 故 错误 正确 对于 三条直线两两相交 如空间直角坐标系 能确定三个平面 故 正确 对于 未强调三点共线 则两平面也可能相交 故 错误 答案 2 如果a b l a A l b B 那么下列关系成立的是 填序号 l l l A l B 解析 a l a A A A l 同理B B l l 答案 3 若三个平面两两相交 且三条交线互相平行 则这三个平面把空间分成 个部分 解析 三个平面 两两相交 交线分别是a b c 且a b c 则 把空间分成7部分 答案 7 4 若直线l上有两点到平面 的距离相等 则直线l与平面 的关系是 解析 当这两点在 的同侧时 l与 平行 当这两点在 的异侧时 l与 相交 答案 平行或相交 5 2012 信阳模拟 平面 的公共点多于两个 则 垂直 至少有三个公共点 至少有一条公共直线 至多有一条公共直线 以上四个判断中不成立是 填序号 解析 由条件知 平面 与 重合或相交 重合时 公共直线多于一条 故 错误 相交时不一定垂直 故 错误 答案 平面的基本性质及应用 例1 2012 临沂模拟 以下四个命题 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点A B C D共面 点A B C E共面 则点A B C D E共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 其中正确命题的个数是 填序号 自主解答 1 正确 可以用反证法证明 不正确 从条件看出两平面有三个公共点A B C 但是若A B C共线 则结论不正确 不正确 共面不具有传递性 不正确 空间四边形的四条边不在一个平面内 答案 1 本例条件不变 如何证明 FE AB DC共点 1 由所给元素确定平面的关键点判断由所给元素 点或直线 确定平面时 关键是分析所给元素是否具有确定惟一平面的条件 如不具备 则一定不能确定一个平面 2 证明共面问题的常用方法 纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平面内 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 1 下列如图所示是正方体和正四面体 P Q R S分别是所在棱的中点 则四个点共面的图形是 解析 中可证四边形PQRS为梯形 中 如图所示取A1A与BC的中点为M N 可证明PMQNRS为平面图形 且PMQNRS为正六边形 中可证四边形PQRS为平行四边形 中 可证Q点所在棱与面PRS平行 因此 P Q R S四点不共面 答案 空间两条直线的位置关系 例3 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是BC1 CD1的中点 则下列 MN与CC1垂直 MN与AC垂直 MN与BD平行 MN与A1B1平行 自主解答 由于MN与平面DCC1D1相交于N点 D1C1 平面DCC1D1 且C1D1与MN没有公共点 所以MN与C1D1是异面直线 又因为C1D1 A1B1 且A1B1与MN没有公共点 所以A1B1与MN是异面直线 答案 异面直线的判定方法 1 定义法 依据定义判断 较为困难 2 定理法 过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线 此结论可作为定理使用 3 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两直线平行或相交 由假设的条件出发 经过严密的推理 导出矛盾 从而否定假设 肯定两条直线异面 3 已知空间四边形ABCD中 E H分别是边AB AD的中点 F G分别是边BC CD中的点 1 求证 BC与AD是异面直线 2 求证 EG与FH相交 证明 1 假设BC与AD共面 不妨设它们所共平面为 则B C A D 所以四边形ABCD为平面图形 这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾 所以BC与AD是异面直线 2 如图 连接AC BD 则EF AC HG AC 因此EF HG 同理EH FG 则EFGH为平行四边形 又EG FH是 EFGH的对角线 所以EG与HF相交 异面直线所成的角 例4 2012 银川模拟 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求A1C1与B1C所成角的大小 2 若E F分别为AB AD的中点 求A1C1与EF所成角的大小 自主解答 1 如图 连接AC AB1 由ABCD A1B1C1D1是正方体 知AA1C1C为平行四边形 所以AC A1C1 从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角 由AB1 AC B1C可知 B1CA 60 即A1C1与B1C所成角为60 2 如图 连接BD 由AA1 CC1 且AA1 CC1可知A1ACC1是平行四边形 所以AC A1C1 即AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角 因为EF是 ABD的中位线 所以EF BD 又因为AC BD 所以EF AC 即所求角为90 求异面直线所成角的步骤平移法求异面直线所成角的一般步骤 4 已知三棱锥A BCD中 AB CD 且直线AB与CD成60 角 点M N分别是BC AD的中点 求直线AB和MN所成的角 MEN为异面直线AB与CD所成的角 或补角 且 MEN为等腰三角形 当 MEN 60 时 EMN 60 即异面直线AB和MN所成的角为60 当 MEN 120 时 EMN 30 即异面直线AB和MN所成的角为30 直线AB和MN所成的角为60 或30 1 不同在任何一个平面内 指这两条直线不能确定任何一个平面 因此异面直线既不平行 也不相交 2 不能把异面直线误解为 分别在不同平面内的两条直线为异面直线 3 异面直线的公垂线有且仅有一条 1 平移法 即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题 这是求异面直线所成角的常用方法 2 补形法 即采用补形法作出平面角 1 证明共面问题一般有两种途径 首先由条件中的部分线 或点 确定一个平面 再证其他线 或点 在此平面内 将所有条件分为两部分 然后分别确定平面 再证明这两个平面重合 2 证明共线问题一般有两种途径 先由两点确定一条直线 再证其他点都在这条直线上 直接证明这些点都在同一条特定直线上 3 证明共点问题常用方法 先证其中两条直线交于一点 再证其他直线经过该点 易误警示 求解线线角中忽视隐含条件而致错 典例 2013 临沂模拟 过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作直线l 使l与棱AB AD AA1所成的角都相等 这样的直线l可以作 条 答案 4 1 易忽视异面直线所成的角 且没有充分认识正方体中的平行关系而错选A 2 求解空间直线所成的角时 还常犯以下错误 1 缺乏空间想象力 感觉无从下手 2 忽视异面直线所成角的范围 答案 90 1 如图 在四面体ABCD中 截面PQMN是正方形 则在下列命题中 错误的为 填序号 A AC BDB AC 截面PQMNC AC BDD 异面直线PM与BD所成的角为45 解析 依题意得MN PQ MN 平面ABC 又MN 平面ACD 且平面ACD 平面ABC AC 因此有MN AC AC 平面MNPQ 同理 BD PN 又截面MNPQ是正方形 因此有AC BD 直线PM与BD所成的角是45 答案 C 2 对于四面体ABCD 下列命题 相对棱AB与CD所在直线异面 由顶点A作四面体的高 其垂足是 BCD三条高线的交点 若分别作 ABC和 ABD的边AB上的高 则这两条高所在的直线异面 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 其中正确的是 填序号 解析 对于 由四面体的概念可知 AB与CD所在的直线为异面直线 故 正确 对于 由顶点