带电粒子在有界磁场中极值问题

极值问题 1 容易混淆点是 有界磁场的圆形区域与粒子运动径迹的圆弧 注意区别轨迹半径R与磁场圆半径r 2 理解关键词 以题中 恰好 最大 最高 至少 等词语为突破口 借助半径R和速度v 或磁场B 之间的约束关系进行动态运动轨迹分析 确定轨迹圆和边界的关系 找出临界点 利用数学方法求解极值等 3 常用结论如下 1 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与磁场边界相切 2 当速率v一定时 弧长 或弦长 越长 圆心角越大 则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 3 当速率v变化时 圆周角大的 对应的运动时间也越长 4 从同一直线边界射入又从从同一边界射出的粒子 速度与边界的夹角相等 圆形磁场区域沿径向射入的粒子必沿径向射出 一 平移法带电粒子以大小不变的速度v0沿任意方向垂直射入匀强磁场时 将在磁场中做匀速圆周运动 圆周运动半径为R mv0 qB 其轨迹半径相同 因此可以得到一种确定临界条件或极值的方法 可以将半径为R mv0 qB 的轨迹圆平移 从而探索出临界条件或极值 这种方法称为 平移法 4 临界极值问题的思维方法及规律 量变积累到一定程度发生质变 出现临界状态 提示 准备圆规或一元硬币等 动手画轨迹图找临界 极值等规律 二 缩放圆法带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时 在磁场中做匀速圆周运动 其轨迹半径随速度的变化而变化 如图 图中只画出粒子带正电的情景 速度v0越大 运动半径也越大 可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后 它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP 上 2 从同一直线边界射入又从同一边界射出的粒子 速度与边界的夹角相等 粒子在磁场中运动时间相同 1 粒子的运动轨迹是内切圆 圆心在垂直速度的直线上 B P S Q P Q Q 圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上 圆心在过入射点跟边界垂直的直线上 圆心在磁场原边界上 量变积累到一定程度发生质变 出现临界状态 P 刚好穿出或穿不出磁场边界的临界条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与磁场边界相切 圆形磁场 变化1 在上题中若电子的电量e 质量m 磁感应强度B及宽度d已知 若要求电子不从右边界穿出 则初速度v0满足什么条件 B e d 小结 临界问题的分析方法1 理解轨迹的变化 从小到大 2 找临界状态 切线 找圆心 求半径等 变化2 若初速度向下与边界成 60度角 则初速度满足什么条件 B 变化3 若初速度向上与边界成 60度角 则初速度满足什么条件 B v 轨迹圆 轨迹圆心圆 三 旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小v0相同的带电粒子时 带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆 如图 用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹 v O R d 对象模型 质点过程模型 匀速圆周运动规律 牛顿第二定律 圆周运动公式条件 要求时间最短 速度v不变 欲使穿过磁场时间最短 须使s有最小值 则要求弦最短 例一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示 磁场宽度为d 在垂直B的平面内的A点 有一个电量为 q 质量为m 速度为v的带电粒子进入磁场 请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短 已知mv Bq d v O 中垂线 与边界的夹角为 90 例一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示 磁场宽度为d 在垂直B的平面内的A点 有一个电量为 q 质量为m 速度为v的带电粒子进入磁场 请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短 已知mv Bq d 例 如图 半径为r 3 10 2m的圆形区域内有一匀强磁场B 0 2T 一带正电粒子以速度v0 106m s的从a点处射入磁场 该粒子荷质比为q m 108C kg 不计重力 若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角 其入射时粒子的方向应如何 以v0与ao的夹角表示 最大偏转角多大 R mv Bq 5 10 2m r b 说明 1 本题中 由于是两圆相交 两个交点的连线同时是两个圆的弦 2 轨道圆半径确定时 弦线越长 通过的弧越长 偏转角度也越大 R mv Bq 5 10 2m r 解析 b 得 37 sin r R 最大偏转角为2 74 例 如图 半径为r 3 10 2m的圆形区域内有一匀强磁场B 0 2T 一带正电粒子以速度v0 106m s的从a点处射入磁场 该粒子荷质比为q m 108C kg 不计重力 若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角 其入射时粒子的方向应如何 以v0与ao的夹角表示 最大偏转角多大 变式 如图所示 一带负电荷的质点 质量为m 带电量为q 从M板附近由静止开始被电场加速 又从N板的小孔a水平射出 垂直进入半径为R的圆形区域匀强磁场中 磁感应强度为B 入射速度方向与OP成45 角 要使质点在磁场中飞过的距离最大 则两板间的电势差U为多少 例 如图 带电质点质量为m 电量为q 以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域 为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出 可在适当的地方加一个垂直于xy平面 磁感应强度为B的匀强磁场 若此磁场仅分布在一个圆形区域内 试求这圆形磁场区域的最小半径 重力忽略不计 解 质点在磁场中圆周运动半径为r mv Bq 质点在磁场区域中的轨道是1 4圆周 如图中M N两点间的圆弧 在通过M N两点的不同的圆中 最小的一个是以MN连线为直径的圆周 圆形磁场区域的最小半径 例 如图 质量为m 带电量为 q的粒子以速度v从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域 磁场方向垂直纸面向外 粒子飞出磁场区域后 从b处穿过x轴 速度方向与x轴正方向的夹角为30 同时进入场强为E 方向沿与与x轴负方向成60 角斜向下的匀强电场中 通过了b点正下方的C点 不计重力 试求 1 圆形匀强磁场区域的最小面积 2 C点到b点的距离h 解 1 反向延长vb交y轴于O2点 作 bO2O的角平分线交x轴于O1 O1即为圆形轨道的圆心 半径为R OO1 mv qB 画出圆形轨迹交bO2于A点 如图虚线所示 最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆 如图示 Smin r2 OA 2r hsin30 vt 2 b到C受电场力作用 做类平抛运动 得t 2mv qE tan30 A 平移法 平移法 例1 在真空中 半径为R 3 10 2m的圆形区域内 有一匀强磁场 磁场的磁感应强度为B 0 2T 方向如图所示 一带正电粒子 以初速度v0 106m s的速度从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场 已知该粒子荷质比为q m 108C kg 不计粒子重力 则 1 粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少 2 若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角 其入射时粒子的方向应如何 以v0与Oa的夹角 表示 最大偏转角多大 圆形磁场R 轨迹半径r R v大小不变 则一个周期内弦长越长时间t越长 此时轨迹圆的最大弦长L 2R R r 例 在真空中 半径为r 1 10 1m的圆形区域内 有一匀强磁场 磁场的磁感应强度为B 0 2T 方向如图所示 一带正电粒子 以初速度v0 1 0 106m s从磁场边界上直径ab一端a点处沿各个方向射入磁场 已知该粒子荷质比为q m 108C kg 不计粒子重力 则 1 粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少 2 求粒子可能飞离圆形磁场区域边界上的圆弧范围及弧长大小 圆形磁场R 轨迹半径r R v大小不变 则粒子可能一直在磁场中运动 因此问题通常是可以穿出的范围 拓展1 如图边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场 边界OA上有一粒子源S 某一时刻 从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子 不计粒子的重力及粒子间的相互作用 所有粒子的初速度大小相同 经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场 已知 AOC 60 从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T 2 T为粒子在磁场中运动的周期 则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为 o ABC 小结 当速率v一定时 弧长 或弦长 越长 圆心角越大 则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 变式 如图所示 在0 x a 0 y 范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场 磁感应强度大小为B 坐标原点O处有一个粒子源 在某时刻发射大量质量为m 电荷量为q的带正电粒子 它们的速度大小相同 速度方向均在xy平面内 与y轴正方向的夹角分布在0 90 范围内 已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a之间 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一 求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 1 速度的大小 2 速度方向与y轴正方向夹角的正弦 同时进入磁场 最长时间t T 4 弦长最长 分析 本题是粒子以一定速度沿任意方向射入磁场的问题 做出轨迹圆心圆 如虚圆 再做动态圆 找临界状态 最后离开磁场的粒子在磁场中的圆周运动的弦最长 经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一 则粒子速度方向改变900粒子也即粒子半径转过的最大圆心角为900 在动态圆中与边界相切的这种情况弦最长 对应的圆心角为900 最后射出磁场 解析 1 设粒子的发射速度为v 粒子做圆周运动的轨道半径为R 由牛顿第二定律和洛伦兹力公式 得qvB m 由 式得R 当a 2 R a时 在磁场中运动时间最长的粒子 其轨迹是圆心为C的圆弧 圆弧与磁场的上边界相切 如右图所示 设该粒子在磁场运动的时间为t 依题意t T 4 得 OCA 设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为a 由几何关系可得Rsina R Rsina a Rcosa 又sin2a cos2a 1 由 式得R 2 a 由 式得v 2 2 由 式得sina 练习 如右图所示 垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内 O点是cd边的中点 一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下 从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内 经过时间t0刚好从c点射出磁场 现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30 的方向 以大小不同的速率射入正方形内 那么下列说法中正确的是 A 若该带电粒子从ab边射出 它经历的时间可能为5t0 3B 若该带电粒子从bc边射出 它经历的时间可能为t0C 若该带电粒子从cd边射出 它经历的时间为5t0 3D 若该带电粒子从ad边射出 它经历的时间可能为t0 3 解析 作出从ab边射出的轨迹 刚好从bc边射出的轨迹 从cd边射出的轨迹 和刚好从ad边射出的轨迹 由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内 经过时间t0刚好从c点射出磁场可知 带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0 答案 C 例 如图 质量为m 电量为q的正离子 从A点正对圆心O以某一速度射入半径为R的绝缘圆筒中 圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场 磁感应强度的大小为B 要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出 问发生碰撞的最少次数 并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间t 设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失 不计粒子的重力 t m Bq 2次 例 如图 空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场 左侧匀强电场的场强大小为E 方向水平向右 电场宽度为L 中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外 右侧区域匀强磁场方向垂直纸面向里 两个磁场区域的磁感应强度大小均为B 一个质量为m 电量为q 不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动 穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后 又回到O点 然后重复上述运动过程 求 1 中间磁场区域的宽度d 2 带电粒子的运动周期 O1 O3 O2 由以上两式 可得 2 在电场中运动时间 在中间磁场中运动时间 在右侧磁场中运动时间 则粒子的运动周期为 带电粒子在磁场中偏转 由牛顿第二定律得 解 1 如图所示 带电粒子在电场中加速 由动能定理得 粒子在两磁场区运动半径相同 三段圆弧的圆心组成的三角形 O1O2O3是等边三角形 其边长为2R 所以中间磁场区域的宽度为 例 如图 两个共轴的圆筒形金属电极 外电极接地 其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a b c和d 外筒的半径为r0 在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场B 在两极间加上电压 一质量为m 带电量为 q的粒子初速为零 从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发 经过一段时间的运动之后恰好又回到点S 则两电极之间的电压U应是多少 不计重力 整个装置在真空中 解析 半径R r0 6 如图所示 一个质量为m 电量为q的正离子 在小孔S处正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中 圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场 磁感应强度的大小为B 要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出 求正离子在磁场中运动的时间t 设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失 不计粒子的重力 解 粒子经过与圆筒发生n n 2 3 4 次与圆筒碰撞从原孔射出 其在圆筒磁场中运动的轨迹为n 1段对称分布的圆弧 每段圆弧的圆心角为 正离子在磁场中运动的时间 7 如图所示 在半径为R的圆筒内有匀强磁场 质量为m 带电量为q的正离子在小孔S处 以速度v0向着圆心射入 施加的磁感应强度为多大 此粒子才能在最短