25.2.1_锐角三角函数定义及性质

25 2 1锐角三角函数定义及性质 问题1为了绿化荒山 某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管 在山坡上修建一座扬水站 对坡面的绿地进行喷灌 现测得斜坡与水平面所成角的度数是30 为使出水口的高度为35m 那么需要准备多长的水管 这个问题可以归结为 在Rt ABC中 C 90 A 30 BC 35m 求AB的长 思考 你能将实际问题归结为数学问题吗 情境探究 根据 在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 即 在Rt ABC中 C 90 A 30 BC 35m 求AB的长 可得AB 2BC 70m 即需要准备70m长的水管 在上面的问题中 如果使出水口的高度为50m 那么需要准备多长的水管 结论 在一个直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么不管三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比值都等于 A B C 50m 30m B C 即在直角三角形中 当一个锐角等于45 时 不管这个直角三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比都等于 如图 任意画一个Rt ABC 使 C 90 A 45 计算 A的对边与斜边的比 你能得出什么结论 A B C 综上可知 在一个Rt ABC中 C 90 一般地 当 A取其他一定度数的锐角时 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值 结论 问题 当 A 30 时 A的对边与斜边的比都等于 是一个固定值 当 A 45 时 A的对边与斜边的比都等于 也是一个固定值 探索 A B C A B C 任意画Rt ABC和Rt A B C 使得 C C 90 A A 那么与有什么关系 你能解释一下吗 由于 C C 90 A A 所以Rt ABC Rt A B C 驶向胜利的彼岸 这就是说 在直角三角形中 当锐角A的度数一定时 不管三角形的大小如何 A的对边与斜边的比都是一个固定值 探索 驶向胜利的彼岸 如图 在Rt ABC中 C 90 我们把锐角A的对边与斜边的比叫做 A的正弦 sine 记作sinA 即 例如 当 A 30 时 我们有 当 A 45 时 我们有 c a b 对边 斜边 注意 sinA是一个完整的符号 它表示 A的正弦 记号里习惯省去角的符号 sinA没有单位 它表示一个比值 即直角三角形中 A的对边与斜边的比 sinA不表示 sin 乘以 A 驶向胜利的彼岸 例1如图 在Rt ABC中 C 90 求sinA和sinB的值 A B C 3 4 1 2 试着完成图 2 驶向胜利的彼岸 小试牛刀 1 再Rt Rt 中 300 450 900 900 若 求 的对边与斜边的比值 求 的对边与斜边的比值 求 的对边与斜边的比值 小试牛刀 在Rt 中 求sinA和sinB得值 1 2 练一练 3 已知Rt ABC中 900 1 若AC 4 AB 5 求sinA与sinB 2 若AC 5 AB 12 求sinA与sinB 3 若BC m AC n 求sinB 4 如图 在 ABC中 AB CB 5 sinA 求 ABC的面积 小明在打网球时 击出一个直线球恰好擦网而过 且刚好落在底线上 已知网球场的底线到网的距离 OA 是12米 网高 AC 是1米 击球高度 BD 是2米 你能求出球飞行的距离吗 精确到0 01米 想一想 若小明第二次击的直线球仍擦网而过且刚好落在底线上 击球高度 B1D1 是3米这时球飞行的距离是多少米 球的飞行直线与地面的夹角有变化吗 击球高度与球飞行的距离比值有变化吗 o A B C D 12m 1m 2m 新知探索 1 你能将 其他边之比 用比例的式子表示出来吗 这样的比有多少 2 当锐角A确定时 A的邻边与斜边的比 A的对边与邻边的比也随之确定吗 为什么 交流并说出理由 方法一 从特殊到一般 仿照正弦的研究过程 方法二 根据相似三角形的性质来说明 如图 在Rt ABC中 C 90 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做 A的余弦 cosine 记作cosA 即 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 A的正切 tangent 记作tanA 即 驶向胜利的彼岸 余切的定义 正切的倒数叫做 A的余切 即 在Rt ABC中 锐角A的邻边与对边的比叫做 A的余切 记作cotA 即 驶向胜利的彼岸 注意 cosA tanA cotA是一个完整的符号 它表示 A的余弦 正切 记号里习惯省去角的符号 cosA tanA cotA没有单位 它表示一个比值 即直角三角形中 A的邻边与斜边的比 对边与邻边的比 cosA不表示 cos 乘以 A tanA不表示 tan 乘以 A cot 不表示 cot 乘以 A 驶向胜利的彼岸 锐角A的正弦 余弦 正切 余切都叫做 A的锐角三角函数 1 你能利用直角三角形的三边关系得到sinA与cosA的取值范围和关系吗 0 sinA 1 0 cosA 1 3 tanA与cotA之间有什么关系 tanA cotA 1 如右图所示的Rt ABC中 C 90 a 8 b 15 那么c sinA cosA tanA cotA 17 互为倒数 相等 同角的正切与余切有何关系 互余两角的正弦与余弦有何关系 我来试一试 例1如图 在Rt ABC中 C 90 BC 6 求cosA和tanB的值 例2如图 在Rt ABC中 C 90 BC 2 AB 3 求 A B的正弦 余弦 正切值 延伸 由上面的计算 你能猜想 A B的正弦 余弦值有什么规律吗 结论 一个锐角的正弦等于它余角的余弦 或一个锐角的余弦等于它余角的正弦 练一练 1 判断对错 1 如图 1 sinA 2 cosB 3 sinA 0 6m 4 SinB 4 5 sinA是一个比值 注意比的顺序 无单位 2 如图 cosB 2 在Rt ABC中 锐角A的对边和斜边同时扩大100倍 sinA的值 A 扩大100倍B 缩小C 不变D 不能确定 C 练一练 则sinA cosA 补充练习1 在等腰 ABC中 AB AC 5 BC 6 求sinB cosB tanB D 补充练习 2 如图所示 在 ABC中 ACB 90 AC 12 AB 13 BCM BAC 求sin BAC和点B到直线MC的距