概率论全概率公式

1 概率论与数理统计 作业交两面内容全学的页码 2 1990年 美国 Parade展示 杂志 AskMarilyn 专栏的主持人玛莉莲 莎凡收到了一名读者的提问 假设你正在参加一个游戏节目 你被要求在三扇门中选择一扇 其中一扇后面有一辆汽车 其余两扇后面则是山羊 你选择了一扇门 假设是一号门 然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门 假设是三号门 他然后问你 你想选择二号吗 一个教授都容易回答错误的概率问题 3 1 4条件概率与事件的独立性 一 条件概率 1 问题E 产品 N个产品中含M个次品 随机抽样 Ai 第i次抽到次品 i 1 2 放回抽样时 不放回抽样时 P A2 P A2 P Ai P A2 4 2 定义 为在B发生的条件下 A发生的条件概率 注2 条件概率满足三条公理及概率的其它性质 注1 P A B 是将样本空间压缩成B 事件A压缩成AB后计算概率 P A B 本质上是一个无条件概率 AB 设A B为两随机事件 且P B 0 则称 5 例1设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为80 在40年内发生特大洪水的概率为85 现已知该地区已经30年未发生特大洪水 问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少 解记A 30年内无特大洪水 B 未来10年内有特大洪水 则 二 乘法公式 A 40年内无特大洪水 6 例2设A盒内有M个黑球 B盒内有同种质地 大小的M个白球 现让某人从B盒内随机摸取一球放入A盒中 然后再从A盒中随机摸取一球放入B盒中 称此为一次交换 若经M次交换后 A中恰有M个白球则此人可获奖 问此人获奖的概率是多少 解设 7 例3袋中有5个球 3个红球 2个白球 现每次任取1个 取后放回 并同时放入3个同色的球 记Ai为第i次取到红球 求概率P A2 解 问题 A3由哪几个原因引起 8 三 全概率公式 B 则对任何事件B有 证 A1A2 An BA1 BA2 BAi BAn 设A1 A2 An是对的一个划分 注意 解题时先画因果关系图 多因一果 A1Ai An P B Ai B P Ai 例1 17 P10 矿工逃生问题 BA1 9 例从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张 求两张牌点数相同的概率 10 例从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张 求第二张牌点数大于第一张的概率 11 例 2005 从数1 2 3 4中任取一个 记为X 再从1 X中任取一个 记为Y 则 解 试验分为两个阶段 Y 2是第2阶段的结果 第1阶段的所有结果是Y 2发生的一组前提条件 12 例某种产品的商标为 MAXAM 其中有两个脱落 有人捡起随意放回 求放回仍为 MAXAM 的概率 解 试验分两阶段第一阶段是字母脱落 第2阶段是捡起放回 放回仍为 MAXAM 是第2阶段的结果 设为A 它与第1阶段脱落的情况有关 则 代入即得 用B表示脱落的两个字母相同 13 赌徒输光问题 设甲乙二人赌博 每局输赢1元钱 每局甲赢的概率为p 开始时甲乙二人各有m n元钱 约定赌到一个人输光为止 求甲输光的概率 14 可以解得 15 四 Bayes公式 P Ai P Ai B A1A2 An P B Ai B 设A1 A2 An是对的一个划分 则 P Ai 先验概率 P Ai B 后验概率 B B 证明 16 例4一台机床正常时 产品的合格率为90 非正常时 产品的合格率为30 每天上班开动机床时 机床正常的概率为75 检验人员为检验机床是否正常 开动机床生产出了一件产品 经检验 该产品为不合格品 问此时机床处于正常状态的概率是多少 解记A 机器处于正常状态 B 生产出的一件产品为不合格品 0 75 0 25 0 1 0 7 此时机器处于不正常状态的概率为0 7 应检修 17 注 已知某事件已发生 求另一事件的概率则为求条件概率 已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结果出现的条件概率 则由全概率公式 可求得某结果出现的概率P B 非条件概率 由Bayes公式 可求得结果B是由某原因引起的 后验 条件 概率 应用全概率公式和Bayes公式时要注意其条件 原因两两不相容 18 19 关于条件概率的问题 20 例从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞 求2张都是假钞的概率 解令A表示 从两张中任抽一张 结果是假钞 例2 C表示 2张至少有一张是假钞 21 22 女孩问题 设有两个孩子的一对新夫妇刚搬到某小镇 假定有人在路上遇到母亲与她的一个孩子散步 若这个孩子是女孩 问她的两个孩子都是女孩的概率是多少 23 24 25 一个教授都容易回答错误的问题的解答 26 一 什么是贝叶斯推断 27 28 29 30 31 32 33 什么是贝叶斯过滤器 34 35 36 37 38 39 五 事件的独立性 引例E 传染病抽检 已知该病犯病率为1 A 前99位查没病 B 第100位有病 定义1若事件A B满足 P AB P A P B 则称A与B相互独立 通常根据直观意义判断独立性 再反用定义 40 定理下面四个等式是等价的 证明 1 2 类似地可证 2 3 3 4 4 1 41 解 定义2称A B C相互独立 是指下面等式成立 例5设有四张卡片 一张涂有红色 一张涂有白色 一张涂有黑色 一张涂有红 白 黑三种颜色 从中任意取一张 令A 抽出的卡片上出现红色 B 抽出的卡片上出现白色 C 抽出的卡片上出现黑色 试分析A B C的独立性 A B C 但 即A B C两两独立 但A B C不相互独立的 对比乘法公式看其意义 42 一般称A1 A2 An相互独立 是指下面等式成立 P Ai1Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 1 i1 i2 ik n 2 k n 例6设某人玩电子射击游戏 每次射击命中目标的概率是p 0 004 求他独立地射击n次能命中目标 至少一次 的概率 解 记Ai 第i次命中目标 i 1 2 n A 射击n次能命中目标至少一次 则 独立地 说明小概率事件也不能忽略 43 注 互不相容与相互独立是两个不同的概念 相互独立 互不相容 一般二者不同时成立 相互独立的性质 若n个事件相互独立 则其中任意m个事件也相互独立 把其中任意m个事件换成对立事件以后 所得的n个事件也相互独立 练习2讨论两事件互不相容与相互独立的关系 练习3一架长 zhang 机带两架僚机飞往某地进行轰炸 只有长机能确定具体目标 在到达目标上空之前 必须经过敌高炮防空区 这时任一架飞机被击落的概率为0 2 到达目标上空之后 各飞机将独立地进行轰炸 炸毁目标的概率都是0 3 试求目标被炸毁的概率 是非题1若P A 0 则A 若P A 1 则A 如几何概型中任一基本事件概率为0 44 练习2讨论互不相容与相互独立的关系 解 1 若P A P B 0 则二者不可能同时成立 因为 a 若A B互不相容 即AB 则 0 P AB P A P B 即A B不相互独立 b 若A B相互独立 即P AB P A P B 0 则 AB 即A B相容 2 若P A P B 0 则二者有可能同时成立 因为 A B互不相容 即AB 则二者可同时成立 此时P AB P A P B 0 AB 除非已知 即A B必相互独立 但 45 练习3一架长 zhang 机带两架僚机飞往某地进行轰炸 只有长机能确定具体目标 在到达目标上空之前 必须经过敌高炮防空区 这时任一架飞机被击落的概率为0 2 到达目标上空之后 各飞机将独立地进行轰炸 炸毁目标的概率都是0 3 试求目标被炸毁的概率 列出式子即可 解记Bi为长机与i架僚机到达目标上空 i 0 1 2 A为目标被炸毁 则 P B0 0 8 0 22 0 032P B1 2 0 82 0 2 0 256 P B2 0 83 0 512 故 0 4765 B0B1B2 P A Bi A P Bi P A B0 0 3 或 P A B2 1 0 73 0 657 P A B1 1 0 72 0 51 46 随机事件 第一章小结 随机试验 样本空间 所有 关系 运算 AB A B A AB 独立P AB P A P B 公式P AB P A P B A P A B P A 公理化定义1 P A 02 3 条件概率 全概率公式P B i 1nP Ai P B Ai Bayes公式 统计古典几何概率 47 概率论与数理统计 作业交两面内容全学的页码 48 1990年 美国 Parade展示 杂志 AskMarilyn 专栏的主持人玛莉莲 莎凡收到了一名读者的提问 假设你正在参加一个游戏节目 你被要求在三扇门中选择一扇 其中一扇后面有一辆汽车 其余两扇后面则是山羊 你选择了一扇门 假设是一号门 然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门 假设是三号门 他然后问你 你想选择二号吗 一个教授都容易回答错误的概率问题 49 1 4条件概率与事件的独立性 一 条件概率 1 问题E 产品 N个产品中含M个次品 随机抽样 Ai 第i次抽到次品 i 1 2 放回抽样时 不放回抽样时 P A2 P A2 P Ai P A2 50 2 定义 为在B发生的条件下 A发生的条件概率 注2 条件概率满足三条公理及概率的其它性质 注1 P A B 是将样本空间压缩成B 事件A压缩成AB后计算概率 P A B 本质上是一个无条件概率 AB 设A B为两随机事件 且P B 0 则称 51 例1设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为80 在40年内发生特大洪水的概率为85 现已知该地区已经30年未发生特大洪水 问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少 解记A 30年内无特大洪水 B 未来10年内有特大洪水 则 二 乘法公式 A 40年内无特大洪水 52 例2设A盒内有M个黑球 B盒内有同种质地 大小的M个白球 现让某人从B盒内随机摸取一球放入A盒中 然后再从A盒中随机摸取一球放入B盒中 称此为一次交换 若经M次交换后 A中恰有M个白球则此人可获奖 问此人获奖的概率是多少 解设 53 例3袋中有5个球 3个红球 2个白球 现每次任取1个 取后放回 并同时放入3个同色的球 记Ai为第i次取到红球 求概率P A2 解 问题 A3由哪几个原因引起 54 三 全概率公式 B 则对任何事件B有 证 A1A2 An BA1 BA2 BAi BAn 设A1 A2 An是对的一个划分 注意 解题时先画因果关系图 多因一果 A1Ai An P B Ai B P Ai 例1 17 P10 矿工逃生问题 BA1 55 例从一副不含有大小王的扑克牌中不妨会的抽取两张 求两张牌点数相同的概率 56 例从一副不含有大小王的扑克牌中不妨会的抽取两张 求第二张牌点数大于第一张的概率 57 例 2005 从数1 2 3 4中任取一个 记为X 再从1 X中任取一个 记为Y 则 解 试验分为两个阶段 Y 2是第2阶段的结果 第1阶段的所有结果是Y 2发生的一组前提条件 58 例某种产品的商标为 MAXAM 其中有两个脱落 有人捡起随意放回 求放回仍为 MAXAM 的概率 解 试验分两阶段第一阶段是字母脱落 第2阶段是捡起放回 放回仍为 MAXAM 是第2阶段的结果 设为A 它与第1阶段脱落的情况有关 则 代入即得 用B表示脱落的两个字母相同 59 赌徒输光问题 设甲乙二人赌博 每局输赢1元钱 每局甲赢的概率为p 开始时甲乙二人各有m n元钱 约定赌到一个人输光为止 求甲输光的概率 60 可以解得 61 四 Bayes公式 P Ai P Ai B A1A2 An P B Ai B 设A1 A2 An是对的一个划分 则 P Ai 先验概率 P Ai B 后验概率 B B 证明 62 例4一台机床正常时 产品的合格率为90 非正常时 产品的合格率为30 每天上班开动机床时 机床正常的概率为75 检验人员为检验机床是否正常 开动机床生产出了一件产品 经检验 该产品为不合格品 问此时机床处于正常状态的概率是多少 解记A 机器处于正常状态 B 生产出的一件产品为不合格品 0 75 0 25 0 1 0 7 此时机器处于不正常状态的概率为0 7 应检修 63 一个教授都容易回答错误的问题的解答 64 一 什么是贝叶斯推断 65 66 67 68 69 70 71 什么是贝叶斯过滤器 72 73 74 75 76 77 注 已知某事件已发生 求另一事件的概率则为求条件概率 已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结果出现的条件概率 则由全概率公式 可求得某结果出现的概率P B 非条件概率 由Bayes公式 可求得结果B是由某原因引起的 后验 条件 概率 应用全概率公式和Bayes公式时要注意其条件 原因两两不相容 78 五 事件的独立性 引例E 传染病抽检 已知该病犯病率为1 A 前99位查没病 B 第100位有病 定义1若事件A B满足 P AB P A P B 则称A与B相互独立 通常根据直观意义判断独立性 再反用定义 79 定理下面四个等式是等价的 证明 1 2 类似地可证 2 3 3 4 4 1 80 解 定义2称A B C相互独立 是指下面等式成立 例5设有四张卡片 一张涂有红色 一张涂有白色 一张涂有黑色 一张涂有红 白 黑三种颜色 从中任意取一张 令A 抽出的卡片上出现红色 B 抽出的卡片上出现白色 C 抽出的卡片上出现黑色 试分析A B C的独立性 A B C 但 即A B C两两独立 但A B C不相互独立的 对比乘法公式看其意义 81 一般称A1 A2 An相互独立 是指下面等式成立 P Ai1Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 1 i1 i2 ik n 2 k n 例6设某人玩电子射击游戏 每次射击命中目标的概率是p 0 004 求他独立地射击n次能命中目标 至少一次 的概率 解 记Ai 第i次命中目标 i 1 2 n A 射击n次能命中目标至少一次 则 独立地 说明小概率事件也不能忽略 82 注 互不相容与相互独立是两个不同的概念 相互独立 互不相容 一般二者不同时成立 相互独立的性质 若n个事件相互独立 则其中任意m个事件也相互独立 把其中任意m个事件换成对立事件以后 所得的n个事件也相互独立 练习2讨论两事件互不相容与相互独立的关系 练习3一架长 zhang 机带两架僚机飞往某地进行轰炸 只有长机能确定具体目标 在到达目标上空之前 必须经过敌高炮防空区 这时任一架飞机被击落的概率为0 2 到达目标上空之后 各飞机将独立地进行轰炸 炸毁目标的概率都是0 3 试求目标被炸毁的概率 是非题1若P A 0 则A 若P A 1 则A 如几何概型中任一基本事件概