三角函数模型的简单应用.doc

1.6三角函数模型的简单应用优效预习学习目标1会用三角函数解决一些简单实际应用问题，体会三角函数是描述周期性变化现象的主要函数模型。2掌握三角函数模型应用的基本类型：（1）根据图像建立解析式（2）根绝解析式作出图像（3）将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。新知自学1.三角函数式描述现世界中_现象的一种数学模型。2.三角函数模型的应用（1）如何确定三角函数模型（2）解决三角函数应用问题的一般步骤:(1)审题：理解用文字语音表达的实际问题的类型及问题的实质，初步预测所属的数学模型(2)建模：将题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系-建立三角函数模型（3）解模：运用三角函数的有关方式进行推理、运算，使问题得到解决（4）还原评价：对解出的结果要代入原问题进行检验、评价自主小测：1.图1.6-1是一机械振动的传播图,图中甲乙丙丁四点经半个周期 后到最高点的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁2某人的血压满足函数式，其 f（t）为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）A60 B.70 C.80 D.903.函数的部分图像是（ ）4图1.6-2是弹簧振子做简谐运动的图像，横轴表示运动的时间，纵轴表示运动的位移，则这个振子运动的函数解析式是（ ）5如图所示1.6-3所示的图像显示是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y在某天24小时内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为典例1.(1)图1.6-4是表示电流强度I与时间t的关系的图像试根据图像写出的解析式；（2）为了使中t在任意一段间隔为s的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值-A，那么正整数的最小值是多少？问题1.如何确定振甫A？问题2.相邻的最大值与最小值的间隔是多少？问题3.若在任意一段间隔t内都能取到最大值与最小值，则t与Tde关系式什么？总结：确定函数关系式就是确定其中的参数A，从图像特征上看，A由最值确定，由周期确定，而周期可通过特殊点求得，如相邻的最大值点与最小值点相差半个周期，可由在图像上的特殊点求得，在确定值时，注意它的不唯一性，一般取的绝对值中最小的。训练1.如图1.6-5所示，某地夏天8时14时用电量变化曲线近似满足函数式（1） 求期间的最大用电量及最小用电量；（2） 写出这段曲线的函数解析式典例2.一个悬挂在弹簧上的小球，静止时如图1.6-6,现从他的静止位置向下拉0.2m的距离，在t=0时小球被放开并开始振动，1s后回到这一位置。（1） 求出描述此小球运动的一个函数关系式（2） 求当t=6.5s时小球所在的位置问题1.题中小球的振动有没有周期性？问题2.离开平衡位置的最大距离是多少？总结：三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考察最多，尤其要弄清振幅，频率，周期，平衡位置等物理概念的意义和表示方法。训练2.单摆从某点开始左右摆动，他离开平衡位置的距离s和时间t的函数关系是，求：（1） 单摆开始摆动（t=0）时离开平衡位置的距离；（2） 单摆离开平衡位置的最大距离：（3） 单摆来回摆动一次所需要的时间典例3.一半径为3m的水轮如图1.6-7所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P。）开始计算时间（1） 求点P相对于水面高度h与时间t之间的函数关系式；（2） 点P第一次达到最高点大约需要多长时间？问题1.点P的运动是否有规律？问题2.解三角函数应用问题的关键是什么？总结：对于具有周期性变化的问题，且有最大值，最小值，一般可以考虑函数解析式，从而应用三角函数的性质求解.训练3.如图1.6-8，某动物种群数量在某年1月1日低至700，当年7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化，求出种群数量y关于时间t的函数表达式（其中t表示年初以来的月份累计量）随堂检测：1. 电流I随时间变化的关系式是，则电流I变化的最小周期是（ ）A. B.50 C. D.1002.已知A1，A2，,An为凸多边形的内角，且lgsinA1+lgsinA2+lgsinAn=0,则这个多边形是（ ）A.正六边形 B.梯形 C.矩形 D.含锐角的棱形3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位是每分钟一辆，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）的单位是每分钟一辆，t的单位是分，则车流量递增的时间段是（ ）A0，5 B5，10 C10，15 D15，204.振动量的初相和频率分别是和，则它的相位是（ ）5.如图1.6-9，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离y随时间t的变化曲线是一个三角函数的图像（1）经过多长时间，小球往复振动一次？（2）求这条曲线的函数解析式；（3）小球在开始振动时，离开平衡位置的距离是多少？章末复习课回顾练习1.将函数y=sinx的图像的所有点的横坐标缩小为原来的倍(纵坐标不变),再把所得图像向左平移个单位,得到的函数解析式为( )A. B. C. D.2.函数的图像的一条对称轴是（ ）A.x= B.x=0 C.x= D.x=3.已知a是实数，则函数的图像不可能是（ ）4.5.若tana=2，则6.已知函数在一个周期内的图像如图1-1所示.（1） 求函数的解析式（2） 其函数的单调区间专题一：同角三角函数关系式及诱导公式的应用三角函数的化简、求值与三角函数恒等式的证明是本章的重点内容之一，解决此类问题时，要注意准确、灵活的运用诱导公式及同角三角函数的基本关系式，同时还要注意转化思想的运用，如切化弦，弦化切，1，得整体代换等，在条件求值中，要紧紧抓住已知条件，对所求式子进行简化、整合.例1.（1）化简：； （2）已知=2，求得值.原式=-cosa（3） 原式=因为=2，所以原式=解后反思：（1）三角函数的化简要求：项数尽量少；次数尽量低；能求值得要求值（2）对于求值问题，通常是先简化，在带入求值（3）三角函数恒等式的证明，一般有三种路径，可左推右，可右推左，也可左，右同时化简，总的原则是由繁到简训练1.已知，求sina-cosa的值.训练2.求得值，其中专题二：三角函数的图像及图像变换三角函数的图像问题包括三角函数的图像变换、利用函数解析式作图像、利用函数图像求解析式以及利用函数图形确定函数的零点、参数等问题，由于它是树形结合的有力体现，故在高考中时常出现命题点。对图像变换的考察主要集中在求三角函数经历某些变换后的参数值或者解析式；而根据图像求函数解析式则主要考查读图能力与分析能力例2.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图像，若f（x），g（x）的图像都经过点，则得值可以是（ ）A. B. C. D.解析：因为，所以所以，因为g（0）=所以。带入验证各选项，知B项正确解后反思：只要点在函数图像上，就可带入函数式中，以此列出方程，求出的值，注意的值并不是唯一的，由于此题仅为选择题，故可通过直接赋值得到选项训练3.要使函数的图像成为偶函数的图像，可以把其图像（ ）A.左移个单位长度 B.右移个单位长度C.左移个单位长度D.右移个单位长度专题三：三角函数的性质解决三角函数的性质问题，数形结合是最好的方法.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、最值等，涉及内容比较广，此部分是三角函数的重中之重，是高考命题的重点，也是高考的热点例3.已知函数解：（1）因为所以T=（2）由（1），知，令，得故f（x）的单调递增区间是（3）由可得，当，即时，取得最大值，最大值为，此时x的集合为，当，即，时，f(x)取得最小值，为，此时x的集合为解后反思：解答此类三角函数性质的综合问题，关键是准确的将函数进行化简，这就要求熟记三角函数的诱导公式，同三角函数的关系式、化简得常用方法及三角函数自身的性质训练4.已知函数(1)令，判断函数的奇偶性，并说明理由：(2)令，将函数y=f（x）的图像向左平移个单位长度，在往上平移1个单位长度，得到函数y=g（x）的图像，对任意的，求y=g（x）在区间上零点个数的所有可能值训练5.已知函数，其中为实数,若对恒成立,且,则f(x)的单调递增区间是( )A. B.C. C.专题四：数形结合思想的应用数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，使数学的规律性与灵活性有机地结合在一起，研究三角函数的图像与性质离不开数形结合思想，它通常有两种形式：（1）利用单位圆或函数图像解决角的范围或三角不等式问题；（2）利用三角函数图像，求解方程的解的个数或由已知方程的解的个数求方程中参数的范围。例4.已知函数在一个周期内的图像如图1-2所示（1） 求函数f（x）的解析式；（2） 求方程f（x）-lgx=0的实数解的个数提示：（1）由形索数，利用最高点坐标，确定A，把特殊点带入函数解析式，可求；（3） 将f（x）-lgx=0看做两个函数的差，作出他们的图像，根据交点个数确定方程的解的个数解：（1）由图1-2，知A=2由图像过点（0,1），得f(0)=1,即因为，所以已知是图像上的点，则，即，由图像可知，是图像在y轴右侧部分与x轴的第二个交点所以，所以，因此，所求函数的解析式为(1） 在同一坐标系中作函数和函数y=lgx的示意图如图所示因为f（x）的最大值为2，所以令lgx=2，得x=100因为令，得，而，且，所以在区间（0,100）内有31个形如的区间，在每个区间上y=f(x)与y=lgx的图像都有两个交点，姑这两个函数图像在上有（个）交点，另外，在上还有1个交点，所以方程f（x）-lgx=0共有63个实数根解后反思：本题充分展示了数形结合思想在三角函数中的应用，数形结合思想化抽象为将具体，化复杂为简单，直观明确训练6.方程的解的个数是（ ）A.5 B.6 C.7 D.8训练7.确定方程的实数解的个数专题5：分类讨论思想在三角函数图像中，文字性的描述往往会将图形所具备的的集中情形加以统一描述，掩盖了可能出现的不同图像情形，因此，在进行图像方面的解题时，应多注意考虑不同清醒的可能性，只有分析清楚这些，才能真正到对三角函数图像的掌握。例5.已知函数的图像在y轴上的截距为1，且y轴右侧的第一个最大值点为，求函数的解析式提示：在y轴的右侧的第一个最大值点为，不能使函数图像唯一性，有可能存在两种情况解：由题意，知，函数图像有两种可能（1） 函数图像如图1-4所以，易知（0,1），分别对应y=sinx图像上的点，于是解得训练8.设关于x的函数的最小值为f（a），试确定满足的a的值，并对此时的a值求y的最大值2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念 2.1.2向量的几何表示2.1.3 相等的向量与共线向量优效预习学习目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示2. 掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量。共线向量等概念新知自学1平面向量的概念（1） 汽车向东北方向行驶的路程是60km，行驶速度的大小为，方向是东北方向，此题中涉及哪些物理量？他们有什么区别？（2） 概念：既有（ ），又有（ ）的量叫做向量（3） 向量有那几个要素？它与数量的区别是什么？3. 平面向量的表示方法（1）带有（ ）的线段叫做有向线段，他包含三个要素（ ） ( ) ( )(2)向量的表示：向量可以用（ ）表示，如图2.1-1所示，可以用小写字母表示，如a，也可以用有向线段的起点与终点字母表示，如(3)向量的大小，也就是向量的长度3.几种特殊的向量（1）零向量：长度为（ ）的向量叫做零向量，记做0（2）单位向量：长度等于（ ）的向量叫做单位向量（3）相等向量：长度（ ）且方向（ ）的向量叫做相等向量（4）平行向量：方向（ ）的：非零向量叫做平行向量，规定：零向量与任一向量（ ）即对于任意向量a，都有（ ）/( )1.已知数轴上点A、B分别对应-1,2，则向量的长度是（ ）A.-1 B.2 C.1 D.32.设O是正方形ABCD的中心，则向量是（ ）A平行向量 B.有相同终点的向量C相等向量 D.模相等的向量3.已知点O固定，且，则点A的轨迹是（ ）A.一个点 B.一条直线 C.一个圆 D.不能确定4.若四边形ABCD满足，且，则四边形ABCD的形状是（ ）高效课堂：课堂互学：典例1：判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.(1) 若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点必在同一直线上；(2) 单位向量都相等；(3) 在四边形ABCD中，当=时，四边形ABCD是平行四边形；(4) 一个向量的方向不确定当且仅当模为0；(5) 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.问题1.单位向量的方向怎样？大小如何？问题2.对于一个向量来说，它的大小和方向一定是确定的吗？请举例说明.总结：对象两的有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，数量知考虑大小，而向量是比较特殊的向量，解题时要注意不可忽视零向量的存在.训练1.给出下列命题 若ab，则a一定不与b共线； 若,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点； 在ABCD中，一定有; 若向量a与任一向量b平行，则a=b;其中所有正确命题的序号为（ ）要点二：平面向量的表示典例2.一辆汽车从点A出发向西行驶了100km到达点B，然后改变方向，向西偏北50行驶了200km到达点C，最后改变方向，向东行驶了100km到达点D.（1） 作出向量;（2） 求.问题1.解决此类问题的关键是什么？问题2.如何决定本题中的某一向量？总结：准确画出方位图和有向线段是解决此题的关键.画向量时，先确定起点，再根据向量的方向和大小确定终点.训练2.如图2.1-2所示，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出多少个非零向量？分别是什么？要点三:相等向量和共线向量典例3.如图2.1-3，点O为正方形ABCD的对角线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形.在图中所示的向量中：（1） 分别写出与相等的向量；（2） 写出与共线的向量；（3） 写出模与的模相等的向量.问题1.相等向量要满足的条件是什么？问题2.共线向量一定在同一条直线上吗？上图中向量与向量是共线向量吗？总结：相等向量要同时满足长度相等和方向相同；共线向量只是表示向量的有向线段平行或在同一条直线上；模相等的向量只是长度相等，不必考虑方向.训练3.如图2.1-4，在四边形ABCD中，M,M分别是BC，AD的终点，且.求证：.教材提炼1. 向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时，一定要从大小和方向两个方面去考虑.2. 共线向量与平行向量是一组等价的概念，两个共线向量不一定要在同一条直线上；当然，同一条直线上的向量也是平行向量.3. 注意：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，而没有确定方向随堂检测1. 如图2.1-5，在等边三角形ABC中，P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点，则与向量相等的向量是（ ）A.与 B.与C.与 D.与2.已知a,b为两个单位向量，则下列四个命题中正确的是（ ）A.a=b B.若a/b,则a=bC.a=b或a=-b D.若a=b,b=c,则a=c3.如图2.1-6，在四边形ABCD中，如果,那么必有（ ）A. B.C. D.4.如图2.1-7，若四边形ABCD是菱形，则在向量中，相等的有对.5.如图2.1-8，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，图中共有16个格点，从中选取2个格点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数是6.如图2.1-9所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且.在以A,B,C,D,E,F,O为起点或终点的向量中：（1） 模与a的模相等的向量有多少个？（2） 与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？（3） 与共线的向量有哪些？.平面向量的线性运算.向量加法运算及其几何意义优效预习学习目标. 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算新知自学. 向量加法的定义（） 一架飞机先从广州飞往上海，再从上海飞往北京，这两次位移的结果与飞机直接从广州飞往北京的位移相同吗？为什么？这体现了向量的什么运算？（） 向量加法的定义，求两个向量的运算，叫做向量的加法向量加法的运算法则（）如图.，某质点从点经点到点，两次位移的结果与哪个位移相同？你能据此写出什么样的加法算式？（）三角形法则：如图.已知非零向量，在平面内任取一点，作，则向量叫做与的和，记做，即这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则（）如图，将（）中的平移至的位置，则，根据（）中的结论，试写出的运算结果（）平行四边形法则：如图.，已知两个不共线向量，作，以，为邻边作，则的对角线就是与的和，这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则对于零向量与任一向量，规定：（）的运算结果是什么？据此猜想个向量加法的运算法则.向量加法的运算律（）实数加法的运算律有哪些？向量的加法既然是一种运算，那么它是否也有类似的运算律？（）向量加法的运算律交换律：；结合律：（）；自主小测.若向量表示向东走，向量表示向南走，则向量表示（）向东南走向东南走向东北走向东北走.化简等于（）在四边形中，则四边形一定是（）矩形菱形正方形平行四边形.如图所示.所示的方格中有定点，则（）.已知，则的取值范围是高效课堂要点一：向量的加法运算法则典例.设表示“向西走”，表示“向北走”则表示向哪个方向行走了多少千米？问题“向西走”有大小和方向吗？如果有，大小和方向分别是什么？问题2.向量求和有哪两个基本法则？总结：用三角形法则时要注意向量首尾相连，此法则可以推广到个向量相加；和向量是从第一个向量的起点指向第n个向量的终点.两个不共线的向量求和，用三角形法则比用平行四边形法则简便.训练1.已知船在静水中的速度为20m/min,水流的速度为10m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.要点二：向量的加法运算典例2.如图2.2-6所示，在正六边形ABCDEF中，( )A.0 B. C. D.问题1.分别与哪个向量相等？问题2.如何进行多个向量的加法运算？总结：本题中利用，把没有联系的三个向量转化为首尾相连的向量，为运用向量加法的三角形法则做好了准备.训练2.化简要点三：向量在平面几何中的应用典例3.已知在矩形ABCD中，AB=，BC=2,试作出向量c=a+b，并求出c的大小.问题1.作向量c=a+b时，需要用到向量加法的什么法则？问题2.计算c的大小时，需要用到什么定理？总结：两个不共线向量的和向量恰好是以表示这两个向量的有向线段为邻边的平行四边形的对角线表示的向量，结合图形，可以很方便地作出和向量或求和向量的模.训练3.已知P是线段AB的中点，对任意点O，求证：.教材提炼. 向量和的三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的.当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则. 向量的三角形法则可以推广到个向量求和的情形，作图时要求向量“首尾相连”，n个首尾相连的向量的和是从第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量. 向量的加法满足交换律，因此，在进行多个向量的加法运算时，尅按照任意的次序和任意的组合去进行.随堂检测1.下列各式不一定成立的是（ ）A.a+b=b+a B.0+a=aC.D./a+b/=/a/+/b/2.在矩形ABCD中，则向量的长度等于（ ）A. B. C.12 D.63.设b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为（ ）a/b;a+b=a;a+b=b;/a+b/0时，的方向与的方向_当0时, 的方向与的方向_当=0时, 的方向与的方向_2.向量数乘运算的运算律（1）与分别表示什么？结果是什么？（2）吗？成立吗？（3）向量数乘运算的运算律设为实数，那么_3.向量共线定理（1）如果两个向量共线，那么这两个向量的方向有什么关系？（2）向量与（为常数）共线吗？（3）向量共线定理：向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使_4.向量的线性运算（1）定义；向量的_运算统称为向量的线性运算（2）对于任意向量，以及任意实数，恒有_自主小测1. 已知为两个非零向量，下列说法错误的是（ ）A 2与的方向相同，且2的模是的模的2倍B-2与的方向相同，且2的模是的模的倍C.-2与是一对相反向量D与一对相反向量2. 设是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值