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第十讲 图形的基本运动（2）【典型例题1】点O是等边三角形ABC内一点，AOB=120，BOC=135，求以线段OA、OB、OC为边的三角形的三个内角解析：将AOB绕点B顺时针旋转60 使AB与BC重合 ABOCPB，OBP=60 BO=BP，AOB=BPC，1=3，AO=CP BOP是等边三角形 OP=BO，6=4=60 BOC=135，6+7=BOC 7=45 AOB=120 AOB=BPC=120 4+5=BPC 5=60 8=18057=1806045=75 AO=CP，OP=BO，OC=OC OPC与以线段OA、OB、OC为边的三角形全等以线段OA，OB，OC为边的三角形的三个内角为75，45，60点评：本题主要考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质.【知识点】1、图形旋转是图形的运动的一种情况，图形在运动的过程中，对应线段、对应角的大小不变。图形在旋转的过程中，对应线段的夹角相等，这个夹角就是旋转角。2、等边三角形的判定与性质判定：定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都等于60。3、全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有5种n 边角边判定：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。n 角边角判定：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“角边角”或“ASA”。n 角角边判定：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“角角边”或“AAS”。n 边边边判定：有三边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“边边边”或“SSS”。n 斜边、直角边判定：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。可简写为“斜边、直角边”或“HL”。（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，面积相等。【基本习题限时训练】1点O是等边三角形ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将OBC绕点B逆时针旋转60得DBA，则点D与点O的距离为（ ）（A）3（B）4（C）5（D）6解析：将OBC绕点B逆时针旋转60得DBA，并联结DO，DB=OB=4，DBO=60DBO是等边三角形，DO=4 故选BCBAA1B12如图，在ABC中，将ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在边AC上的点B1处，点A落在点A1处，那么的度数为（ ）（A）20（B）40（C）60（D）80解析：A1B1C是ABC翻折得到的 ABCA1B1C B+BAC+ACB=180，B=70，BAC=30ACB=80ACB=A1CB1 A1CB1 =80AC=A1C CAA1=CA1ACAA1+CA1A+A1CB1=180，CAA1=CA1A=50B1A1C=BAC=30，B1A1C+A A1B 1=AA1C，A A1B1=20故选A3如图，将ABC绕点A顺时针旋转60后，得到ABC，且C为BC的中点，则CDDB等于（ ）（A）（B）（C）（D）解析：判断ABC的特征是解决这个题的关键由旋转图形的性质很容易判断ACC是等边三角形，进而判断ABC是30角的直角三角形，那么ABBC选D4将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合已知AB=AC=8 cm，将MED绕点A(M)逆时针旋转60后（图2），则两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是（ ）.（A）（4816）cm2（B）（4816）cm2（C）（4816）cm2（D）（4816）cm2解析：设DM与BC交于F，过F作FHAC于H由题，DAE=60 ，BCA=45 FHAC，FHA=FHC=90，AFH=30F H在RtAHF中AH=FH，在RtHFC中HF=HC AC=8cm，FH+FH=8cm，FH=124（cm）S阴影=ACFH=8(124)=（4816）cm2，故选BAEC(F)DB图（1）EAGBC(F)D图（2）【压轴题1】如图，已知ACB与DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图（1）中的ACB绕点C顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，求线段FG的长度.解析：如图（2），RtABCRtDFE BC=EC CBE=CEBA=30，BCA=90B=60BCE是等边三角形BCE=BEC=60，BE=EC GCE=BCABCE=30CED=B=60，EGC=90，BCED又A=30，GCE=A，EC=EA BE=AEBCED = = =cosA=，AC=5，CG=FG=cm点评：本题主要考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质及锐角三角比.【典型例题2】把边长为a的等边三角形绕着它的一个顶点旋转60度，那么这个三角形的重心移动的路程是多少？解：由题，在等边ABC与等边ADC中AC=a，G、H为重心 EAC=ACB=DCA=60，GC=EC ECAB，CFAD，ECA=ACB=30，ACF=DCA=30 ECF=ECA+ACF=60， 在RtAEC中 sinEAC=sin60 EC= GC=a 点评：本题主要考查了图形的旋转、三角形重心的性质、弧长的计算公式。【知识点】1、图形旋转是图形的运动的一种情况，图形在运动的过程中，对应线段、对应角的大小不变。图形在旋转的过程中，对应线段的夹角相等，这个夹角就是旋转角。2、三角形的重心（1）定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.（2）性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.3、弧长的计算公式：设r为这条弧所在圆的半径，n为该弧所对的圆心角，则弧长【基本习题限时训练】1、在ABC中，AB=3，AC=4，ABC 绕着点A旋转后能与ABC 重合，那么ABB与ACC的周长之比为（ ）（A）3：4（B）4：3（C）3：5（D）4：5解析：选A2、已知抛物线与轴分别相交于A、B两点，将AOB绕着点O逆时针旋90到，则两点的坐标分别为（ ）.（A）（B）CABC1A1（C）（D）解析：选C3、如图，将直角三角尺ABC（其中）绕点B顺时针旋转一个角度到的位置，使得点A、B、在同一条直线上，如果AB的长度为10，那么点A转动到点走过的路程等于（ ）.（A）（B）（C）（D）解析：选B4、在平面直角坐标系中，点坐标为，过点作轴，垂足为点，绕点逆时针方向旋转，得到，若二次函数的图像经过点、三点.则这个二次函数的解析式为（ ）（A）（B）（C）（D）解析：由旋转可知：点的坐标为.设所求二次函数的解析式为 二次函数的图像经过点、三点，点坐标为， 这个二次函数的解析式为. 故选BABCMDE【压轴题2】如图，M是等腰直角三角形ABC的斜边BC上的中点，把一把直角三角尺的直角顶点放在点M上旋转，使两条直角边分别与ABC的边AB、AC相交于点D和点E，求证：MD=ME解：联结AM在等腰直角三角形ABC中，M是斜边BC中点AMBC, CAM=BAC，AM=BM， B=45，AMB=90BAC=90，CAM=45，CAM=BABCMDEDMB+AMD=90，AMD+AME=90 AME=DMB在BDM与AEM中： BDMAEM（A.S.A） MD=ME点评：本题主要考查了图形的旋转、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定及勾股定理逆定理的应用.【典型例题3】ABCDHFEG如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为 解析：联结CH，在正方形ABCD中，BCD=D=B=90BC=CD=3正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG且BCF=30CF=BC，F=B=90，FCD=60，CF=CD在RtFCH与RtDCH中：RtFCHRtDCH FCH=DCH=30在RtCDH中，CD=3 DH=点评：本题主要考查了图形的旋转、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质及勾股定理.【知识点】1、图形旋转是图形的运动的一种情况，图形在运动的过程中，对应线段、对应角的大小不变。图形在旋转的过程中，对应线段的夹角相等，这个夹角就是旋转角2、全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有5种n 边角边判定：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。n 角边角判定：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“角边角”或“ASA”。n 角角边判定：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“角角边”或“AAS”。n 边边边判定：有三边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“边边边”或“SSS”。n 斜边、直角边判定：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。可简写为“斜边、直角边”或“HL”。（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，面积相等。3、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。此外，还有两条定理也非常有用：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）直角三角形两个锐角互余。4、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。如：（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）。【基本习题限时训练】1将图形绕中心旋转1800后的图形是（ ）（A） （B）（C）（D）解析：选BADBCE2、如图，已知菱形中，点在边上，.把线段绕点逆时针方向旋转，使点落在边上，则旋转角的度数为（ ）（A）60或80（B）60或90（C）60或70（D）60或120解析：选CADCB3如图，已知正方形的边长为1如果将对角线绕着点旋转后，点落在的延长线上的点处，联结，那么的值为（ ）（A）（B）（C）（D）解析：选A【压轴题3】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，联结DF，G为DF中点，联结EG，CG（09山东德州市第23题）（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，联结EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再联结相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBADCEG图FBADCEG图DFBACE图 FBADCEGMNN图 （一）解析：（1）证明：在RtFCD中，G为DF的中点， CG=FD同理，在RtDEF中，EG=FD CG=EG（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG 证法一：联结AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中，AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，DAGDCG AG=CGFBADCEGM图 （二）在DMG与FNG中，DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG，DMGFNGMG=NG 在矩形AENM中，AM=EN在RtAMG 与RtENG中，AM=EN， MG=NG，AMGENG AG=EG EG=CG证法二：延长CG至M，使MG=CG，联结MF，ME，EC，在DCG 与FMG中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCG FMGMF=CD，FMGDCG MFCDAB在RtMFE 与RtCBE中，MF=CB，EF=BE，MFE CBEFBADCE图GMECMEFFECCEBCEF90MEC为直角三角形MG = CG， EG=MC（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG其他的结论还有：EGCG点评：本题主要考查了图形的旋转、正方形的性质、全等三角形 的判定等.【典型例题4】如图，已知ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点AQCDBP（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动（2009年包头市第25题） 点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由； 点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？解：（1）秒，厘米，厘米，点为的中点，厘米又厘米，厘米，又， ，又，则，点，点运动的时间秒，厘米/秒（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得秒点共运动了厘米，点、点在边上相遇，经过秒点与点第一次在边上相遇点评：本题主要考查了动点问题、全等三角形的判定及性质等.【知识点】1、动点问题：这类问题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量x、y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。2、全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有5种n 边角边判定：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。n 角边角判定：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“角边角”或“ASA”。n 角角边判定：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“角角边”或“AAS”。n 边边边判定：有三边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“边边边”或“SSS”。n 斜边、直角边判定：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。可简写为“斜边、直角边”或“HL”。（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，面积相等。【基本习题限时训练】1、如图，在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，联结PB、PQ，则PBQ周长的最小值为（ ）.（A）cm（B）cm（C）cm（D）cmDCPAB（图1）（图2）49yxO解析：选A2、如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A处停止设点P运动的路程为，ABP的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则矩形ABCD中的面积是（ ）（A）10 （B）16 （C）20（D）36解析：选C3、如图，等腰梯形中，=2，=8，的顶点在边上移动，一条边始终经过点，另一边与交于点，联结AF若AE=EF，则的长度为（ ）（A）8（B）5（C）2（D）3解析：AB=DC=5， 而 ABEFEC 当AE=E