《自动控制理论教学课件》二数学模型

2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 1 自动控制理论第二讲控制系统的数学模型 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 2 本章主要包括以下内容 建立系统数学模型的目的物理系统的动态描述 数学模型建立系统数学模型的一般步骤非线性数学模型的线性化传递函数控制系统的传递函数系统方块图及其变换系统信号流图与梅逊公式 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 3 建立控制系统数学模型的目的 用于对现存控制系统的研究 控制系统的数学模型代表了对系统特性的认识 在对系统知道的更多时还可以修改和扩展模型 在实际系统尚不存在时 可以借助模型来预测设计思想和不同控制策略的效果 从而避免建造试验系统所带来的费用浪费 以及由此所带来的危险 控制系统数学模型的建立对控制系统的研究 分析 与设计 综合 具有重要意义 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 4 物理系统的动态描述 数学模型 每一个自动控制系统都是由若干元件组成的 每个元件在系统中都有各自的功能 它们相互配合 就构成了一个完整的控制系统 共同实现对某个物理量 被控制量 的控制 而满足所要求的特定规律 如果把控制系统中各物理量 变量 之间的关系用数学表达式描述出来 就得到了此控制系统的数学模型 在静态条件下 即变量的各阶导数为零 描述各变量之间关系的数学方程称为静态模型 各变量在动态过程中的数学方程 称为动态模型 在自动控制系统的分析中 主要是研究动态模型 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 5 在自然界里 许多物理系统 无论是机械的 电气的 液压的 还是气动的 热力的 都可以通过微分方程来加以描述 在微分方程中 各变量的导数表示了它们随时间变化的特性 如一阶导数表示速度 二阶导数表示加速度等 因此微分方程完全可以描述系统的动态特性 微分方程是物理系统数学模型中最基本的一种 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 6 系统的数学模型可以用实验法和分析法建立 试验法 对实际系统加入一定形式的输入信号 求取系统的输出响应 然后对这些输入 输出数据进行处理 从而获得系统的数学模型 分析法 根据系统内部的变化机理 从元件或系统所依据的物理或化学规律出发 建立数学模型并经实验验证 机械系统的牛顿定律 能量守恒定律 电学系统的基尔霍夫定律等 都是建立系统数学模型所依据的基础 对系统的微分方程求解 就可以获得系统在外部控制作用下的动态响应 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 7 同一个控制系统的数学模型可以有许多不同的形式 如对连续系统 除了微分方程外 还有传递函数 频率特性等 各种数学模型之间可以互相转换 采用那种数学模型取决于建立数学模型的目的和控制方法 对于一个具体的系统 其内部结构 元件参数 特性以及外部干扰等 总是错综复杂的 为了在分析系统中 既不包罗万象 把系统数学模型搞得很复杂 又不忽略主要因素 而失去系统的准确性 必须对系统有全面透彻的了解 一个合理的数学模型应当既能准确地反映系统的动态特性 又具有较简单的形式 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 8 为了建立合理的数学模型 通常都进行一定的简化和线性化 应当特别重视在建立数学模型过程中所作的假设 实际系统都在不同程度上存在非线性和分布参数特性 如果这些因素对系统特性的影响不大时 可将其忽略不计 例如 在低频工作时 可不计弹簧质量 导线的分布电容等 但在高频工作时就不能忽略这些因素的影响 当工作点在磁化曲线或放大器特性的线性段时 可将它们看做线性的 但当工作点在大范围内变动超出线性段时 采用线性化的模型就会带来较大误差 必须注意建立数学模型的前提条件和适用范围 否则可能得出错误的结论 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 9 系统数学模型建立实例 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 10 R L C串联电路示意图 由电阻R 电感L 电容C组成的R L C电路 输入量为ur t 输出量为uc t 求该电路的微分方程 数学模型 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 11 R L C串联电路的数学模型 根据基尔霍夫定律 消去中间变量 此即R L C电路的数学模型 输入 输出模型 它描述了输入ur t 和输出uC t 之间的动态关系 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 12 机械平移系统示意图 由弹簧 质量 阻尼器组成的机械平移系统 外力f t 为输入信号 位移y t 为输出信号 列写其运动方程式 k 弹簧的弹性系数 m 运动部件的质量 阻尼器的粘性摩擦系数 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 13 机械平移系统的特点 在机械系统中 通常研究力 或转矩 与位移 或角位移 的因果关系 组成机械系统的基本元件有 弹簧 或弹性轴 阻尼器和运动部件 阻尼器是一种产生粘性摩擦阻力装置 所产生的阻力与运动速度成正比 阻尼器不储存能量 它将动能转化为热能消耗掉 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 14 机械平移系统的基本关系 假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计 运动部件的质量是集中参数 则运动部件产生的惯性力为 设弹簧的变形在弹性范围内 则弹性力为 阻尼器的阻尼力为 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 15 机械平移系统的数学模型 根据牛顿定律 可得此即机械平移系统以外力f t 为输入信号 位移y t 为输出信号的运动方程式 即数学模型 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 16 相似系统 电系统和机械平移系统虽然是不同的物理系统 但它们的微分方程却具有相同的形式 称为相似系统 相似系统的动态特性也相似 因此可以通过研究电路的动态特性研究机械系统的动态特性 由于电子电路具有易于实现和变换结构等优点 因此常采用电子电路来模拟其它实际系统 这种方法称为电子模拟技术 通过数字计算机求解系统的微分方程 或状态方程 来研究实际系统的动态特性 称为计算机仿真技术 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 17 恒定磁场他激直流电动机示意图 u t 电枢电压 为控制输入 ml t 作用在电动机轴上的总负载转矩 为扰动输入 t 电动机的转角 为输出量 假设电机轴上总转动惯量J是常数 各种机械转矩全部归并到负载转矩中 传输轴是刚性轴 电动机电枢电路的电阻 电感全部归并到电枢总电阻R 电感L中 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 18 恒定磁场他激直流电动机的基本关系 根据基尔霍夫定律 牛顿定律 直流电机特性 R L 电枢回路总电阻和总电感 H i 电枢电流 A e 电动机反电势 V u 电枢电压 V Ce 电势系数 V s rad J 电动机轴上总转动惯量 kg m2 m ml 电磁转矩 负载转矩 N m Cm 转矩系数 N m A 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 19 恒定磁场他激直流电动机的数学模型 方程联立求解 消去中间变量i e m 电动机的机电时间常数 s 电动机的电磁时间常数 s 电枢电压作用系数 rad V s 负载转矩作用系数 rad N m s 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 20 若系统的输出量为转速n r min 则不同物理系统可以有相同形式的数学模型 同一系统如果所选的输入量 输出量不同时 数学模型会不同 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 21 建立系统数学模型的一般方法 由于控制系统是由各种功能不同的元件组成的 因此要正确建立系统的运动方程式 首先必须研究系统中各个元件的运动方程式 以及这些元件在控制系统中相互联系时的彼此影响等 在列写系统和各元件的运动方程式时 一般需将系统划分成若干环节以使问题简化 所谓环节 是指可以组成独立的运动方程式的某一部分 环节可以是一个元件 也可能是一个元件的一部分或者由几个元件组成 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 22 建立系统数学模型的一般步骤 分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系 确定待研究系统的输入量和输出量 将系统划分为单向环节 并确定各个环节的输入量和输出量 所谓单向环节是指其后面的环节无负载效应 即后面环节存在与否对当前环节的动态特性没有影响 根据支配系统动态特性的规律 从系统的输入端开始 依次列写组成系统各环节的运动方程式 组成联立方程组 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 23 对联立方程组进行简化 线性化和增量化 并消去中间变量 得到只包含系统输入量和输出量的方程式 即系统的输出模型 将该方程式化为标准形式 即将与输入量有关的各项放在方程的右边 而与输出量有关的各项放在方程的左边 并将各导数项按降幂排列 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 24 非线性数学模型的线性化 工程实践中遇到的系统和元件的输入 输出特性或多或少存在着非线性 例如 放大器在大信号输入时输出出现饱和 磁化曲线有饱和和磁滞回环 齿轮传动中有间隙 为了便于研究 对非线性程度不严重的系统 总是尽可能地将非线性数学模型转换成近似的线性模型 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 25 应用小偏差线性化方法应注意的问题 所得的数学模型只有在所取的平衡工作点附近的小范围内才能保证线性化的准确性 通过小偏差线性化方法 通常得到的是经过简化 线性化 增量化的微分方程 即使变量前省去了 也应将变量理解为增量 经过增量化以后 相当于把坐标原点移到平衡工作点这时各变量的初始条件为零 当系统有本质非线性特性时 非线性特性有间断点 转折点和非单值关系 不能采用小偏差线性化方法 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 26 微分方程的求解与不足 微分方程是在时间域里描述控制系统动态性能的数学模型 在给定外作用及初始条件下 求解微分方程可以得到系统的输出特性 这种方法比较直观 特别是借助于电子计算机 可迅速准确地求得结果 然而不用计算机 则求解微分方程 特别是高阶微分方程的计算工作相当复杂 在时间域里直接求解微分方程 难于找出微分方程的系数 由组成系统的元件的参数决定 对方程解 一般为系统的被控制量 输出量 的影响的一般规律 一旦求得的结果不满足要求 便无法从解中找出改进方案 因此这种方法不便于对系统进行分析和设计 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 27 传递函数 在拉氏变换的基础上 引入描述线性定常系统 或元件 在复数域中的数学模型 传递函数 不仅可以表征系统的动态性能 而且可以借以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响 在经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法 都是在传递函数基础上建立起来的 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 28 拉普拉斯变换 工程技术上常用傅立叶方法分析线性系统 因为任何周期函数都可展开为含有许多正弦分量的傅氏级数 而任何非周期函数可表示为傅氏积分 从而可将一个时间域的函数变换为频率域的函数 傅立叶变换 工程实践中 常用的一些函数 如阶跃函数 它们往往不能满足傅氏变换的条件 如果对这种函数稍加处理 一般都能进行傅氏变换 因而也就引入了拉普拉斯变换 拉氏变换是求解线性微分方程的简捷工具 同时也是建立系统传递函数的数学基础 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 29 拉普拉斯变换的定义 以时间t为自变量 定义域为t 0的函数f t 的拉氏变换定义为 式中 s为复变量 s j 一个函数f t 可以进行拉氏变换的充分条件 狄里赫利条件 是 在t 0时 f t 0 在t 0的任一有限区间内 f t 是分段连续的 积分 在工程实际中 上述条件通常是满足的 F s 称为象函数 f t 称为原函数 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 30 常用函数的拉普拉斯变换 单位阶跃函数 单位阶跃函数的拉氏变换 幅度为A的阶跃函数的拉氏变换为 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 31 单位脉冲函数 幅值1 t0与作用时间t0的乘积等于1 单位脉冲函数的拉氏变换 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 32 当冲击函数的幅值为A t0 与作用时间的乘积等于A时 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 33 单位斜坡函数 单位斜坡函数的拉氏变换 斜率为A的斜坡函数的拉氏变换为 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 34 指数函数 指数函数的拉氏变换 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 35 正弦函数 正弦函数的拉氏变换 余弦函数的拉氏变换 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 36 拉普拉斯变换的性质 线性定理 若g t f1 t f2 t 则G s F1 s F2 s 即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和 若g t Af t 则G s AF s 即函数的A 实数 倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的A倍 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 37 拉普拉斯变换的性质 衰减定理 若g t f t e at则G s F s a A为实数 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 38 拉普拉斯变换的性质 延迟定理 若g t f t a 则G s e asF s 即一个函数是另一个函数延时a后再现 则它的象函数是另一个函数象函数的e as倍 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 39 拉普拉斯变换的性质 比例定理 若g t f t a 则G s aF as 即若一个函数在时间上展宽 或压缩 a倍 则它的象函数在复平面上向原点将收缩 或伸展 a倍 当a1时 g t 将被压缩 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 40 拉普拉斯变换的性质 时间t乘函数f t 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 41 拉普拉斯变换的性质 微分定理 若则 当初始条件f 0 0时 G s sF s 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 42 拉普拉斯变换的性质 微分定理 若则当f 0 0 f 1 0 0 f n 1 0 0时 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 43 拉普拉斯变换的性质 积分定理 若则 当初始条件g 0 0时 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 44 拉普拉斯变换的性质 积分定理 若则f 1 0 在t 0处的值 f 2 0 在t 0处的值 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 45 拉普拉斯变换的性质 初值定理 若函数f t 在t 0处无脉冲分量 则函数的初值为 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 46 拉普拉斯变换的性质 终值定理 若函数F s 在虚轴及右半平面没有极点 但极限存在 则原函数的终值为 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 47 拉普拉斯变换的性质 卷积定理 若函数f1 t 与f2 t 当t 0时都等于零 则称积分为f1 t 卷积f2 t 记作f1 t f2 t 同样称积分为f2 t 卷积f1 t 记作f2 t f1 t 若f1 t 与f2 t 均满足狄里赫利条件 则卷积的拉氏变换等于两函数拉氏变换之积 即 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 48 拉普拉斯变换的性质 卷积定理 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 49 拉普拉斯反变换 由拉氏变换的象函数F s 求原函数f t 的运算称拉氏反变换 求解复杂 不便于工程应用 对于大多数控制系统 可避免积分 而是利用部分分式展开 化象函数为拉氏变换表中包含的形式 查表得到原函数 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 50 在控制系统中 拉氏变换F s 可写成下列一般形式 因式分解 只包含不同实极点的情况包含共轭复数极点的情况包含多重极点的情况 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 51 拉普拉斯反变换 只包含不同实极点 实例 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 52 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 53 拉普拉斯反变换 包含共轭复数极点 实例 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 54 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 55 拉普拉斯反变换 包含多重极点 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 56 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 57 利用拉氏变换求解微分方程 考虑初始条件 对微分方程进行拉氏变换 将时域的微分方程变换为s域的代数方程 求解微分方程 得到微分方程在s域的解 求s域的拉氏反变换 即得到微分方程的解 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 58 例 求解 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 59 控制系统的传递函数 对一个线性定常系统 或元件 在零初始条件下 输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比值 叫做该系统 或该元件 的传递函数 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 60 R L C电路的传递函数 微分方程 设初始条件为零 对上式进行拉氏变换得 R L C电路的传递函数 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 61 一般系统的传递函数 传递函数的定义 对于线性定常系统 元件 在零初始条件下 输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比值 一般系统的微分方程 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 62 拉氏变换 零初始条件 系统的传递函数 D s 特征多项式 系统的阶次 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 63 系统的输入输出与传递函数的关系 传递函数的方块图 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 64 传递函数的性质 系统 或元件 的传递函数也是描述其动态特性的数学模型的一种 它和系统 元件 的运动方程式是相互一一对应的 若给定了系统 或元件 的运动方程式 则与之对应的系统的传递函数便可唯一地确定 传递函数表征了系统对输入信号的传递能力 是系统固有的特性 与输入信号类型及大小无关 与初始条件无关 传递函数和微分方程一样 是从实际物理系统中抽象出来的 它只反映系统中输出信号和输入信号之间的变化规律 而不表征系统的物理结构 不同物理结构的系统 可以有相同的传递函数 同一个系统中 不同物理量之间对应的传递函数也不相同 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 65 由于传递函数的分子分母多项式的各项系数是由系统的物理参数组成的 而物理参数总是实数 所以各多项式的系数均为实数 由于实际系统总有惯性 且系统信号的能量总是有限的 因此实际系统中有n m 传递函数的零极点形式 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 66 传递函数的拉氏变换是系统的脉冲响应 R s L t 1C s G s R s G s L 1 C s L 1 G s g t 系统的脉冲响应g t 与系统的传递函数G s 有单值对应关系 都可以用于表征系统的动态特性 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 67 典型环节的传递函数 线性系统的传递函数 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 68 分子 分母具有零根 分母sv 分子 分母具有实数根 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 69 分子 分母具有共轭复根 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 70 系统传递函数 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 71 放大环节 比例 K一阶微分环节 二阶微分环节 积分环节 惯性环节 振荡环节 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 72 典型环节的传递函数 比例环节 输出量以一定比例复现输入量 而毫无失真和时间滞后 运动方程式 传递函数 实例 电位器 输入电压 输出电压共射极晶体管放大器 输入电流 输出电流集成运算放大器 输入电压 输出电压测速机 转速 电压齿轮箱 主动轴转速 从动轴转速 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 73 典型环节的传递函数 惯性环节 输出量变化落后于输入量变化 含有储能元件 运动方程式 传递函数 实例 悬臂弹簧 左端输入位移 右端输出位移RC滤波器 电源电压 电容电压他激直流发电机 激磁电压 电势 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 74 典型环节的传递函数 积分环节 输出量的变化速度和输入量成正比 即输出量与输入量呈积分关系 微分方程式 传递函数 实例 传动轴 转速 转角齿轮齿条传动 齿轮转速 齿条位移积分器 输入电流 输出电压 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 75 典型环节的传递函数 振荡环节 包含两种储能元件 所储能量相互转换 如 位能和动能 电能和磁能 微分方程 传递函数 实例1 RLC振荡电路 输入电压 输出电压实例2 质量 弹簧 阻尼器系统 外力 质量的位移 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 76 典型环节的传递函数 一阶微分环节 理想微分环节 输出量正比于输入量的导数 实例 直流测速机 转角 电势 实际微分环节实例 RC串联微分电路 电源电压 电阻电压 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 77 典型一阶微分环节 一阶比例加微分环节 实例 RC并联微分电路 输入电压 输出电流 电位计测量角位移 测速发电机测量角速度 角位移 总输出电压 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 78 典型环节的传递函数 二阶微分环节 微分方程式 传递函数 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 79 典型环节的传递函数 延迟环节 延迟环节 时滞环节 输出量经延迟后才复现输入量 实例1 晶闸管整流装置 控制电压 输出电压 实例2 传输带 输入流量 输出流量 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 80 方块图及其变换 系统的方块结构图 结构图或方块图 将各个环节用带有传递函数的方块表示 再把各个环节之间按信息传递方向用箭头相连 系统的方块结构图不仅直观而形象地表明了系统信号的作用原理 而且定量地描述了系统的动态特性 是系统原理方块图与数学方程的结合 是用图形表示的数学模型 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 81 方块图简化规则 串联 并联 反馈 单位反馈连接 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模型 82 定义 前向通道传递函数G s 输出量Y s 作用误差信号E s 反馈通道传递函数H s 反馈信号F s 输出量Y s 开环传递函数G0 s G s H s 反馈信号F s 作用误差信号E s 闭环传递函数W s 输出量Y s 输入量R s 2020 4 20 第二讲控制系统的数学模