弹性力学-04ppt课件

第四章平面问题的极坐标解答 要点 1 极坐标中平面问题的基本方程 平衡微分方程 几何方程 物理方程 相容方程 边界条件 2 极坐标中平面问题的求解方法及应用 应用 圆盘 圆环 厚壁圆筒 楔形体 半无限平面体等的应力与变形分析 4 1极坐标中的平衡微分方程 4 2极坐标中的几何方程与物理方程 4 3极坐标中的应力函数与相容方程 4 4应力分量的坐标变换式 4 5轴对称应力与相应的位移 4 6圆环或圆筒受均布压力压力隧洞 4 7压力隧洞 4 8圆孔的孔口应力集中 4 9半平面体在边界上受法向集中力 4 10半平面体在边界上受法向分布力 主要内容 4 1极坐标中的平衡微分方程 1 极坐标中的微元体 体力 应力 PA面 PB面 BC面 AC面 应力正向规定 正应力 拉为正 压为负 剪应力 r 的正面上 与坐标方向一致时为正 r 的负面上 与坐标方向相反时为正 2 平衡微分方程 考虑微元体平衡 取厚度为1 将上式化开 两边同除以 两边同除以 并略去高阶小量 剪应力互等定理 两边同除以 当dr d 0时 有 于是 极坐标下的平衡方程为 4 1 方程 4 1 中包含三个未知量 而只有二个方程 是一次超静定问题 需考虑变形协调条件才能求解 4 2极坐标中的几何方程与物理方程 1 几何方程 1 只有径向位移 无环向位移 径向线段PA的相对伸长 a 径向线段PA的转角 b 线段PB的相对伸长 c 环向线段PB的转角 d 径向线段PA的相对伸长 a 径向线段PA的转角 b 环向线段PB的相对伸长 c 环向线段PB的转角 d 剪应变为 e 2 只有环向位移 无径向位移 径向线段PA的相对伸长 f 径向线段PA的转角 g 环向线段PB的相对伸长 环向线段PB的转角 h i 剪应变为 j 径向线段PA的相对伸长 f 径向线段PA的转角 g 环向线段PB的相对伸长 h 环向线段PB的转角 i 剪应变为 j 3 总应变 整理得 4 2 极坐标下的几何方程 2 物理方程 平面应力情形 平面应变情形 4 3 4 4 弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程 平衡微分方程 4 1 几何方程 4 2 物理方程 4 3 平面应力情形 边界条件 位移边界条件 应力边界条件 为边界上已知位移 为边界上已知的面力分量 位移单值条件 取半径为a的半圆分析 由其平衡得 弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程 平衡微分方程 几何方程 物理方程 平面应力情形 边界条件 位移边界条件 应力边界条件 弹性力学平面问题直角坐标下的基本方程 直角坐标下按应力求解平面问题的基本步骤 常体力情形 应力函数的求解方法 1 逆解法 2 半逆解法 4 3极坐标中的应力函数与相容方程 1 极坐标下应力分量与应力函数的关系 2 极坐标下应力函数表示的相容方程的形式 本节要点 1 直角坐标下应力分量与变形协调方程 相容方程 应力分量的求取 由平衡微分方程 无体力情形 应力相容方程的求取 由应变协调方程 相容方程 将物理方程 平衡微分方程代入 化简得 2 22 代入应力分量式 2 28 得 应力函数表示的相容方程 2 27 2 25 平衡微分方程 直角坐标下Laplace算子 1 极坐标与直角坐标间的关系 2 应力分量的坐标变换 2 极坐标下的应力分量与变形协调方程 相容方程 a b c 由直角坐标下应力函数与应力的关系 2 26 4 5 可以证明 式 4 5 满足平衡方程 4 1 说明 3 相容方程的坐标变换 极坐标下应力分量与应力函数的关系 式 4 5 仅给出体力为零时的应力分量表达式 作为作业 直角坐标下Laplace算子 在极坐标下Laplace算子的形式 a b 将式 a 与 b 相加 得 3 相容方程的坐标变换 得到极坐标下的Laplace微分算子 极坐标下的相容方程为 4 6 方程 4 6 为常体力情形的相容方程 注意 极坐标下应力函数表示的相容方程 弹性力学平面问题的极坐标求解归结为 小结 1 由问题的条件求出满足式 4 6 的应力函数 4 6 2 由式 4 5 求出相应的应力分量 4 5 3 位移边界条件 应力边界条件 为边界上已知位移 为边界上已知的面力分量 位移单值条件 4 4应力分量的坐标变换式 1 用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量 4 8 2 用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量 4 9 轴对称问题 4 6 由式 4 5 和 4 6 得应力分量和相容方程为 4 10 应力分量 相容方程 4阶变系数的常微分方程 4 5轴对称应力与相应的位移 4 11 轴对称问题相容方程的通解 A B C D为待定常数 1 应力分量 4 10 将方程 4 11 代入应力分量表达式 4 12 轴对称平面问题的应力分量表达式 对上式积分四次 得通解 2 位移分量 对于平面应力问题 有物理方程 a 积分式 a 中第一式 有 b 是任意的待定函数 将式 b 代入式 a 中第二式 得 将上式积分 得 c 是r任意函数 将式 b 代入式 a 中第三式 得 或写成 要使该式成立 两边须为同一常数 d e 式中F为常数 对其积分有 f 其中H为常数 对式 e 两边求导 其解为 g h 将式 f h 代入式 b c 得 b c 4 13 平面轴对称问题小结 4 11 1 应力函数 2 应力分量 4 12 3 位移分量 4 13 式中 A B C H I K由应力和位移边界条件确定 由式 4 13 可以看出 应力轴对称并不表示位移也是轴对称的 但在轴对称应力情况下 若物体的几何形状 受力 位移约束都是轴对称的 则位移也应该是轴对称的 这时 物体内各点都不会 有环向位移 即不论r和 取何值 都应有 对这种情形 有 式 4 13 变为 4 13 a 4 6圆环或圆筒受均布压力 1 圆环或圆筒受均布压力 已知 求 应力分布 确定应力分量的表达式 边界条件 a 将式 4 12 代入 有 b 式中有三个未知常数 二个方程不能确定 对于多连体问题 位移须满足位移单值条件 要使单值 须有 B 0 由式 b 得 将其代回应力分量式 4 12 有 4 14 1 若 二向等压情况 2 若 压应力 拉应力 3 若 压应力 压应力 4 若 具有圆形孔道的无限大弹性体 边缘处的应力 问题 厚壁圆筒埋在无限大弹性体内 受内压q作用 求圆筒的应力 1 分析 与以前相比较 相当于两个轴对称问题 a 受内压q 外压p作用的厚壁圆筒 b 仅受内压p作用的无限大弹性体 确定压力p的两个条件 径向变形连续 径向应力连续 2 求解 4 7压力隧洞 2 求解 1 圆筒的应力与边界条件 应力 a 边界条件 2 无限大弹性体的应力与边界条件 应力 b 边界条件 将式 a b 代入相应的边界条件 得到如下方程 4个方程不能解5个未知量 需由位移连续条件确定 上式也可整理为 c d 利用 e 要使对任意的成立 须有 f 对式 f 整理有 有 g 式 g 中 将式 g 与式 c d 联立求解 4 16 当n 1时 应力分布如图所示 讨论 1 压力隧洞问题为最简单的接触问题 面接触 完全接触 接触面间既不互相脱离 也不互相滑动 接触条件为 应力 位移 2 非完全接触 光滑接触 应力 位移 接触条件 当n 1时 应力分布如图所示 压力隧洞的应力分布 讨论 1 压力隧洞问题为最简单的接触问题 面接触 完全接触 接触面间既不互相脱离 也不互相滑动 接触条件为 应力 位移 2 非完全接触 光滑接触 应力 位移 接触条件 4 8圆孔的孔口应力集中 1 孔边应力集中概念 由于弹性体中存在小孔 使得孔边的应力远大于无孔时的应力 也远大于距孔稍远处的应力 称为孔边的应力集中 应力集中系数 与孔的形状有关 是局部现象 与孔的大小几乎无关 圆孔为最小 其它形状较大 2 孔边应力集中问题的求解 1 问题 带有圆孔的无限大板 B a 圆孔半径为a 在无限远处受有均匀拉应力q作用 求 孔边附近的应力 2 问题的求解 问题分析 坐标系 就外边界 直线 宜用直角坐标 就内边界 圆孔 宜用极坐标 取一半径为r b b a 在其上取一点A的应力 原问题转化为 无限大圆板中间开有一圆孔的新问题 新问题的边界条件可表示为 内边界 外边界 a 问题1 b c 问题2 将外边界条件 a 分解为两部分 问题1的解 该问题为轴对称问题 其解为 当b a时 有 d 问题2的解 非轴对称问题 由边界条件 c 可假设 为r的某一函数乘以 为r的某一函数乘以 又由极坐标下的应力分量表达式 可假设应力函数为 将其代入相容方程 与前面类似 该方程的特征方程 特征根为 方程的解为 相应的应力分量 对上述应力分量应用边界条件 c 有 e 求解A B C D 然后令a b 0 得 代入应力分量式 e 有 f 将问题1和问题2的解相加 得全解 4 17 讨论 1 沿孔边 r a 环向正应力 4 18 2 沿y轴 90 环向正应力 齐尔西 G Kirsch 解 3 沿x轴 0 环向正应力 4 若矩形薄板 或长柱 受双向拉应力q1 q2作用 叠加后的应力 4 19 5 任意形状薄板 或长柱 受面力作用 在距边界较远处有一小孔 只要知道无孔的应力 就可计算孔边的应力 如 圆孔的孔边应力集中问题求解思路小结 原问题的转换 轴对称问题 非轴对称问题 4 9楔形体的楔顶与楔面受力 1 楔顶受有集中力P作用 楔形体顶角为 下端为无限长 单位厚度 顶端受有集中力P 与中心线的夹角为 求 1 应力函数的确定 因次分析法 由应力函数与应力分量间的微分关系 可推断 a 将其代入相容方程 以确定函数 得 4阶常系数齐次的常微分方程 其通解为 其中A B C D为积分常数 将其代入前面的应力函数表达式 4 20 对应于无应力状态 2 应力分量的确定 边界条件 1 自然满足 2 楔顶的边界条件 b 将式 b 代入 有 积分得 可解得 代入式 b 得 4 21 密切尔 J H Michell 解答 两种特殊情况 1 2 两种情况下的应力分布 应力对称分布 应力反对称分布 3 无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用 2 楔顶受有集中力偶M作用 1 应力函数的确定 由应力函数与应力分量间的微分关系 可推断 将其代入相容方程 c 4 22 2 应力分量的确定 考虑到 反对称载荷下 对对称结构有 为 奇函数 而则为 偶函数 由应力函数与关系可知 应为 奇函数 即 将其代入应力分量表达式 得到 d 边界条件 1 自然满足 e 2 代入应力分量表达式 d 得 4 23 英格立斯 C E Inglis 解答 说明 另外两个边界条件 一定自动满足 楔顶的边界条件 特殊情况 说明 前面有关楔形体的分析结果 在楔顶处应力均趋于无穷 这是由于集中力P和集中力偶M的原因 事实上集中力和集中力偶是不存在的 而是分布在一小区域上的面力 另一方面 分布在小区域的面力超过材料的比例极限 则弹性力学的基本方程不再适用 前面有关楔形体的分析结果的适用性 离楔顶稍远的区域 3 楔形体一侧面上受有均布面力作用 1 应力函数的确定 由应力函数与应力分量间的微分关系 可推断 将其代入相容方程 f 得到 该方程的解为 4 24 2 应力分量的确定 g 边界条件 由此可确定4个待定常数 可求得 将常数代入应力分量表达式 有 4 25 特殊情况 若用直角坐标表示 利用坐标变换式 楔形体 尖劈 问题应力函数的构造小结 4 10半平面体在边界上受法向集中力 1 应力分量 由楔形体受集中力的情形 可以得到 4 26 极坐标表示的应力分量 利用极坐标与直角坐标的应力转换式 4 7 可求得 4 27 或将其改为直角坐标表示 有 4 28 2 位移分量 直角坐标表示的应力分量 假定为平面应力情形 其极坐标形式的物理方程为 4 29 a b c 积分式 a 得 d 将式 d 代入式 b 有 积分上式 得 e 将式 d e 代入式 c 得 d e c 要使上式成立 须有 不妨令 0 可解得 代入位移分量式 d e 有 式中 常数H I K由边界条件确定 f 常数I须由铅垂方向 x方向 位移条件确定 由式 f 得 g 由问题的对称性 有 3 边界沉陷计算 M点的下沉量 由于常数I无法确定 所以只能求得的相对沉陷量 为此 在边界上取 一基准点B 如图所示 M点相对于基准点B的沉陷为 简化后得 4 30 符拉芒 A Flamant 公式 对平面应变情形 4 11半平面体在边界上受法向分布力 1 应力分量 dP作用在原点O 则有 dP作用在距原点时 将此式在AB区间上积分 得 4 31 式中 需将分布力集度q表示成的函数 再进行积分 2 边界点的相对沉陷量 讨论均匀分布的单位力的情形 计算分布力中点I相对于K点的沉陷量 a a 对r积分 即可求得I点的相对沉陷量 当基准点K位于均布力之外时 沉陷量为 为简单起见 假定基点K取得很远 即院s远大于r 积分时可视s为常数 积分结果为 4 32 其中常数C Fki的值为 b c 平面问题极坐标求解方法小结 一 基本方程 1 平衡方程 4 1 2 几何方程 4 2 3 物理方程 平面应力情形 4 3 4 边界条件 位移边界条件 应力边界条件 二 按应力求解基本步骤 4 6 2 由式 4 5 求出相应的应力分量 4 5 3 位移边界条件 应力边界条件 为边界上已知位移 为边界上已知的面力分量 位移单值条件 三 平面轴对称问题的求解方法 逆解法 4 12 应力函数 应力分量 位移分量 4 13 四 非轴对称问题的求解方法 半逆解法 1 圆孔的孔边应力集中问题 原问题的转换 轴对称问题 非轴对称问题 2 楔形体问题 由因次法确定应力函数的分离变量形式 1 楔顶受集中