高一数学必修四 2.5平面向量应用举例

2 5 1平面几何中的向量方法 所以 平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍 几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化 利用向量解决平面几何问题举例 用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 简述 几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化 1 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 3 把运算结果 翻译 成几何元素 例2如图 ABCD中 点E F分别是AD DC边的中点 BE BF分别与AC交于R T两点 你能发现AR RT TC之间的关系吗 A B C D E F R T 利用向量解决平面几何问题举例 简述 几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化 例2 如图 在 ABCD中 点E F分别是AD DC边的中点 BE BF分别与AC交于点R T两点 你能发现AR RT TC之间的关系吗 解 由图可猜想 AR RT TC 证明如下 则由 得 又 而 由向量基本定理得 同理可证 于是 故猜想 AR RT TC成立 2 5 2向量在物理中的应用举例 探究 一 向量在力学中的应用 F1 F2 10N F1 F2 G 0 思考2 两个人共提一个旅行包 或在单杠上做引体向上运动 根据生活经验 两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系 夹角越大越费力 思考3 假设两只手臂的拉力大小相等 夹角为 那么 F1 G 之间的关系如何 上述关系表明 若重力G一定 则拉力的大小是关于夹角 的函数 并且拉力大小和夹角大小成正比例关系 0 180 探究 二 向量在运动学中的应用 思考2 如果船沿与上游河岸成60 方向行驶 那么船的实际速度v的大小是多少 思考3 船应沿什么方向行驶 才能使航程最短 与上游河岸的夹角为78 73 思考4 如果河的宽度d 500m 那么船行驶到对岸至少要几分钟 向量法解决几何问题 的两个角度 非坐标角度和坐标角度 例3 如图 正方形ABCD中 P是对角线BD上的一点 PECF是矩形 用向量证明 1 PA EF 2 PA EF A B C D P E F 1 已知 AD BE CF是 ABC的三条中线 求证 AD BE CF交于一点 2 已知 ABC的三个顶点A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 则重心G的坐标为 3 用向量法证明 三角形三条高线交于一点 1 已知 AD BE CF是 ABC的三条中线 求证 AD BE CF交于一点 证明 如图AD BE相交于点G 联结DE 1 已知 AD BE CF是 ABC的三条中线 求证 AD BE CF交于一点 因此C G F三点在同一直线上 所以 AD BE CF交于一点 2 已知 ABC的三个顶点A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 则重心G的坐标为 解 设原点为O 则 3 用向量法证明 三角形三条高线交于一点 证明 设H是高线BE CF的交点 所以 三角形三条高线交于一点 三角形四心的向量表示 外 重 三角形四心的向量表示 内 垂 例1 已知O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足 则P点的轨迹一定通过 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 由 得出 由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过 ABC的重心 C 变式1 已知P是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 点O满足 则O点一定是 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 由 得出 故O是 ABC的重心 C 变式2 已知O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足 则P点的轨迹一定通过 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 在 ABC中 由正弦定理有 令 则 由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过 ABC的重心 C 例2 已知O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足 则P点的轨迹一定通过 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 取BC的中点D 则 由已知条件可得 又因为 所以 所以DP是BC的垂直平分线 所以P点的轨迹一定经过 ABC的外心 A 外心的向量表示 结论2 ABC所在平面一定点O 动点P满足P点轨迹经过 ABC的外心 结论1 O是三角形的外心 或 例3 已知O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足 则P点的轨迹一定通过 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 由已知等式可知 在等式的两边同时乘以 即 故点P的轨迹一定通过 ABC的垂心 D 变式3 已知O是平面上一点 A B C是平面上不共线的三个点 点O满足 则O点一定是 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 同理可得 D 垂心的向量表示 结论1 O是 ABC的垂心的充要条件是 结论2 动点P满足P点的轨迹经过 ABC的垂心 例4 已知O是平面上一点 A B C是平面上不共线的三个点 a b c是 ABC的A B C所对的三边 点O满足 则O点一定是 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 由已知条件可得 同理可得 则O点一定是 ABC的内心 B 例5 已知非零向量与满足 且 则 ABC为 A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形 点拨 从可知的平分线垂直对边BC 故 ABC为等腰三角形 可知cosA 所以 60 故 ABC为等边三角形 从 D 例6 已知O是平面上一点 A B C是平面上不共线的三个点 点O满足 则O点一定是 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 则O点一定是 ABC的内心 四心逐个突破 B 证 设 例7 已知O为 ABC所在平面内一点 且满足 问 O是 ABC的 心 化简 同理 从而 1 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 3 把运算结果 翻译 成几何元素 小结 1 用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 简述 几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化 2 利用向