高中数学1.1集合的概念及其基本运算课件

要点梳理1 集合与元素 1 集合元素的三个特征 2 元素与集合的关系是 或 关系 用符号 或 表示 第一编集合与常用逻辑用语 1 1集合的概念及其基本运算 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 基础知识自主学习 3 集合的表示法 4 常用数集 自然数集N 正整数集N 或N 整数集Z 有理数集Q 实数集R 5 集合的分类 按集合中元素个数划分 集合可以分为 2 集合间的基本关系 1 子集 真子集及其性质对任意的x A 都有x B 则 或 若A B 且在B中至少有一个元素x B 但x A 则 或 列举法 描述法 图示法 有限集 无限集 空集 区间法 A A A A B B C A C 若A含有n个元素 则A的子集有 个 A的非空子集有 个 A的非空真子集有 个 2 集合相等若A B且B A 则 3 集合的运算及其性质 1 集合的并 交 补运算并集 A B x x A或x B 交集 A B 补集 UA U为全集 UA表示A相对于全集U的补集 2n 2n 1 2n 2 A B x x A且x B 2 集合的运算性质并集的性质 A A A A A A B B A A B A B A 交集的性质 A A A A A B B A A B A A B 补集的性质 基础自测1 2008 四川理 设集合U 1 2 3 4 5 A 1 2 3 B 2 3 4 则U A B 等于 A 2 3 B 1 4 5 C 4 5 D 1 5 解析 A 1 2 3 B 2 3 4 A B 2 3 又U 1 2 3 4 5 U A B 1 4 5 B 2 已知三个集合U A B及元素间的关系如图所示 则 UA B等于 A 5 6 B 3 5 6 C 3 D 0 4 5 6 7 8 解析由Venn图知 UA B 5 6 A 3 2009 广东理 1 已知全集U R 集合M x 2 x 1 2 和N x x 2k 1 k 1 2 的关系的韦恩 Venn 图如图所示 则阴影部分所示的集合的元素共有 A 3个B 2个C 1个D 无穷多个解析M x 1 x 3 M N 1 3 有2个 B 4 2009 浙江 1 设U R A x x 0 B x x 1 则A UB 等于 A x 0 x1 解析 B x x 1 UB x x 1 又A x x 0 A UB x 0 x 1 B 5 设集合A x 1 x 2 B x x a 若A B 则a的取值范围是 A a 1B a 1C a 2D a 2解析由图象得a 1 故选B B 题型一集合的基本概念 例1 2009 山东 1 集合A 0 2 a B 1 a2 若A B 0 1 2 4 16 则a的值为 A 0B 1C 2D 4思维启迪根据集合元素特性 列出关于a的方程组 求出a并检验 题型分类深度剖析 解析 A 0 2 a B 1 a2 A B 0 1 2 4 16 a 4 答案D掌握集合元素的特征是解决本题的关键 解题中体现了方程的思想和分类讨论的思想 探究提高 知能迁移1设a b R 集合 1 a b a 则b a等于 A 1B 1C 2D 2解析 a 0 a b 0又 1 a b a b 1 a 1 b a 2 C 题型二集合与集合的基本关系 例2 12分 已知集合A x 0 ax 1 5 集合B 1 若A B 求实数a的取值范围 2 若B A 求实数a的取值范围 3 A B能否相等 若能 求出a的值 若不能 试说明理由 在确定集合A时 需对x的系数a进行讨论 利用数轴分析 使问题得到解决 思维启迪 解A中不等式的解集应分三种情况讨论 若a 0 则A R 若a0 则2分 1 当a 0时 若A B 此种情况不存在 当a 0时 若A B 如图 当a 0时 若A B 如图 综上知 当AB时 a 8或a 2 6分 2 当a 0时 显然B A 当a 0时 若B A 如图 当a 0时 若B A 如图 综上知 当B A时 10分 3 当且仅当A B两个集合互相包含时 A B 由 1 2 知 a 2 12分 探究提高在解决两个数集关系问题时 避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解 另外 在解含有参数的不等式 或方程 时 要对参数进行讨论 分类时要遵循 不重不漏 的分类原则 然后对每一类情况都要给出问题的解答 分类讨论的一般步骤 确定标准 恰当分类 逐类讨论 归纳结论 知能迁移2已知A x x2 8x 15 0 B x ax 1 0 若B A 求实数a 解A 3 5 当a 0时 当a 0时 B 要使B A 题型三集合的基本运算 例3 已知全集U 1 2 3 4 5 集合A x x2 3x 2 0 B x x 2a a A 求集合U A B 中元素的个数 1 先求出集合A和集合B中的元素 2 利用集合的并集求出A B 解 A x x2 3x 2 0 1 2 B x x 2a a A 2 4 A B 1 2 4 U A B 3 5 共有两个元素 集合的基本运算包括交集 并集和补集 在解题时要注意运用Venn图以及补集的思想方法 思维启迪 探究提高 知能迁移3 2009 全国 理1文2 设集合A 4 5 7 9 B 3 4 7 8 9 全集U A B 则集合U A B 中的元素共有 A 3个B 4个C 5个D 6个解析 A 4 5 7 9 B 3 4 7 8 9 A B 3 4 5 7 8 9 A B 4 7 9 U A B 3 5 8 U A B 共有3个元素 A 题型四集合中的信息迁移题 例4 若集合A1 A2满足A1 A2 A 则称 A1 A2 为集合A的一种分拆 并规定 当且仅当A1 A2时 A1 A2 与 A2 A1 为集合A的同一种分拆 则集合A 1 2 3 的不同分拆种数是 A 27B 26C 9D 8所谓 分拆 不过是并集的另一种说法 关键是要分类准确 思维启迪 解析 A1 时 A2 1 2 3 只有一种分拆 A1是单元素集时 有3种可能 则A2必须至少包含除该元素之外的两个元素 也可能包含3个元素 有两类情况 如A1 1 时 A2 2 3 或A2 1 2 3 这样A1是单元素集时的分拆有6种 A1是两个元素的集合时 有3种可能 则A2必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素 还可能包含A1中的1个或2个元素 如A1 1 2 时 A2 3 或A2 1 3 或A2 2 3 或A2 1 2 3 这样A1是两个元素的集合时的分拆有12种 A1是三个元素的集合时 只有1种 则A2可能包含0 1 2或3个元素 即A1 1 2 3 时 A2可以是集合 1 2 3 的任意一个子集 这样A1 1 2 3 时的分拆有23 8种 所以集合A 1 2 3 的不同分拆的种数是1 6 12 8 27 答案A解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义 或新运算 思路是找到与此新知识有关的所学知识 帮助理解 同时 找出新知识与所学相关知识的不同之处 通过对比加深对新知识的认识 探究提高 知能迁移4对任意两个正整数m n 定义某种运算则集合P a b ab 8 a b N 中元素的个数为 A 5B 7C 9D 11解析当a b奇偶性相同时 ab a b 1 7 2 6 3 5 4 4 当a b奇偶性不同时 ab ab 1 8 由于 a b 有序 故共有元素4 2 1 9个 C 1 集合中的元素的三个性质 特别是无序性和互异性在解题时经常用到 解题后要进行检验 要重视符号语言与文字语言之间的相互转化 2 对连续数集间的运算 借助数轴的直观性 进行合理转化 对已知连续数集间的关系 求其中参数的取值范围时 要注意等号单独考察 3 对离散的数集间的运算 或抽象集合间的运算 可借助Venn图 这是数形结合思想的又一体现 方法与技巧 思想方法感悟提高 1 空集在解题时有特殊地位 它是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 时刻关注对空集的讨论 防止漏掉 2 解题时注意区分两大关系 一是元素与集合的从属关系 二是集合与集合的包含关系 3 解答集合题目 认清集合元素的属性 是点集 数集或其他情形 和化简集合是正确求解的两个先决条件 失误与防范 4 韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交 并 补运算的常用方法 其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心 5 要注意A B A B A A B B 这五个关系式的等价性 一 选择题1 2009 海南 宁夏理 1 已知集合A 1 3 5 7 9 B 0 3 6 9 12 则A NB等于 A 1 5 7 B 3 5 7 C 1 3 9 D 1 2 3 解析 A 1 3 5 7 9 B 0 3 6 9 12 NB 1 2 4 5 7 8 A NB 1 5 7 A 定时检测 2 2009 福建理 2 已知全集U R 集合A x x2 2x 0 则UA等于 A x 0 x 2 B x 02 D x x 0或x 2 解析 x2 2x 0 x x 2 0 x 2或x2或x 0 UA x 0 x 2 A 3 已知集合A x 1 x 1 B x x2 x 0 则A B等于 A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 0 1 解析B x 0 x 1 A B x 0 x 1 C 4 2009 辽宁理 1 已知集合M x 3 x 5 N x 5 x 5 则M N等于 A x 5 x 5 B x 3 x 5 C x 5 x 5 D x 3 x 5 解析 M x 3 x 5 N x 5 x 5 M N x 3 x 5 B 5 2009 四川文 1 设集合S x x 5 T x x 7 x 3 0 则S T A x 7 x 5 B x 3 x 5 C x 5 x 3 D x 7 x 5 解析S x 5 x 5 T x 7 x 3 S T x 5 x 3 C 6 若集合A x x2 9x 0 x N B y N y N 则A B中元素的个数为 A 0B 1C 2D 3解析A x 0 x 9 x N 1 2 8 B 1 2 4 A B B D 二 填空题7 已知集合A 0 1 1 1 1 2 B x y x y 1 0 x y Z 则A B 解析A B都表示点集 A B即是由A中在直线x y 1 0上的所有点组成的集合 代入验证即可 但本题要注意列举法的规范书写 0 1 1 2 8 2009 天津文 13 设全集U A B x N lgx 1 若A UB m m 2n 1 n 0 1 2 3 4 则集合B 解析A B x N lgx 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A UB m m 2n 1 n 0 1 2 3 4 1 3 5 7 9 B 2 4 6 8 2 4 6 8 9 2009 北京文 14 设A是整数集的一个非空子集 对于k A 如果k 1 A 且k 1 A 那么称k是A的一个 孤立元 给定S 1 2 3 4 5 6 7 8 由S的3个元素构成的所有集合中 不含 孤立元 的集合共有 个 解析由题意知 不含 孤立元 的集合有 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 8 共有6个集合 6 三 解答题10 已知全集为R 集合M x x 2 x R P x x a 并且MRP 求a的取值范围 解M x x 2 x 2 x 2 RP x x a M RP 由数轴知a 2 11 已知集合A x x2 2x 3 0 B x x2 2mx m2 4 0 x R m R 1 若A B 0 3 求实数m的值 2 若A