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复习 1 函数零点是什么 3 函数零点的存在性的判定 2 函数零点的意义 对于函数y f x x D 把使f x 0成立的实数x叫做函数y f x x D 的零点 函数y f x 有零点 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 从上海到美国旧金山的海底电缆有9个接点 现在某一接点发生故障 需及时修理 为了尽快断定故障发生点 一般至多需检查接点的个数为多少 123456789 思考1 不解方程 能否能利用函数零点的性质求出方程的一个正的近似解 精确到0 1 思考2 首先观察一下方程的图象 方法探究 方法探究 f 2 0 2 x 3 f 2 0 2 x 2 5 f 2 25 0 2 25 x 2 5 f 2 375 0 2 375 x 2 5 f 2 375 0 2 375 x 2 4375 因为 2 4375 2 375 0 1 所以x 2 4是方程的一个近似解 能否简述上述求方程近似解的过程 将方程的有根区间对分 然后再选择比原区间缩小一半的有根区间 如此继续下去 直到满足精度要求的根为止 方法探究 用二分法求方程的近似解 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断的把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 bisection 二分法的定义 运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间 注 已知函数f x lnx 2x 6在区间 2 3 内有零点 利用二分法求出该零点 精确度为0 01 例题 分析 请看下面的表格 f 2 0 2 5 f 2 5 0 2 5 3 f 2 5 0 2 75 f 2 75 0 2 5 2 75 f 2 5 0 2 625 f 2 625 0 2 5 2 625 f 2 5 0 2 5625 f 2 5625 0 2 5 2 5625 f 2 5 0 2 53125 f 2 53125 0 表续 由于 2 5390625 2 53125 0 01 所以x 2 53125为函数f x lnx 2x 6零点的近似值 用二分法求方程f x 0 或g x h x 近似解基本步骤 1 寻找解所在区间 1 图象法 先画出y f x 图象 观察图象与x轴交点横坐标所处的范围 或画出y g x 和y h x 的图象 观察两图象的交点横坐标所处的范围 把方程均转换为f x 0的形式 再利用函数y f x 的有关性质 如单调性 来判断解所在的区间 2 函数性态法 归纳总结 1 寻找解所在区间2 不断二分解所在的区间3 根据精确度得出近似解 若x a b 不妨设f a 0 3 根据精确度得出近似解 2 不断二分解所在的区间 3 若f 0 则x 2 若f 0 则x b 对 1 2 两种情形再继续二分法所在的区间 归纳总结 即若 a b 则得到零点近似值a 或b
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