广西桂林逸仙中学高二数学《一元二次不等式及其解法》课件

第二节一元二次不等式及其解法 基础梳理 1 一元二次不等式的定义只含有1个未知数 并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式 2 一元二次不等式的解集如下表 3 分式不等式与一元二次不等式的关系 设a0 0等价于 x a x b 0 x a x b 0 0等价于x b 0 x a x b 0 0等价于x b 0 分式不等式解法的实质是转化 把分式不等式转化为整式不等式来求解 需要注意分式有意义即分母不为零 也可将分式不等式转化为两个不等式组的并集 继而求出其解集 典例分析 题型一一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式 1 x2 2x 0 2 8x 1 16x2 分析可根据二次函数 方程和不等式的关系求解 也可利用二次函数图象求解 还可对不等式左边 右边为0 进行因式分解 然后求解 解 1 两边同乘以 3 得3x2 6x 20 且方程3x2 6x 2 0的根是x1 1 x2 1 所以原不等式的解集是 x 1 x 1 2 方法一 原不等式即为16x2 8x 1 0 其相应方程为16x2 8x 1 0 8 2 4 16 0 上述方程有两相等实根x 14 结合二次函数y 16x2 8x 1的图象知 原不等式的解集为R 方法二 8x 1 16x2 16x2 8x 1 0 4x 1 2 0 x R 不等式的解集为R 举一反三 学后反思一般地 对于a0时的解题步骤求解 也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式 再求解 1 设m R 解关于x的不等式 解析 分类讨论 1 当m 0时 不等式恒成立 不等式的解集为R 2 当m 0时 原不等式化为 mx 2 mx 1 0 解得 3 当m 0时 原不等式化为 mx 2 mx 1 0 解得综上 当m 0时 不等式的解集为R 当m 0时 不等式的解集为 当m 0时 不等式的解集为 题型二三个二次问题 例2 函数f x x2 ax 3 1 当x R时 f x a恒成立 求a的取值范围 2 当x 2 2 时 f x a恒成立 求a的取值范围 分析设g x f x a x2 ax 3 a f x a恒成立问题转化为g x 0恒成立问题 1 中x R时 g x 0恒成立 即g x 的图象不在x轴下方 故 0 2 中求当x 2 2 时 g x 0恒成立 并不能说明抛物线恒在x轴上方 怎样解呢 解 1 x R时 有x2 ax 3 a 0恒成立 则有 a2 4 3 a 0 即a2 4a 12 0 6 a 2 2 方法一 当x 2 2 时 g x x2 ax 3 a 0 分如下三种情况讨论 如图1 当g x 的图象恒在x轴上方 满足条件时 有 a2 4 3 a 0 即 6 a 2 如图2 g x 的图象与x轴有交点 但在x 2 时 g x 0 即 0 a2 4 3 a 0 a 2或a 6 x 4g 2 0 4 2a 3 a 0a 解得a 如图3 g x 的图象与x轴有交点 但在x 2 时 g x 0 即 0 a2 4 3 a 0a 2或a 6 x 2即 2 a 4 g 2 0 4 2a 3 a 0a 7解得 7 a 6 综合 得a 7 2 方法二 f x x2 ax 3 a 只要f x 的最小值大于或等于a即可 f x x2 ax 3 x 2 当 2 2 即 4 a 4时 f x min 3 令3 a 6 a 2 再结合 4 a 4 得 4 a 2 当 2 即a4时 f x min f 2 7 2a 令7 2a a时 则a a 由 得 7 a 2 即当a 7 2 时 在x 2 2 时 有f x a恒成立 学后反思 1 f x ax2 bx c 0 a 0 对x R恒成立时 a 0只要求满足 0即可 另外 ax2 bx c 0 a 0 恒成立a 0 0 ax2 bx c 0 a 0 恒成立a 0 0 ax2 bx c 0 a 0 恒成立a 0 0 2 区别 f x 0对x R恒成立 与 f x 0对x m n 恒成立 的不同 f x 0对x m n 恒成立 即f x 在 m n 上的最小值f x min 0 举一反三2 不等式对于x R恒成立 则a的取值范围是 解析 1 当a 2时 不等式恒成立 2 由解得 2 a 2 综上 2 a 2 答案 2 2 题型三一元二次不等式的实际应用 例3 14分 国家原计划以2400元 t的价格收购某种农产品mt 按规定 农户向国家纳税为 每收入100元纳8元 称作税率为8个百分点 即8 为了减轻农民负担 制定积极的收购政策 根据市场规律 税率降低x个百分点 收购量能增加2x个百分点 试确定x的范围 使税率调低后 国家此项税收总收入不低于原计划的78 分析理解题意 巧设未知数 正确将不等关系转化成不等式是解题关键 解设税率调低后的税收总收入为y元 1 则y 2400m 1 2x 8 x x2 42x 400 0 x 8 4 依题意 得y 2400m 8 78 即 x2 42x 400 2400m 8 78 7 整理得x2 42x 88 0 解得 44 x 2 10 根据x的实际意义 知0 x 8 所以0 x 2为所求 13 故x的取值范围是 0 2 14 学后反思解不等式应用题 可分以下几步 1 认真审题 抓住问题的关键词 找准不等关系 2 引进数学符号 用不等式表示不等关系 使其数字化 3 求解不等式 4 还原实际问题 举一反三 3 已知汽车从刹车到停车所滑行的距离 m 与时速 km h 的平方及汽车总质量成正比例 设某辆卡车不装货物以时速50km h行驶时 从刹车到停车走了20m 如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时 发现前面20m处有障碍物 这时为了能在离障碍物5m以外处停车 最大限制时速应是多少 结果只保留整数部分 设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1s 解析 设卡车从刹车到停车滑行距离为sm 时速为vkm h 卡车总质量为t 则有s kv2t k为常数 设卡车空载时的总质量为t0 则20 k 502t0 解得k 设卡车的限速为xkm h x 0 易知1s走了 m 由题意得 x2 2t0 15 即 解得0 x 23 所以卡车的最大限速为23km h 易错警示 例 解关于x的不等式ax2 a 1 x 1 0 错解ax2 a 1 x 11 即01或a 0时 不等式解集为 x x 1 错解分析上述错解有如下错误 应首先对二次项x2的系数a的正负进行讨论 讨论时漏掉了a 0和a 0两种情况 在比较与1的大小时 又忽视了 1这种情况 此外应注意如下错误 步骤要规范完整 分类讨论的试题要有总结性的语言 如 综上所述 有 再有 由于关于x的不等式是按a的取值分类讨论的 故最后结论不应取并集 应分别叙述 若是按x分类讨论的 则最后应取并集 故何时取交集 并集还是分别说明应引起重视 正解若a 0 原不等式 x 11 若a0 x1 若a 0 原不等式 x x 1 1时 式 1 当a 0时 不等式解集为 x x 1 当01时 不等式解集为 x 1a x 1 考点演练 解析 由题意知a 0 可设而a 0 4 a 0 10 2009 北京西城区模拟 已知二次函数f x 的二次项系数为a 且不等式f x 0的解集为 1 2 若f x 的最大值小于1 求a的取值范围 11 2010 厦门质检 若不等式对满足 2 m 2的所有m都成立 求实数x的取值范围 解析 设要使f m 0在 2 m 2上恒成立 只需即或 12 2009 南京模拟 已知不等式ax2 3x 6 4的解集为 x xb 1 求a b 2 解不等式ax2 ac b x bc 0 解析 1 因为不等式ax2 3x 6 4的解集为 x xb 所以x1 1与x2 b是方程ax2 3x 2